Ведение в социально - экономическую статистику. Учебник. Новосибирск, 2004. 739 с
.pdf404 |
Глава 12. Сглаживание временного ряда |
а) Проведите сглаживание сгенерированных рядов с помощью полинома первой степени с длиной отрезка скольжения 5 и 9.
б) Выполните то же задание, используя полином третьей степени.
в) Найдите отклонения исходных рядов от сглаженных рядов, полученных в пунктах (а) и (б). По каждому ряду отклонений вычислите среднеквадратическую ошибку. Сделайте вывод о том, какой метод дает наименьшую среднеквадратическую ошибку.
1.2. Имеются данные о производстве природного газа в СССР (табл. 12.2).
а) Постройте графики ряда и логарифмов этого ряда. Чем они различаются? Выделите основные компоненты временного ряда. Какой характер носит сезонность: аддитивный или мультипликативный? Сделайте вывод о целесообразности перехода к логарифмам.
б) Примените к исходному ряду метод экспоненциального сглаживания, подобрав параметр сглаживания.
в) Проведите сглаживание временного ряда с использованием адаптивной сезонной модели.
Задачи
1.Сгладить временной ряд x = (3, 4, 5, 6, 7, 11), используя полином первого порядка с длиной отрезка скольжения, равной трем.
2.Записать формулу расчета вектора коэффициентов для полинома третьей степени с помощью метода скользящей средней в матричной форме с расшифровкой обозначений.
3.В чем специфика аппроксимации первых m и последних m точек временного ряда при использовании метода скользящих средних?
4.Найти параметры адаптивной сезонной модели для временного ряда
x = (1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, . . . ).
5.Изобразить график временного ряда с аддитивным ростом и мультипликативным сезонным эффектом.
6.Изобразить график временного ряда с экспоненциальным ростом и аддитивным сезонным эффектом.
7.Записать модель с экспоненциальным ростом и мультипликативным сезонным эффектом, а также формулу прогноза на 5 шагов вперед.
12.3. Упражнения и задачи |
405 |
Рекомендуемая литература
1.Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: «Мир», 1976. (Гл. 3).
2.Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. — М.: «Статистика», 1979. (Гл. 1, 2).
3.Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: «Наука», 1976. (Гл. 46).
4.Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. — М.: «Статистика», 1976. (Гл. 11, 12).
5.Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists, Cambridge University Press, 1990 (Ch. 9).
Глава 13
Спектральный
игармонический анализ
13.1.Ортогональность тригонометрических функций и преобразование Фурье временного ряда
Как известно, тригонометрические функции cos t и sin t являются периодическими с периодом 2π:
cos(t + 2π) = cos t, sin(t + 2π) = sin t.
Функции cos(λt − θ) и sin(λt − θ) периодичны с периодом 2π/λ. Действительно,
cos(λt − θ) = cos(λt + 2π − θ) = cos (λ(t + 2π/λ) − θ) ,
sin(λt − θ) = sin(λt + 2π − θ) = sin(λ(t + 2π/λ) − θ).
Величина λ/2π, обратная периоду, называется линейной частотой, λ называют угловой частотой. Линейная частота равна числу периодов (не обязательно целому), содержащемуся в единичном интервале, то есть именно такое число раз функция повторяет свои значения в промежутке [0, 1].
Рассмотрим функцию:
R cos(λt − θ) = R(cos λt cos θ + sin λt sin θ) = α cos(λt) + β sin(λt),
13.1 Ортогональность тригонометрических функций |
407 |
|
где α = R cos θ, β = R sin θ или, что эквивалентно, R = |
|
, tg θ = β α . |
α2 + β2 |
Коэффициент R, являющийся максимумом функции R cos(λt −θ) называется амплитудой этой функции, а угол θ называется фазой.
Особенность тригонометрических функций заключается в том, что на определенном диапазоне частот они обладают свойством ортогональности.
Две функции ϕ(t) и ψ(t), определенные на конечном множестве {1, . . . , T }, называются ортогональными, если их скалярное произведение, определенное как сумма произведений значений ϕ(t) и ψ(t) в этих точках, равно нулю:
T
ϕ(t) · ψ(t) = 0.
t=1
Система T тригонометрических функций в точках t {1, . . . , T }
cjt = cos |
|
2πj |
t, |
j = 0, 1, . . . , |
|
T |
|
|
, |
||
|
T |
|
2 |
|
|
||||||
|
2πj |
|
|
|
T − |
1 |
(13.1) |
||||
sjt = sin |
t, |
j = 1, . . . , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
T |
|
|
|
2 |
|
|
|
ортогональна, т.е. скалярное произведение векторов
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
||
(cj , ck ) = |
cjtckt = 0, j = k, 0 j, k |
, |
|
|
|
(13.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
t=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
T − 1 |
|
|
|
||||
(s |
, s |
) = |
s |
s |
kt |
= 0, j = k, 0 < j, k |
, |
|
(13.3) |
||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||
j |
k |
|
t=1 |
jt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
T |
|
|
= 0, 0 j |
T |
, 0 < k |
|
T − 1 |
|
|
|||||
(cj , sk ) = |
cjtskt |
|
, |
(13.4) |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
t=1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где операция [ . . . ] — это выделение целой части числа.
Для доказательства этого утверждения полезны следующие равенства
T |
2πj |
|
0, при j = 0, |
|
||
cos |
t = |
(13.5) |
||||
|
||||||
t=1 |
T |
T, при j = 0, T , |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
T |
2πj |
|
|
||
|
|
sin |
t = 0, |
(13.6) |
||
|
|
|
||||
|
t=1 |
T |
|
|||
|
|
|
|
13.1 Ортогональность тригонометрических функций |
409 |
|||||||||||||||
|
T |
2πj |
|
|
|
2πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cj , sk) = |
cos |
t · sin |
t = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
T |
sin |
2π(j + k) |
t + |
1 T |
sin |
2π(j − k) |
t = 0. |
(13.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 t=1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
2 t=1 |
|
T |
|
T |
|
Мы доказали выполнение (13.2–13.4) для указанного набора функций, получив одновременно некоторые количественные их характеристики. Таким образом,
функции cos 2Tπj t и sin 2Tπj t образуют ортогональный базис и всякую функцию,
в том числе и временной ряд {xt}, определенный на множестве {1, . . . , T }, можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде конечного ряда Фурье:
|
[T /2] |
|
2πj |
|
2πj |
|
|
|
xt = |
αj cos |
t + βj sin |
t , |
(13.13) |
||||
|
|
|||||||
|
j=0 |
|
T |
T |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
или, вспоминая (13.1), кратко |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
[T /2] |
|
|
|
|||
|
xt = |
(αj cjt + βj sjt) , |
|
|||||
|
|
j=0 |
|
|
|
|||
где β0 и β[T /2] при четном T отсутствуют (т.к. sin 0 = 0, sin πt = 0). |
|
|||||||
Величину 2πj/T = λj |
называют частотой Фурье, а набор скаляров αj и βj |
|||||||
( j = 0, 1, . . . , [T /2]) — коэффициентами Фурье. |
|
|
|
Если cjt и sjt — элементы векторов cj и sj , стоящие на t-ом месте, то, переходя к векторным обозначениям, (13.13) можно переписать в матричном виде:
|
x = C S |
α , |
(13.14) |
|
|
β |
|
где |
|
|
|
x = (x1, . . . , xT ) , |
|
|
|
α = (α0, . . . , α[T /2]) , |
|
|
|
β = (β1 , . . . , β[(T −1)/2]) , |
|
|
|
C = {cjt}, |
j = 0, 1, . . . , [T /2], t = 1, . . . , T, |
|
|
S = {sjt}, |
j = 1, . . . , [(T − 1)/2], t = 1, . . . , T. |
|
13.2. Теорема Парсеваля |
411 |
13.2. Теорема Парсеваля
Суть теоремы Парсеваля состоит в том, что дисперсия процесса xt разлагается по частотам соответствующих гармоник следующим образом:
|
|
|
|
|
1 |
T /2−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
var(xt) = |
|
R2 + R2 |
|
, для четных T , |
|
|
(13.18) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
j |
|
|
T /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
var(xt) = |
1 (T −1)/2 |
R2 |
, для нечетных T . |
|
|
|
(13.19) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что это действительно так. Из (13.14) мы имеем: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x x = |
α |
|
β |
C |
|
C S |
|
|
α |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
α |
|
β |
C C |
C S |
|
|
α |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
S C |
S S |
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
α |
|
β |
ΛC |
0 |
|
|
|
|
α |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
ΛS |
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[T /2] |
|
|
|
|
|
|
[(T −1)/2] |
|
|
|
|||
|
|
|
= α ΛC α + β ΛS β = α021T 1T + |
|
αj2cj cj + |
|
βj2sj sj , |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
где Λc и Λs — диагональные матрицы. Таким образом, если T — четно, то |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
T /2 |
T /2−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x x = α021T 1T + αj2cj cj + |
βj2sj sj = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
j=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= α2T + |
T T /2−1 |
|
|
|
T T /2−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T T /2−1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
α2 |
+ |
|
|
|
|
β2 + α2 |
|
T = α2T + |
|
|
|
|
(α2 |
+ β2) + α2 |
T = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
2 |
|
j |
2 |
|
|
j |
|
T /2 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
j |
j |
|
T /2 |
|
|||||||
|
j=1 |
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
T T /2−1 |
|
|
|
|
|
|
|
T T /2−1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= α2T + |
|
|
|
|
|
|
R2 + α2 |
|
T = R2T + |
|
|
|
|
|
R2 + R2 |
T. |
(13.20) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
j |
T /2 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
j |
T /2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Аналогично для нечетных T : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
(T −1)/2 |
|
(T −1)/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x x = α021T 1T + |
|
|
|
|
|
|
αj2cj cj + |
|
|
βj2sj sj = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
412 |
|
|
|
|
|
Глава 13. Спектральный и гармонический анализ |
||||||||||||||
= α2T + |
T (T −1)/2 |
|
+ |
T (T −1)/2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
α2 |
|
|
|
|
|
β2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
2 |
|
|
|
j |
|
2 |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
(T −1)/2 |
|
|
|
T |
(T −1)/2 |
|
|
||
|
|
|
= α2T + |
|
|
|
(α2 |
+ β2) = R2T + |
|
|
R2. |
(13.21) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
j |
j |
0 |
2 |
|
j |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
j=1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Разделим уравнения (13.20) и (13.21) на T и перенесем в левые части R02 . С учетом |
||||||||||||||||||||
того, что R2 |
= α2 = x¯2 |
, получаем выражения для дисперсии процесса xt . |
|
|
||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
var(xt) = |
x x |
|
− R02 = |
|
1 T /2−1 |
Rj2 + RT2 |
/2, для четных T , |
(13.22) |
||||||||||||
T |
|
|
2 |
j=1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
var(xt) = |
x x |
− R02 = |
|
1 (T −1)/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Rj2, для нечетных T . |
|
(13.23) |
|||||||||||||
T |
2 |
j=1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, вклад в дисперсию процесса для T /2-й гармоники равен R2 |
, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T /2 |
|
а для k-й гармоники, k = T /2, равен 12 Rk2 .
Следовательно, наряду с определением коэффициентов Фурье для k-й гармоники, можно определить долю этой же гармоники в дисперсии процесса.
13.3. Спектральный анализ
Введем понятия периодограммы и спектра.
Периодограммой называют последовательность значений {Ij }:
Ij = |
T |
(α2 |
+ β2), j = 0, 1, . . . , |
T |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
j |
j |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т.е. Ij равно квадрату амплитуды j-ой гармоники, умноженному на |
T |
, Ij = T R2. |
||||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 j |
Величина Ij называется интенсивностью на j-ой частоте.
На практике естественнее при вычислении периодограммы использовать центрированный ряд xˆt = xt −x¯. При этом меняется только I0 . Для центрированного ряда α0 = 0, поэтому I0 = α20 = 0. Все остальные значения периодограммы не меняются, что следует из (13.5) и (13.6) — влияние константы на остальные значения обнуляется. В оставшейся части главы мы будем использовать только центрированный ряд.
В определении периодограммы принципиальным является то, что гармонические частоты fj = j/T (j = 0, 1, . . . , [T /2]) изменяются дискретно, причем наиболее высокая частота составляет 0, 5 цикла за временной интервал.