Ведение в социально - экономическую статистику. Учебник. Новосибирск, 2004. 739 с
.pdf10.2 Взаимозависимые или одновременные уравнения |
323 |
|||
|
s1 |
|
|
|
x |
s2 |
s |
|
|
|
|
3s4 |
s5 |
|
|
|
|
|
d2 d3d4d5 d6 d1
p
Рис. 10.4
добавляется слагаемое
a11 |
0 |
[ z1 z2 ] |
. |
0 |
a22 |
В этом случае идентифицированы оба уравнения: k = 2, n = 1 , r1 = r2 = 1 = k−1. Но поскольку подвижны обе линии — и спроса, и предложения — облако наблюдений не имеет вытянутостей (рис. 10.4), и регрессия x на p опять оказывается не значимой. Для оценки параметров регрессии требуется использовать специальные методы, рассматриваемые ниже. Впрочем, и в двух предыдущих случаях необходимо использование специальных методов оценки параметров взаимозависимых систем, т.к. обычный МНК дает смещенные и несостоятельные оценки.
Пусть теперь на предложение товара влияет еще один фактор z3 , показывающий, например, количество удобрений на единицу площади, с которой собирается продукт, принимающий в дальнейшем форму товара. Тогда в правой части уравнения (10.15) возникает слагаемое
a11 |
0 |
[ z1 z3 ] |
, |
a31 |
0 |
и первое уравнение по-прежнему остается не идентифицированным, а второе оказывается сверхидентифицированным.
Далее ряд утверждений будет иллюстрироваться на примере модели (10.15, 10.16). В иллюстрациях эту модель удобнее записывать в сокращенном виде:
[ xˆ pˆ ] |
1 |
1 |
= zˆ1 [ α11 |
0 ] + [ ε1 |
ε2 ] . |
(10.18) |
|||
|
|
||||||||
−β21 |
β22 |
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
−1 |
1 |
|
β22 |
−1 |
|
|
|
= |
|
|
, |
|
|||||
|
|
β21 |
+ β22 |
|
|
||||
−β21 |
β22 |
|
β21 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
324 |
|
Глава 10. Оценка параметров систем уравнений |
||||
приведенная форма модели имеет следующий вид: |
|
|
|
|||
[ xˆ pˆ] = zˆ1 [ d11 d12 ] + [ η1 η2 ] = |
|
|
|
|
||
= |
1 |
(ˆz1 [ α11β22 |
− α11 ] + [ ε1 |
β22 |
+ ε2β21 |
ε2 − ε1 ]). (10.19) |
|
||||||
β21 + β22 |
Из этого соотношения видно, как d и η связаны с β и ε.
Дальнейшее изложение ведется в предположении, что строки матрицы Rl — орты.
10.3. Оценка параметров отдельного уравнения
Вводятся дополнительные обозначения:
Xl — N ×kl -матрица наблюдений за изучаемыми переменными xl , входящими в l-е уравнение;
Xl — N -вектор-столбец наблюдений за l-й переменной xl ;
X−l — N × (kl − 1)-матрица Xl без столбца Xl наблюдений за xl−;
βl — kl -вектор-столбец параметров при изучаемых переменных в l-м уравнении;
βl — (kl − 1)-вектор-столбец βl с обратным знаком и без l-го элемента
βll = 1;
Zl — N ×(nl+1)-матрица наблюдений за независимыми факторами zl , входящими в l-е уравнение, включая единичный столбец, соответствующий свободному члену;
αl — (nl + 1)-вектор-столбец параметров при этих факторах вместе со свободным членом;
εl — N -вектор-столбец остатков в l-м уравнении по наблюдениям.
Тогда l-е уравнение регрессии можно записать следующим образом: |
|
Xl βl = Zlαl + εl |
(10.20) |
или |
|
Xl = Xl βl + Zlαl + εl . |
(10.21) |
− |
|
Применение обычного МНК к этому уравнению дает в общем случае смещенные и несостоятельные оценки, прежде всего потому, что остатки εl скорее всего коррелированы с регрессорами X−l , которые к тому же недетерминированы и наблюдаются с ошибками (гипотеза g2 нарушена).
10.3. Оценка параметров отдельного уравнения |
325 |
Для иллюстрации справедливости этого утверждения используется модель (10.15, 10.16). Пусть эта модель истинна, и тогда регрессия x на p даст оценку −β22 :
−b22мнк = |
xˆipˆi |
. |
(10.22) |
pˆ2 |
|||
|
i |
|
|
Это выражение можно преобразовать, используя (10.18, 10.19) (чтобы не загро-
мождать записи, |
1 |
обозначено через P ): |
|
|
|
|
|
|||
pˆ2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− b22мнк = P |
xˆi =−β22pˆi +εi2 |
− β22 + P |
pˆi =ˆzi1d12 +ηi2 |
|||||||
xˆipˆi |
= |
εi2pˆi |
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
ηi2 = |
εi2 |
−εi1 |
|
||
= −β22 + P d12 zˆi1εi2 + ηi2εi2 |
β21 |
+β22 |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
= |
|
− β22 + |
||||||
|
|
+ P d12 |
zˆi1εi2 + |
|
1 |
|
|
εi22 − εi1εi2 . |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
β21 + β22 |
|
Очевидно, что −bмнк22 по математическому ожиданию никак не может равняться −
−β22 , поскольку в правой части полученного выражения имеется ε2i2 , т.е. дисперсия (в математическом ожидании) остатка в уравнении по спросу, которая не равна нулю и к тому же не будет уменьшаться с ростом N . Эта оценка смещена и несостоятельна.
Если данное уравнение точно идентифицировано, то для оценки его параметров можно использовать косвенный метод (КМ) наименьших квадратов: с помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы системы уравнений, через которые однозначно выражаются структурные параметры данного уравнения.
В качестве примера можно использовать оценку параметров второго уравнения модели (10.15, 10.16), которое точно идентифицировано. Действительно, параметры приведенной формы модели однозначно определяют оценку −β22 , как это следует из (10.19):
|
−b22KM |
= |
d11 |
|
(10.23) |
||||
|
|
. |
|
|
|||||
|
d12 |
|
|||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d11 = |
xˆizˆi1 |
, d12 = |
|
pˆizˆi1 |
, |
||||
zˆ2 |
|
zˆ2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i1 |
|
|
|
|
|
|
i1 |
|
то соотношение (10.23) означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−b22KM = |
|
|
xˆizˆi1 |
, |
|
|||
|
|
|
pˆizˆi1 |
|
т.е. что (ср. с (10.22)) используется метод инструментальных переменных с z1 в качестве инструментальной переменной.
326 |
Глава 10. Оценка параметров систем уравнений |
Можно записать уравнения для оценки косвенным методом в общем случае.
Сначала следует обратить внимание на то, что условия (10.11) эквивалентны требованиям
T B βl = B |
, |
T Aα = A , |
(10.24) |
|
l |
l |
|
l l l |
|
где TlB — k × kl -матрица, полученная из Ik вычеркиванием столбцов, соответствующих тем изучаемым переменным, которые исключены из l-го уравнения;
TlA – аналогичная (n + 1) × (nl + 1)-матрица для Al .
Bl и Al имеют нулевые компоненты, соответствующие исключенным из l-го уравнения переменным.
Далее необходимо учесть, что параметры структурной формы, удовлетворяющие условиям (10.24), должны для своей идентификации еще удовлетворять соотношениям (10.10). Тем самым получается система уравнений для нахождения параметров структурной формы:
DTlB bl − TlAal = 0,
или по определению матрицы TlB :
Dlbl − TlAal = 0,
где Dl – оценки параметров приведенной формы уравнений для изучаемых переменных, вошедших в l-е уравнение, или, наконец,
Dl = Dl |
bl + T Aal, |
(10.25) |
− |
l |
|
где Dl — оценки параметров l-го уравнения в приведенной форме,
D−l — оценки параметров приведенной формы уравнений для изучаемых переменных, вошедших в правую часть l-го уравнения.
Эти матрицы коэффициентов приведенной формы представляются следующим образом:
Dl = (Z Z)−1Z Xl, Dl = (Z Z)−1Z Xl, D−l = (Z Z)−1Z X−l .
Система уравнений (10.25) может быть также получена умножением обеих частей системы (10.21) слева на (Z Z)−1Z , т.к. третье слагаемое правой части отбрасывается (МНК-остатки должны быть ортогональны регрессорам), а во 2-м слагаемом (Z Z)−1Z Zl заменяется на TlA (т.к. по определению этой матрицы
Zl = ZTlA).
В общем случае, матрица этой системы D−l TlA имеет размерность (n + 1)× × (kl + nl). Первый ее блок имеет размерность (n + 1) × (kl − 1), второй —
(n + 1) × (nl + 1).
10.3. Оценка параметров отдельного уравнения |
327 |
В случае точной идентификации и строгого выполнения условий (10.14) эта матрица квадратна и не вырождена. Система (10.25) дает единственное решение — оценку параметров структурной формы l-го уравнения косвенным методом наименьших квадратов.
В структурной форме со скрытым свободным членом модель (10.15+10.16) записывается следующим образом:
1 |
1 |
a11 |
0 |
X P |
|
= [ Z1 1N ] |
+ [ e1 e2 ] , |
−b21 |
b22 |
c1 |
c2 |
а ее второе, точно идентифицированное уравнение в форме (10.21) —
X = P (−b22) + [ Z1 1N ] |
0 |
(10.26) |
+ [ e1 e2 ] . |
||
|
c2 |
|
Как это было показано выше, обе части (10.26) умножаются на матрицу
Z1 |
|
|
−1 |
Z1 |
|
|
Z1 |
1N |
: |
||
|
|
|
|||
1N |
|
|
|
1N |
|
d11 |
= |
d12 |
(−b22) + |
0 |
, |
d21 |
|
d22 |
|
c2 |
|
или
D1 = D2(−b22) + T2Ac2, где T2A = 0 .
1
Непосредственно в форме (10.25) при учете условий нормализации эта система записалась бы в виде:
D2b22 = −D1 + T2Ac2.
Из решения этой системы −bK22M получается таким же, как в (10.23), кроме того, получается оценка свободного члена:
cKM = d21 − d22 d11 . 2 d12
328 |
Глава 10. Оценка параметров систем уравнений |
Если уравнение не идентифицировано, переменных в системе (10.21) оказывается больше, чем уравнений, и эта система представляет бесконечное множество значений параметров структурной формы. Чтобы выбрать из этого множество какое-то решение, часть параметров структурной формы надо зафиксировать, т.е. сделать уравнение идентифицированным.
Для сверхидентифицированного уравнения система (10.21) является переопределенной, и ее уравнения не могут выполняться как равенства. Различные методы оценки такого уравнения реализуют различные подходы к минимизации невязок по уравнениям этой системы.
Одним из таких методов является двухшаговый метод (2М) наименьших квадратов.
На первом шаге с помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы для переменных X−l :
X−l = ZD−l + V l,
где V l — N ×(kl −1)-матрица остатков по уравнениям; и определяются расчетные значения этих переменных уже без ошибок:
X−lc = ZD−l .
На втором шаге с помощью МНК оцениваются искомые параметры структурной формы из уравнения:
Xl = Xlc bl + Zlal + el. |
(10.27) |
− |
|
Для этого уравнения гипотеза g2 выполняется, т.к. регрессоры не имеют ошибок, и поэтому применим обычный МНК.
Можно определить единый оператор 2M-оценивания. Поскольку
X−lc = F X−l ,
где F = Z(Z Z)−1Z , уравнение (10.24) записывается как:
|
|
Xl = F Xl |
Zl |
bl |
+ el, |
|
|
(10.28) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
− |
|
al |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а оператор, входящий в него, как: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
bl |
= |
Xl |
F Xl |
Xl |
Zl |
Xl |
F Xl |
. |
(10.29) |
|
− |
− |
− |
|
− |
|
|||
a |
|
Zl Xl |
Zl Zl |
Zl X |
|
|
|||
l |
|
|
− |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
330 |
Глава 10. Оценка параметров систем уравнений |
|
|
Это доказывается аналогично с учетом того, что остатки V l ортогональны регрес- |
|
|
сорам Z и, соответственно, |
|
|
Z V l = 0, Xl |
V l = V l V l, Xl cV l = 0. |
|
− |
− |
Попытка применить оператор 2М-оценивания для не идентифицированного уравнения не имеет смысла, т.к. обращаемая матрица в данном операторе вырождена.
В этом легко убедиться, т.к.
F X−l Zl = Z D−l TlA ,
т.е. матрица наблюдений за регрессорами в (10.25) получается умножением на Z слева матрицы системы (10.21). В последней, если уравнение не идентифицировано, — столбцов больше, чем строк. Следовательно, регрессоры в (10.25) линейно связаны между собой, а матрица системы нормальных уравнений (матрица оператора оценивания) вырождена.
Для сверхидентифицированного уравнения можно использовать также метод наименьшего дисперсионного отношения (МНДО). Строгое обоснование его применимости вытекает из метода максимального правдоподобия.
Пусть bl в уравнении (10.20) оценено, и Xl bl рассматривается как единая эндогенная переменная. В результате применения МНК определяются:
al = (Zl Zl)−1Zl Xl bl, |
|
|
|
|
||
e = (I |
N − |
F l)Xl bl, |
где F l = Zl(Zl Zl)−1Zl , |
(10.32) |
||
l |
|
|
|
|
|
|
e e = bl W lbl, |
где W l = Xl (I |
N − |
F l)Xl . |
|
||
l l |
|
|
|
|
|
Теперь находится остаточная сумма квадратов при условии, что все экзогенные переменные входят в l-е уравнение. Она равна bl W bl , где W = Xl (IN − F )Xl . Тогда bl должны были бы быть оценены так, чтобы
|
bl W lbl |
λ = |
bl W bl → min! |
Иначе было бы трудно понять, почему в этом уравнении присутствуют не все экзогенные переменные.
Решение этой задачи приводит к следующим условиям: |
|
(W l − λW )bl = 0. |
(10.33) |
10.4. Оценка параметров системы идентифицированных уравнений |
331 |
Действительно, из условия равенства нулю первой производной:
∂λ |
= |
2W lbl(bl W bl) − 2W bl(bl W lbl) |
= |
2 |
(W lbl |
− |
λW bl) = 0, |
|
∂bl |
(bl W bl)2 |
bl W bl |
||||||
|
|
|
|
сразу следует (10.33).
Следовательно, λ находится как минимальный корень характеристического уравнения (см. Приложение A.1.2)
W l − λW = 0,
а bl определяется из 10.33 с точностью до постоянного множителя, т.е. с точностью до нормировки bll = 1.
В общем случае |
λmin > 1, но |
при правильной спецификации модели |
|
λminN−→ 1. |
|
|
|
→∞ |
|
|
|
Оператор |
|
|
|
|
|
|
−1 |
bl = |
X−l X−l − kV l V l |
X−l Zl |
(X−l − kV l )Xl |
al |
Zl Xl |
Zl Zl |
Zl Xl |
|
− |
|
|
позволяет получить так называемые оценки k-класса (не путать с k — количеством эндогенных переменных в системе).
При k = 0, они являются обычными МНК-оценками для l-го уравнения, что легко проверяется; при k = 1, это — 2М-оценки; при k = λmin — МНДОоценки (принимается без доказательства). 2М-оценки занимают промежуточное положение между МНК- и МНДО-оценками (т.к. λmin > 1). Исследования показывают, что эффективные оценки получаются при k < 1.
10.4.Оценка параметров системы идентифицированных уравнений
Из приведенной формы системы уравнений следует, что
x ε = (B−1) A z ε + (B−1) ε ε.
Как и прежде, в любом наблюдении E(ε) = 0, E(ε ε) = σ2Ω, и ошибки не коррелированы по наблюдениям. Тогда
E(x ε) = (B−1) E(ε ε) = σ2(B−1) Ω,
332 |
Глава 10. Оценка параметров систем уравнений |
т.е. в общем случае все эндогенные переменные коррелированы с ошибками во всех уравнениях. Это является основным препятствием для применения обычного МНК ко всем уравнениям по отдельности.
Но в случае, если в матрице B все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, т.е. в правой части l-го уравнения могут появлять-
ся только более младшие эндогенные переменные xl , |
l < l, и последней |
|||
компонентой любого вектора xl |
является x |
, а матрица |
Ω диагональна, то ε |
|
|
|
l |
|
l |
не коррелирует с переменными |
xl |
при любом l. Это — рекурсивная систе- |
||
|
− |
|
|
|
ма, и для оценки ее параметров можно применять МНК к отдельным уравнениям.
Для оценки параметров всех идентифицированных уравнений системы можно применить трехшаговый метод (3М) наименьших квадратов.
Первые два шага 3М совпадают с 2М, но представляются они по сравнению с предыдущим пунктом в несколько иной форме.
Предполагается, что идентифицированы все k уравнений:
|
Xl = Xl βl + Zlαl + εl = Qlγl + εl, l = 1, . . . , k, |
|
|
− |
|
где Ql = [Xl |
, Zl], γl = [ βl αl ] . Учитывая указанные выше свойства остатков: |
|
− |
|
|
|
E(εlεl) = σ2ωllIN , E(εl εl) = σ2ωl lIN . |
|
Теперь обе части l-го уравнения умножаются слева на Z : |
|
|
|
Z Xl = Z Qlγl + Z εl, |
(10.34) |
иZ Xl рассматривается как вектор n + 1 наблюдений за одной эндогенной переменной, а Z Ql — как матрица n + 1 наблюдений за nl + kl экзогенными переменными, включая свободный член. Так как все уравнения идентифицированы,
ивыполнено условие (10.14), во всех этих новых регрессиях количество наблюдений не меньше количества оцениваемых параметров. Для сверхидентифицированных уравнений количество наблюдений в новой регрессии будет превышать количество оцениваемых параметров. Это более естественный случай. Поэтому 3М-метод обычно применяют для всех сверхидентифицированных уравнений системы.
Матрица ковариации остатков по уравнению (10.34) равна σ2ωllZ Z. Она отлична от σ2IN , и для получения оценок cl параметров γl этого уравнения нужно использовать ОМНК:
cl = (Ql Z(Z Z)−1Z Ql)−1Ql Z(Z Z)−1Z Xl, или cl = (Ql F Ql)−1Ql F Xl.