Ведение в социально - экономическую статистику. Учебник. Новосибирск, 2004. 739 с
.pdf12.1. Метод скользящих средних |
|
|
|
|
|
393 |
||||
Получается система уравнений: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
+ a1 |
2 |
|
+ a2 |
2 |
= |
2 |
|
|
|
a0 |
t |
t2 |
xt, |
||||
|
|
t=−2 |
t=−2 |
|
t=−2 |
|
t=−2 |
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
a0 |
t + a1 |
t2 |
+ a2 |
t3 |
= |
xtt, |
||
|
|
|
t=−2 |
t=−2 |
|
t=−2 |
|
t=−2 |
||
|
|
|
2 |
+ a1 |
2 |
|
+ a2 |
2 |
= |
2 |
|
|
a0 |
t2 |
t3 |
t4 |
xtt2. |
||||
|
|
t=−2 |
t=−2 |
|
t=−2 |
|
t=−2 |
|||
Для конкретных значений сумм при ap система уравнений приобретает вид: |
||||||||||
|
|
|
|
5a0 + 10a2 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
xt, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
t=−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10a1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
xtt, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
t=−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
10a0 + 34a2 |
= |
xtt2. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
t=−2 |
|
|
|
Решение этой системы относительно a0 дает следующий результат: |
||||||||||
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
||
17 |
|
|
(−3x−2 + 12x−1 + 17x0 + 12x1 − 3x2) . |
|||||||
a0 = |
|
xt − 5 |
xtt2 |
= |
|
|||||
35 |
35 |
|||||||||
|
|
t=−2 |
|
t=−2 |
|
|
|
|
|
|
Весовые коэффициенты для полиномов 2–5 степени и длины отрезка скольжения от 5 до 9 представлены в таблице 12.1.
Таблица 12.1. Фрагмент таблицы Каудена для весов βt
Длина |
|
|
|
|
Степени полинома |
|||
отрезка |
|
|
|
|
|
|
|
|
скольже- |
|
|
|
|
|
|
|
|
ния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m + 1 |
m |
|
|
|
p = 2, p = 3 |
|
|
p = 4, p = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
1 |
(−3, 12, 17, 12, −3) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
35 |
|
|
|
|||||
7 |
3 |
|
1 |
(−2, 3, 6, 7, 6, 3, −2) |
|
1 |
(5, −30, 75, 131, 75, −30, 5) |
|
21 |
231 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
4 |
|
1 |
|
(−21, 14, 39, 54, 59, 54, |
|
1 |
(15, −55, 30, 135, 179, 135, |
|
231 |
429 |
||||||
|
|
|
|
|
39, 14, −21) |
|
|
30, −55, 15) |
394 Глава 12. Сглаживание временного ряда
Метод скользящих средних в матричной форме
Введем следующие обозначения:
1. |
cj = |
1 |
m |
xttj . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
t=−m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Так как xt |
и tj известны, то cj также известно для каждого |
|||||||||||
|
j = 0, 1, . . . , p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
ωi = |
1 |
m |
ti, |
i = 0, 1, . . . , 2p. Тогда |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 t=−m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
если i — нечетно, |
||
|
|
|
|
|
ωi |
= 2m + 1 |
, |
если i = 0, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1i + 2i + . . . + mi, |
если i — четно. |
||||||
В таких обозначениях система (12.3) принимает вид: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ω0 |
ω1 |
· · · |
ωp |
a0 |
|
c0 |
||
|
|
|
|
|
ω1 |
ω2 |
· · · |
ωp+1 |
a1 |
= |
c1 . |
||
|
|
|
|
|
. |
. |
. |
. |
|
. |
. |
|
. |
|
|
|
|
|
. |
. |
|
. |
. |
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
. |
|
|
. |
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
ωp |
ωp+1 · · · |
ω2p |
ap |
|
cp |
В краткой записи эта система выглядит как
M a = c,
где матрица M — известна, кроме того, ее элементы с нечетными индексами равны нулю, вектор c также известен.
Из полученной системы следует
a = M −1c.
Теперь можно использовать формулу Крамера для нахождения ak :
ak = det Mk+1 , det M
396 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 12. Сглаживание временного ряда |
||||||||||||||||||||||||||
|
5/2 |
0 |
|
c0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
det M3 = |
0 |
5 |
|
c1 |
= 25 |
|
− c0 |
= |
|
|
|
|
|
xtt2 − xt . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
t=−2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
0 |
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=−2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det M1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a0 = |
= |
|
|
|
17 |
|
|
|
xt |
− 5 |
|
|
|
xtt2 |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
det M |
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t=−2 |
|
|
|
|
t=−2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
det M2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a1 = |
|
= |
|
|
|
|
|
xtt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
det M |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t=−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
det M3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a2 = |
= |
|
|
|
|
|
xtt2 − |
|
|
|
|
|
|
xt. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
det M |
|
|
14 |
|
|
|
|
7 |
|
t=−2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
a0 = − |
|
x−2 |
+ |
|
|
|
x−1 + |
|
x0 |
+ |
|
x1 − |
|
|
x2, |
|||||||||||||||||||||||
|
35 |
35 |
35 |
35 |
35 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a1 = −0, 2x−2 − 0, 1x−1 + 0, 1x1 + 0, 2x2, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 = |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
x1 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x−2 |
− |
|
|
x−1 |
− |
|
x0 − |
|
|
|
x2 |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
7 |
14 |
7 |
14 |
7 |
|
|
и каждый из этих коэффициентов получается как взвешенная средняя из уровней временного ряда, входящих в отрезок.
Оценки параметров a1, a2, . . . , ap необходимы для вычисления значений тренда в первых m и последних m точках временного ряда, поскольку рассмотренный способ сглаживания ряда через a0 сделать это не позволяет.
Размерность матрицы M определяется степенью полинома: (p + 1) × (p + 1), пределы суммирования во всех формулах задаются длиной отрезка скольжения. Следовательно, для выбранных значений p и m можно получить общее решение в виде вектора (a0, a1, . . . , ap) .
Свойства скользящих средних
1. Сумма весов βt в формуле a0 = |
m |
βtxt равна единице. |
|
|
t=−m |
Действительно, пусть все значения временного ряда равны одной и той же
константе |
c. Тогда |
m |
βtxt = c |
m |
βt должна быть равна этой константе |
|
t=−m |
t=−m |
|||||
|
|
|
m |
|||
c, а это возможно только в том случае, если |
t=−m βt = 1. |
2. Веса симметричны относительно нулевого значения t, т.е. βt = β−t
12.1. Метод скользящих средних |
397 |
Это следует из того, что весовые коэффициенты при каждом xt зависят от tj ,
аj принимает только четные значения.
3.Для полиномов четного порядка p = 2k формулы расчета a0 будут теми же самыми, что и для полиномов нечетного порядка p = 2k + 1.
Пусть p = 2k + 1, тогда матрица коэффициентов системы (12.3) при неизвестных параметрах a0, a1, . . . , ap будет выглядеть следующим образом:
m |
0 |
m |
|
· · · |
m |
|
2k |
m |
2k+1 |
||
t=−m t |
|
t=−m t |
|
t=−m t |
|
t=−m t |
|
||||
m |
|
m |
2 |
· · · |
m |
2k+1 |
m |
2k+2 |
|||
t=−m t |
|
t=−m t |
|
t=−m t |
|
|
t=−m t |
|
|||
. |
|
. |
|
. |
. |
|
. |
|
|
. |
. |
. |
|
. |
|
|
. |
. |
|
|
. |
||
. |
|
. |
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
m |
2k |
m |
2k+1 |
· · · |
m |
|
4k |
m |
4k+1 |
||
t=−m t |
|
t=−m t |
|
t=−m t |
|
t=−m t |
|
||||
m |
2k+1 |
m |
2k+2 |
· · · |
m |
4k+1 |
m |
4k+2 |
|||
t=−m t |
|
t=−m t |
|
t=−m t |
|
|
t=−m t |
|
Для нахождения a0 используются уравнения с четными степенями t при a0 , следовательно, половина строк матрицы, включая последнюю, в расчетах участвовать не будет.
В этом блоке матрицы, содержащем коэффициенты при a0, a2, a4, . . . , последний столбец состоит из нулей, так как его элементы — суммы нечетных степеней t. Таким образом, уравнения для нахождения a0 при нечетном значении p = 2k + 1 в точности совпадают с уравнениями, которые надо решить для нахождения a0 при меньшем на единицу четном значении p = 2k:
m |
0 |
m |
2 |
· · · |
m |
2k |
||
t=−m t |
|
t=−m t |
|
t=−m t |
|
|||
m |
2 |
m |
4 |
· · · |
m |
2k+2 |
||
t=−m t |
|
t=−m t |
|
t=−m t |
. |
|||
. |
|
. |
|
. |
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
|
|
. . |
|
|
m |
2k |
m |
2k+2 |
· · · |
m |
4k |
||
t=−m t |
|
t=−m t |
|
t=−m t |
|
4. Оценки параметров a1, . . . , ap тоже выражены в виде линейной комбинации уровней временного ряда, входящих в отрезок, но весовые коэффициенты в этих формулах в сумме равны нулю и не симметричны.
Естественным образом возникает вопрос, какой степени полином следует выбирать и какой должна быть длина отрезка скольжения. Закономерность такова: чем выше степень полинома и короче отрезок скольжения, тем ближе расчетные
398 Глава 12. Сглаживание временного ряда
значения к первоначальным данным. При этом, помимо тенденции могут воспроизводиться и случайные колебания, нарушающие ее смысл. И наоборот, чем ниже степень полинома и чем длиннее отрезок скольжения, тем более гладкой является сглаживающая кривая, тем в большей мере она отвечает свойствам тенденции, хотя ошибка аппроксимации будет при этом выше.
В принципе, если ставится задача выявления тренда, то, с учетом особенностей покомпонентного разложения временного ряда, следует ориентироваться не на минимальную остаточную дисперсию, а на стационарность остатков, получающихся после исключения тренда.
12.2. Экспоненциальное сглаживание
Кроме метода скользящей средней как способа фильтрации временного ряда известностью пользуется экспоненциальное сглаживание, в основе которого лежит
расчет экспоненциальных средних. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Экспоненциальная средняя рассчитывается по рекуррентной формуле: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
st = αxt + βst−1, |
|
|
|
|
|
(12.4) |
||||
где st — значение экспоненциальной средней в момент t, |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
α — параметр сглаживания (вес последнего наблюдения), 0 < α < 1, |
||||||||||||||||
|
|
β = 1 − α. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Экспоненциальную среднюю, используя рекуррентность формулы (12.4), мож- |
|||||||||||||||||
но выразить через значения временного ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
s |
t |
= αx |
t |
+ β(αx |
t−1 |
+ βs |
t−2 |
) = αx |
t |
+ αβx |
t−1 |
+ β2s |
t−2 |
= . . . = |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= αxt + αβxt−1 + αβ2xt−2 + . . . + αβj xt−j + . . . + αβt−1x1 + βts0 = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= α |
t−1 |
|
+ βts |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βj x |
t−j |
, (12.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
j=0
t — количество уровней ряда, s0 — некоторая величина, характеризующая начальные условия для первого применения формулы (12.4) при t = 1. В качестве s0 можно использовать первое значение временного ряда, т.е. x1 .
Так как β < 1, то при t → ∞ величина βt → 0, а сумма коэффициентов
t−1
αβj → 1.
j=0
Действительно,
∞ |
1 |
= (1 − β) |
1 |
= 1. |
α j=0 βj = α |
|
|
||
1 − β |
1 − β |
12.2. Экспоненциальное сглаживание |
399 |
Тогда последним слагаемым в формуле (12.5) можно пренебречь и
∞∞
st = α |
βj xt−j = α (1 − α)j xt−j . |
j=0 |
j=0 |
Таким образом, величина st оказывается взвешенной суммой всех уровней ряда, причем веса уменьшаются экспоненциально, по мере углубления в историю процесса, отсюда название — экспоненциальная средняя.
Несложно показать, что экспоненциальная средняя имеет то же математическое ожидание, что и исходный временной ряд, но меньшую дисперсию.
Что касается параметра сглаживания α, то чем ближе α к единице, тем менее ощутимо расхождение между сглаженным рядом и исходным. И наоборот, чем меньше α, тем в большей степени подавляются случайные колебания ряда и отчетливее вырисовывается его тенденция. Экспоненциальное сглаживание можно представить в виде фильтра, на вход которого поступают значения исходного временного рядя, а на выходе формируется экспоненциальная средняя.
Использование экспоненциальной средней в качестве инструмента выравнивания временного ряда оправдано в случае стационарных процессов с незначительным сезонным эффектом. Однако многие процессы содержат тенденцию, сочетающуюся с ярко выраженными сезонными колебаниями.
Довольно эффективный способ описания таких процессов — адаптивные сезонные модели, основанные на экспоненциальном сглаживании. Особенность адаптивных сезонных моделей заключается в том, что по мере поступления новой информации происходит корректировка параметров модели, их приспособление, адаптация к изменяющимся во времени условиям развития процесса.
Выделяют два вида моделей, которые можно изобразить схематично:
1. Модель с аддитивным сезонным эффектом, предложенная Тейлом и Вейджем (Theil H., Wage S.):
xt = ft + gt + εt, |
(12.6) |
где ft отражает тенденцию развития процесса, gt, gt−1, . . . , gt−k+1 — аддитивные коэффициенты сезонности; k — количество опорных временных интервалов (фаз) в полном сезонном цикле; εt — белый шум.
2. Модель с мультипликативным сезонным эффектом, разработанная Уинтерсом (Winters P.R.):
xt = ft · mt · εt, |
(12.7) |
где mt, mt−1, . . . , mt−k+1 — мультипликативные коэффициенты сезонности.
402 Глава 12. Сглаживание временного ряда
Рассмотрим для иллюстрации модель Уинтерса с аддитивным ростом и мульти-
пликативным сезонным эффектом: |
|
|
|||
ft = αf |
|
xt |
+ (1 − αf )(ft−1 |
+ ct−1), |
|
mt−k |
|||||
|
|
xt |
|
|
|
mt = αm |
|
+ (1 − αm)mt−k , |
(12.8) |
||
ft |
ct = αc(ft − ft−1) + (1 − αc)ct−1.
Расчетные значения исследуемого показателя на каждом шаге, после обновления параметров ft, mt и ct , получаются как произведение ft · mt.
Прежде чем воспользоваться полной схемой экспоненциального сглаживания (12.8), а сделать это можно начиная с момента t = k + 1, необходимо получить начальные, отправные значения перечисленных параметров.
Для этого с помощью МНК можно оценить коэффициенты f1 и c1 регрессии: xt = f1 + c1t + εt,
и на первом сезонном цикле (для t = 1, . . . , k) адаптацию параметров произвести по усеченному варианту:
ft = αf xt + (1 − αf )ft−1,
mt = xt , t = 1, . . . , k, ft
ct = αc(ft − ft−1) + (1 − αc)ct−1, gt = xt − ft.
Задача оптимизации модели сводится к поиску наилучших значений параметров αf , αm, αc, выбор которых определяется целями исследования и характером моделируемого процесса. Уинтерс предлагает находить оптимальные уровни этих коэффициентов экспериментальным путем, с помощью сетки значений αf , αm, αc (например, (0, 1; 0, 1; 0, 1), (0, 1; 0, 1; 0, 2), . . . ). В качестве критерия сравнения вариантов рекомендуется стандартное отклонение ошибки.
12.3. Упражнения и задачи
Упражнение 1
1.1.Сгенерируйте 20 рядов по 100 наблюдений на основе полиномиального тренда τt = 5 + 4t − 0, 07t2 + 0.0005t3 с добавлением белого шума с нормальным распределением и дисперсией 20 .