4.Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье.

В этом пункте, опираясь на теорему 1.4, мы получим достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке, на которые будем опираться при решении практических задач.

Теорема 2.4:(Условие Дини).

Пусть ипериодична. Если для некоторогоинтегралсходится абсолютно ( в собственном и несобственном смысле ), то есть, (14.4)

то .

Доказательство:

Утверждение теоремы 2.4 является следствием теоремы 1.4. Действительно, если интеграл (14.4) сходится в собственном смысле, то условие (11.4) выполнено согласно лемме Римана. Если интеграл (14.4) сходится в несобственном смысле, то условие (11.4) также выполнено согласно следствия 1.4. Теорема доказана.

Определение 2.4:Пусть функцияопределена ви существуют односторонние пределы. Правой и, соответственно, левой производной функциив точкеназываются пределы:

Обе производные иназываются односторонними производными.

На практике при вычислении односторонних производных удобно применять следующее утверждение, которое легко доказывается с помощью формулы Лагранжа.

Утверждение 1.4:Еслиопределена и дифференцируема в( или) и существует(или), то(или).

Задача 1.4:Доказать утверждение 1.4.

Теорема 3.4:Пустьипериодична. Если в точке:

1) и;

2) ,

то (15.4)

Доказательство:

Проверим выполнение условий теоремы 1.4 с константой

.

Пусть определена формулой (12.4). Тогда

.

Если учесть условие 2), то отсюда получим существование

.

Поэтому, согласно лемме 1.4, функция интегрируема на любом отрезке, где. Тогда условие (11.4) теоремы 1.4 вытекает из леммы Римана. Таким образом, доказано выполнение всех условий теоремы 1.4. Из этой теоремы получим равенство (15.4). Теорема доказана.

Замечание 3.4:Формула (15.4) показывает, что сумма ряда Фурье в точкене зависит от значения функциив точке, а зависит от односторонних пределовв точке, то есть от поведенияв. Это полностью согласуется с принципом локализации и тем, что коэффициенты ряда Фурье, согласно теореме 1.2 не изменятся, еслиизменить в конечном числе точек.

Определение 3.4: Функцияназывается кусочно-гладкой на отрезке, если выполнены следующие условия:

а) - кусочно-непрерывная нафункция;

б) производная существует во всех точках, за исключением, быть может, конечного числа точек, исама является кусочно-непрерывной функцией.

Следствие 3.4:Если кусочно-гладкая функция, то

,

то есть ряд Фурье функции сходится к значениюв каждой точке.

Доказательство:

Если продолжить функцию с периодом, то для продолженной функции в каждой точкебудут выполнены условия теоремы 3.4. Действительно, условие 1) выполнено, так как. Условие 2) выполнено в каждой точке, согласно утверждению 1.4, поскольку-кусочно-гладкая. Следствие доказано, так как для функцииимеет место равенство

-периодична и в точкевыполнены условия:

1) и;

2) ,

то выполнено равенство (15.4).

Доказательство немедленно следует из утверждения 1.4.

Если функция определена только на отрезке, то в этом случае удобно использовать

Следствие 5.4:Еслии в точкевыполнены условия а), б) следствия 4.4, то выполнено равенство (15.4).

Следствие 6.4: Еслии

а)

б) ,

то (16.4)

то есть сумма ряда Фурье в точках равна.

Оба утверждения следствий 5.4, 6.4 получатся из следствия 4.4, если функцию продолжить периодически с периодомна всю числовую прямую.

Ясно, что если дифференцируема в точке, то оба условия теоремы 3.4 выполнены.

Следствие 7.4:Еслии в точкефункциядифференцируема, то.

Замечание 4.4:Из следствий 5.4, 6.4, 7.4 вытекает, что если функция-кусочно-гладкая на отрезке, то сумма ее ряда Фурье есть функция из пространства.