3. Определение ряда Фурье.

Если Lконечномерное евклидово пространство с базисомто любой элементможно разложить по этому базису, то естьгде.

В случае бесконечномерного евклидова пространства Е разложение элемента по бесконечной ортонормированной системе называется рядом Фурье.

Пусть (1.2) является ортонормированной системой в евклидовом пространстве Е.

Определение 3.2. Рядом Фурье элементапо ортонормированной системе (1.2) называется ряд

(5.2)

где Числаназываются коэффициентами Фурье или координатами элементав системе (1.2). Выражениеназываетсяn-й частичной (или просто частичной) суммой ряда Фурье (5.2).

Определение 4.2. Говорят, что ряд Фурье (5.2) сходится в среднем (или по норме Е), еслитакая, что

(6.2)

Если выполнено равенство (6.2), то будем говорить, что ряд (5.2) сходится в среднем к элементу и писать

Основной целью параграфа является изучение вопроса о том, в каких случаях ряд Фурье элемента сходится кв среднем.

Исследуем для начала вопрос о просто сходимости ряда Фурье.

Теорема 1.2. Если Е-гильбертово пространство, то ряд Фурье (5.2) элементасходится для любой ортонормированной системы (1.2).

Для доказательства теоремы нам потребуется вспомогательное утверждение относительно свойств ортонормированных систем в евклидовых пространствах.

Лемма 1.2. Если Е-евклидово пространство и (1.2) ортонормированная система в Е, тоимеет место соотношение (равенство Бесселя):

(7.2)

а также равенство

(8.2)

которое называется неравенством Бесселя. Здесь - коэффициенты Фурье элемента.

Доказательство.

поскольку система {} – ортонормированна.

Равенство Бесселя (7.2) доказано. Из него, в частности, следует, что

Следовательно, все частичные суммы ряда в (8.2) ограничены. Поэтому этот ряд сходится. Переходя в последнем неравенстве к пределу при , получим неравенство (8.2) . Лемма доказана.

Замечание 3.2. Из неравенства Бесселя, в частности следует, что ряд слева в (8.2) сходится и, значит, коэффициенты Фурьедля любого элемента.

Доказательство теоремы 1.2.

Докажем, что последовательность фундаментальна в Е. Имеем при

гдеостаток рядаИз неравенства Бесселя следует, что этот ряд сходится и, значит,Поэтому

Следовательно, таких, что. Таким образом, {} фундаментальная последовательность. А так как Е полное пространство, тотакая, что. Теорема доказана.

4. Замкнутые системы в евклидовых пространствах.

Рассмотрим еще одно важное свойство ряда Фурье.

Теорема 3.2. Если (1.2) есть ортонормированная система в пространстве Е, тоиимеет место неравенство

(9.2)

где есть-я частичная сумма ряда Фурье функции.

Доказательство.

Так как система ортонормированна, то

согласно равенству Бесселя. Теорема доказана.

Замечание 4.2. Неравенство (9.2) называется минимальным свойством коэффициентов Фурье. Оно означает, что частичные суммы ряда Фурьенаилучшим образом приближают в среднем элементв линейной оболочке первыхвекторов системы (1.2).

Определение 5.2.Система векторов (1.2) называется замкнутой в нормированном пространстве Е, еслиисуществует конечный набор чиселтакой, что

. (10.2)

Если через обозначить замыкание по норме Е множества всех конечных линейных комбинаций системы (1.2) (линейной оболочки), то определение (5.2) можно переформулировать так: системазамкнута в Е, если Е.

Следующие теоремы описывают свойства замкнутых систем.

Теорема 4.2. Если (1.2) ортонормированная система в евклидовом пространстве Е, то следующие условия эквивалентны:

1. Система (1.2) замкнута в Е;

2. Для неравенство Бесселя превращается в неравенство (Парсеваля)

где(11.2)

3. Для ряд Фурье элементасходится в среднем к, то есть

в среднем. (12.2)

Доказательство.

1.2. Возьмеми. Так как система (1.2) замкнута, тотакие, что.

Используя равенство Бесселя, и минимальное свойство коэффициентов ряда Фурье (9.2), выведем:

Если в этом неравенстве перейти к пределу при и воспользоваться неравенством Бесселя, то получим

Отсюда следует равенство Парсеваля (11.2).

2.3. Для, воспользовавшись равенством Парсеваля, получим

А это и означает (12.2).

3.1. Из (12.2) следует

Поэтому система (1.2) замкнута. Теорема доказана.

Замечание 5.2. Из теоремы 4.2 следует, что замкнутая ортонормированная система в бесконечномерном пространстве.

Задача 2.2. Если (1.2) есть замкнутая ортонормированная система в евклидовом пространстве, тоимеет место равенство (обобщённое равенство Парсеваля)гдеесть коэффициенты Фурье элементовисоответственно.

Утверждение 2.2.Если (1.2) замкнутая ортонормированная система в, то вне существует ненулевого элемента, у которого все коэффициенты Фурье равны 0. (системы с таким свойством называются полными).

Доказательство.

Действительно, если при всех, то из равенства Парсеваля следует. Утверждение доказано.

Следствие 1.2.Для всякой замкнутой ортонормированной системы вдва различных элемента не могут иметь одинаковые ряды Фурье.

Действительно, если элементы иимеют одинаковые ряды Фурье, то у разностивсе коэффициенты Фурье равны 0. Следовательно,.

Следствие 2.2. Если (1.2) есть замкнутая ортонормированная система ви для элементав смысле сходимости в среднем имеет место равенство, тоесть коэффициенты Фурье функции, то есть.

Доказательство.

Пусть есть коэффициенты Фурье. Тогда из условия и утвержденияIIIтеоремы 4.2 следует:. Учитывая ортонормированность системы (1.2), отсюда выведем. Это означает, чтои. Следствие доказано.

Мы рассмотрели вопрос о разложении векторов в ряд Фурье в произвольном бесконечномерном Евклидовом пространстве. Ряды Фурье являются эффективным аппаратом при решении различных задач математической физики и математики. При этом в качестве евклидовых пространств берутся функциональные пространства с соответствующими ортонормированными системами. Примерами таких систем являются полиномы Лежандра, полиномы Чебышева, система Хаара, система Радемахера, функция Бесселя и другие.

В следующем параграфе мы подробно рассмотрим вопрос о разложении функций в ряд Фурье по тригонометрической системе.