Совершенное множество является замкнутым и не имеет изолированных

точек.

Лемма. Для того чтобы точка x являлась изолированной точкой мно-

жества F необходимо и достаточно, чтобы она была общим кон-

цом двух соседних смежных интервалов.

Доказательство:

() Пусть x₀ изолированная точка множества F. Тогда по определению V(x₀,), в которой кроме x₀ нет ни одной точки x. Рассмотрим (x₀, x₀), не содержащий ни одной точки из F  он принадлежит некоторому смежному интервалу ( , ), = x₀. Аналогично интервал (x₀, x₀+) не содержит точек из F содержится в смежном интервале (x₀,). Итак, x₀ является правым концом некоторого смежного интервала ( , x₀) и левым концом интервала (x₀,).

() Пусть x₀конец двух соседних смежных интервалов, x₀F.

Обозначим =min (x₀-, x₀-). Рассмотрим V(x₀,). В ней нет ни

одной точки множества F, кроме точки x₀. По определению x₀изолиро-

ванная точка множества F.

Из теоремы 6, теоремы 7 и леммы следует утверждение о строении совер-

шенных множеств.

Теорема 8 (О строении совершенного ограниченного множества).

Для того чтобы ограниченное множество было совершенным

необходимо и достаточно, чтобы оно являлось либо отрезком,

либо получалось из некоторого отрезка удалением конечного

или счетного множества интервалов, не имеющих ни общих

концов друг с другом, ни с отрезком.

Теорема 8 (О строении совершенного множества).

Для того чтобы множество было совершенным необходимо и

достаточно, чтобы оно являлось или прямой R, или получа-

лось из R удалением конечного или счетного множества не-

пересекающихся интервалов, не имеющих общих концов

друг с другом.

Пример. Канторово множество.

Оно является ограниченным, замкнутым, совершенным. (Множество по-

лучено из [0,1] удалением из него счетного множества попарно не пе-

ресекающихся интервалов, не имеющих общих точек ни друг с другом,

ни с концами [0,1]. Значит, по теореме 8 множество является совершен-

ным).

Измеримые множества, измеримые функции.

Интеграл Лебега.

Опр.1. Мерой интервала (a,b),a<b называется его длина, т.е. число m=m(a , b)=b-a.

Очевидно, что m(a , b)>0.

Всякое открытое множество является объединением конечного или

счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, которые

называются составляющими интервалами открытого множества.

Пусть G открытое множество. Тогда G=, где .

Т.к. G ограничено, то оно содержится в некотором интервале (a , b), мера

которого определена m(a , b)=b-a.

Очевидно, что k  _k (a , b).

Итак, интервалы  _k не пересекаются попарно и содержатся в интервале

(a , b).

Рассмотрим два случая:

1.G конечное объединение интервалов  _k , т.е. G=.

Мера интервала  _k это 0m( _k )<+.

0<+

положительное число, выражающее собой сумму мер непересе-

кающихся интервалов, входящих в состав множества G.

2.Пусть Gсчетное объединение интервалов  _k , т.е. G=

Рассмотрим ряд (1) положительный числовой ряд.

S _n = n-ая частичная сумма ряда.

Если m _k0, то последовательность {S _n} будет не убывающая, возрас-

тающая и ограничена сверху (см. п.1.) lim S _n=S по определению ряд (1) сходится и его сумма есть неотрицательное число, т.е.

0 (Ряд сходится, когда существует предел последовательности его частичных сумм).

Итак, если Gоткрытое ограниченное множество, то сумма мер его составляющих интервалов не отрицательное число, не большее, чем b-a.

Опр.2. Мерой ограниченного открытого множества G называется сумма

мер его составляющих интервалов, т.е. если G=, то

mG=. Ясно, что 0mG.

Свойства меры открытого ограниченного множества.

Теорема 1. Если ограниченное открытое множество G является объедине-

нием конечного числа или счетного множества попарно непе- ресекающихся открытых множеств G _k, то мера множества G

равна сумме мер множеств, т.е. mG=.

Доказательство: возьмем  G _kоткрыто может быть представлено в

виде G _k=, где =, ij.

G=.(2)

В правой части (2) не более чем счетное число интервалов. Т.к. G _k не

пересекаются попарно, то и интервалы в (2) попарно не пересекаются.

Следовательно, они являются составляющими интервалами для множест-

ва G . По определению 2 mG=.

Теорема 2. Пусть G ₁, G ₂ открытые ограниченные множества, т.ч.G ₁G ₂.

Тогда m G ₁ mG ₂.

Доказательство:.

Возьмем любой составляющий интервал  _k⁽¹⁾ множества G ₁.

Для любого  _k⁽¹⁾ существует составляющий интервал  _m⁽²⁾:  _k⁽¹⁾  _m⁽²⁾

m _k⁽¹⁾m _m⁽²⁾.

Просуммируем по k и получим неравенство: .

mG ₁mG ₂.

Мера ограниченного замкнутого множества.

Опр.1. Мерой пустого множества называется число ноль.

Пусть F ограниченное замкнутое множество. Тогда существует отрезок

=[a , b] , содержащий множество F. Рассмотрим множество C_∆F=\F.

C_∆Fоткрытое ограниченное множество (показано ранее) существует мера этого множества. Т.к. C_∆F(a , b), то 0m(C_∆F)<b-a

0(b-a)-m(C_∆F)<+.

Опр.2. Мерой ограниченного замкнутого множества F называется число,

обозначаемое mF и определяемое по формуле: mF=(b-a)-m(C_∆F),

где  наименьший отрезок, содержащий множество F.

Ранее было показано, что mFнеотрицательное число.

Свойства меры ограниченного замкнутого множества.

Теорема 3. m[a , b]=b-a.

Доказательство: в данном случае =[a , b], C_∆[a , b]=.

m[a, b]=(b-a)-m(C_∆[a , b])=b-a.

Теорема 4. Пусть [a , b], [c , d] непересекающиеся отрезки. Тогда мера

их объединения равна сумме мер отрезков, т.е.

m([a , b] [c , d])=m[a , b]+m[c , d].

Доказательство: =[a , d] C_∆([a , b][c , d])=(b , c) m([a , b] [c , d])=

m-m(C_∆([a , b][c, d])=m[a, d]-m (b, c)=d-a-(c-b)=d-a-c + b=(b-a)+(d-c)=

m[a, b]+m[c, d].

Теорема 5. Пусть F ограниченное замкнутое множество, содержащееся

в интервале G=(c , d). Тогда mF=mG-m(C _GF).

Доказательство: Пусть =[a , b]наименьший отрезок, содержащий мно-

жество F. Тогда по определению mF=(b-a)-m(C_∆F)=((d-b)+(b-a)+(a-c))-

-(m(C_∆F)+(d-b)+(a-c))=(d-c)- m(C _GF)=mG- m(C _GF).

Теорема 6. Если F₁,F₂ ограниченные замкнутые множества и F₁ F₂ ,то

m F₁m F₂.

Доказательство: Пусть G открытое множество, т.ч. F₂G F₁G.

(это, возможно, сделать, т.к. F₂ ограничено). Рассмотрим множества

C _GF₁ и C _GF₂. Имеем C _GF₁ C _GF₂открытые множества. Действительно,

пусть x C _GF₂ xG, xF₂, но F₁F₂xG,xF₁x C _GF₁. По т.2.

m (C _GF₁)m(C _GF₂)- m (C _GF₁)- m (C _GF₂)mG- m (C _GF₁)- m (C _GF₂)+mG

 mF₁m F₂.

Лемма Гейне-Бореля.

Пусть F, Mметрическое пространство.

Лемма. Пусть F замкнутое ограниченное множество,{( _k, _k)}_k=1^систе-

ма интервалов, покрывающих множество F, т.е. F .

Тогда существует конечное число интервалов ( _k1, _k1) ,…,( _kn, _kn)

покрывающих множество F, т.е. т.ч. F ( _ki, _ki), i=1,…,n.

Опр.1. Fкомпактно  F замкнуто и ограничено.

Опр.2. F компактно, если из любого бесконечного множества покрытий

множества F можно выделить конечное число подпокрытий мно-

жества F.

Доказательство леммы: Пусть F замкнутое ограниченное множество,

F[a, b]. [a , b]наименьший отрезок, содержащий множество F. Докажем

от противного. Предположим, что из бесконечной системы интервалов

нельзя выбрать конечную систему, покрывающую F.

Делим отрезок [a , b] на два равных отрезка [a ,], [,b]. Хотя бы один из них нельзя покрыть конечным числом интервалов. Обозначим его u₁. Далее u₁ делим на два равных отрезка, и за u₂ обоз-

начаем тот из них, который нельзя покрыть конечным числом интерва-

лов. Процесс продолжим до бесконечности. Получим последовательность

отрезков u₁ u₂ u₃… u _n…

Для последовательности {u _n} имеем:

1. u _n nN нельзя покрыть конечным числом интервалов по построению и

предположению  в u _n содержится бесконечное число точек множества F.

2. u _nпоследовательность вложенных отрезков, u _n=.

Тогда по принципу вложенных отрезков  .

Покажем, что x₀F.

Из п.1. следует, что  (x _n): x _n u _nF, a _n x _nb _n nN.

lim x _n=x₀ по теореме о пределе промежуточной последовательности.

x₀ предельная точка множества F, но F замкнутоx ₀Fk₀: x₀(_k0,_k0).

b _n-a _n0, n  N: n>N: u _n(_k0,_k0).

Итак, все отрезки последовательности u _n, начиная с номера N+1 содер-

жатся в фиксированном интервале (_k0,_k0), т.е. покрываются одним ин-

тервалом из данной системы. Противоречие с предположением, следова-

тельно предположение не верно.

Внешняя мера.

Пусть ограниченное множество, (a , b). Возьмем всевозможные от-

крытые множества G, покрывающие множество . Мера множества G

определена в предыдущих пунктах: 0mG<+.

Опр.1. Пусть множество всевозможных множеств, которые покрыва-

ют множество . Внешней мерой множества  называется число, обозначаемое m^*E и определяемое по формуле:

m^*E={mG}.

Свойства внешней меры множества.

Свойство 1. m^*E0

Доказательство: m^*E = {mG}.

0mG<+  GA(E) m^*E = inf{mG}0.

Свойство 2. E₁E₂ m^*E₁ m^*E₂.

Доказательство: Рассмотрим A(E₁) и A(E₂). A(E₁) A(E₂).

Если множество расширяется, то его inf может только уменьшится.

GA(E₂) {mG} {mG},GA(E₁) m^*E₁ m^*E₂.

Лемма 1. Пусть {O _k}_k=1^  система открытых множеств. O=.

Тогда m(O)=, если последний ряд сходится.

Доказательство: т.к. Oоткрытое множество, то O=(A _k,B _k), (A _k,B _k)

непересекающиеся попарно интервалы.

m(O)=(B_k-A _k)=.

O _n=(a _nm , b _nm)объединение попарно непересекающихся интервалов n.

m(O _n)=(b_nm- a _nm).

Возьмем  интервал (A _k,B _k).

O=(a _nm , b _nm).

Выберем >0:  _k=.Получим

[A _k +  _k , B _k- _k](A _k, B _k)O=(a _nm, b _nm).

Система интервалов (a _nm, b _nm)система, покрывающая [A _k +  _k , B _k- _k].

По лемме Гейне-Бореля из нее можно выбрать конечную систему интер-

валов, покрывающих данный отрезок: [A _k +  _k , B _k- _k]  ^(k)(a _nm, b _nm).

Тогда B _k-A _k-2 _k^(k) (b _nm-a_nm) B _k-A _k^(k) (b _nm-a_nm)+ 2 _k.

Просуммируем по k: .

m(O) ^(k) (b _nm-a_nm)+ . (1)

.

Из (1) m(O) при0.

Свойство 3. Пусть E=m^*E  m^*E _n.

Доказательство: возьмем nN и рассмотрим множество E _n. По опре-

делению m^*E _n={mO}  O _n: m(O _n) m^*E _n+.

Просуммируем по n все такие неравенства:

.

EO, O=O_n (E _nO _n nN, ).

По свойству 2 m^*Em(O)m^*(O _n)  m^*E _n+.

Переходим к пределу при 0 и получаем: m^*E  m^*E _n.

Внутренняя мера.

Пусть =(0,1),. РассмотримC_∆E=\E. Величинаm^*(C_∆E) определена в предыдущем пункте.

Опр. Внутренней мерой множества E называется число, обозначаемое

m_*E и определяемое по формуле: m_*E=1- m^* (C_∆E).

Свойства внутренней меры.

1.а) m ^*E m_*E

Доказательство: рассмотрим отрезок [ , 1-], E(0,1)=.C_∆E=\E  (0,1),

т.е. E C_∆E=(0,1).

Пусть G₁ покрывает E, G₁открытое множество, G₂ покрывает C_∆E,

G₂ открытое множество. Для выбранного отрезка [ , 1-], G₁A(E),

G₂A(C_∆E). Т.к. G₁ и G₂ открыты, то G₁=( _k, _k), G₂=( _m, _m), где

( _i, _i)( _j, _j)=, i j, ( _s, _s)( _p, _p)=, sp.

Рассмотрим G=G₁G₂открытое множество. Очевидно, что G покрывает

отрезок [ , 1-] (ограниченное замкнутое множество)по лемме Гейне-

Бореля из нее можно выделить конечную систему интервалов, покрыва-

ющих отрезок [ , 1-]. Выпишем ее: ( ₁, ₁),…, ( _n, _n) (1)

( ₁, ₁),…, ( _m, _m) (2)

Интервалы систем (1) и (2) между собой могут пересекаться.

1--1-2 (3)

Т.к. G₁ и G₂  любые открытые множества из A(E) и A(C_∆E), то по оп-

ределению нижней грани можно подобрать точку, чтобы выполнялись

следующие условия:

(4)

Тогда из (3) и (4) m^*E+ m^*C_∆E+21-2.

Переходя в последнем неравенстве к пределу при ,0, получим:

m^*E1- m^*C_∆E m^*E m_*E.

б) m_*E0.

Доказательство: (0,1)= . 1- m^*C_∆E0 m^*C_∆E1.

Возьмем (0,1). Возьмем любое открытое множество G, содержащее E,

т.ч. mG<1+.

EG  m^*E m^*G.

m^*G={mG₀}=mG m^*G=mG

 m^*E<1+.

Переходя к пределу при 0, получим: m^*E1т.к. C_∆E(0,1), то m^*C_∆E1.

Лемма 1. Пусть O и O  ограниченные открытые множества, покрываю-

щие интервал (0,1). Тогда m(O O)m(O)+m(O)-1.()

Доказательство: По условию O и O  ограниченные открытые мно- жестваO=( _k, _k), ( _i, _i)( _j, _j)=, i j.

O=( _m, _m), ( _s, _s)( _p, _p)=, sp.

Возьмем  и рассмотрим отрезок [,1-]. Т.к. OO(0,1) [,1-] , то по лемме Гейне-Бореля из этих интервалов можно выделить конечное число интервалов, покрывающих [,1-]: ( _k1, _k1),…,( _kn, _kn)

( _m1, _m1),…, ( _mp, _mp).

[, 1-]{( _kj, _kj)}{( _mj, _mj)}. Обозначим через N₁=k_j,

N₂=m_j ,

N=max{N₁, N₂}.

Т.к. O и Oограничены, то сходятся ряды ( _k- _k)мера ,

( _m- _m)мера . Для  N₀N ;

{т.к. Q _n абсолютно сходится  lim R _n=0}

Обозначим через =max {N,N₀}, Q=( _k, _k), Q=( _k, _k),

R=( _k, _k), R=( _k, _k).

O=QR, O= QR, RQ будет покрывать [,1-].

Рассмотрим QQ)(RR)=X. Пусть xxO,xO

а) xQ,xQxQQxX

б) xQ, xQxR или x RxRRxX

m()m(QQRR)m(QQ)+m(R)+m(R)<m(QQ)+=

=m(QQ)+ (1)

1--m(Q)+m(Q)-m(QQ)m(QQ)m(Q)+2-1 (2)

Из (1), (2), (3) m()-m(O)+m(O)+2-1, т.е. m()m(O)+m(O)+3-1. Переходим к пределу при 0, получим (*).

Лемма 2. Пусть {E _k}_k=1^ система попарно непересекающихся

множеств, т.е. E _k E _m=, km. Пусть E=E _k . Тогда

m_*Em_*E _k. (**)

Доказательство:

1. Пусть k=2. Даны множества E₁, E₂: E₁E₂=. Докажем:

m_*E= m_*(E₁E₂) m_*E₁+ m_*E₂. (4)

Докажем вспомогательные утверждения:

1)Если E₁, E₂ (0,1)= ,E₁E₂=Y= C_∆E₁ C_∆E₂(0,1).

Пусть x(0,1)а) xE₁xE₂x C_∆E₂xY.

б) xE₁x C_∆E₁xY.

2)C_∆E₁ C_∆E₂ = C_∆E=C_∆(E₁E₂)

Пусть x C_∆E₁ C_∆E₂x C_∆E_i, i=1,2xE₁,xE₂xE₁E₂x C_∆(E₁E₂)

Пусть x C_∆(E₁E₂) xE₁E₂ xE₁,xE₂ x C_∆E₁ C_∆E₂

По определению внешней меры (4) перепишем в виде:

1-m^*(C_∆(E₁E₂))1-m^*(C_∆E₁)+1- m^*(C_∆E₂)

m^*(C_∆E₁)+ m^*(C_∆E₂)= {m(O_j)}, j=1,2. O_jоткрытое множество, покрывающее множество C_∆E_j.

>0 O₁, O2: O₁ C_∆E₁, O₂ C_∆E₂

а) m(O₁)< m^*(C_∆E₁)+, m(O₂)< m^*(C_∆E₂)+

б) C_∆E₁ C_∆E₂O₁O₂

в) C_∆E₁C_∆ E₂) O₁O₂

O₁O₂(0,1) по лемме 1 m (O₁O₂)m (O₁) + m (O₂)-1

m^*(C_∆(E₁E₂))=m^*(C∆E1 C_∆E₂)m^*(O₁O₂)=m (O₁O₂) m (O₁) + m (O₂)-1<

< m^*(C_∆E₁)+ m^*(C_∆E₂)+2-1.

Перейдем к пределу при 0:

m^*(C_∆(E₁E₂))+1 m^*(C_∆E₁)+ m^*(C_∆E₂)

2. k. Пусть S _n=.

По 1. m_*S _nm G _n-1+m_*E _n, S _nE. Если E₁E₂, то m^*E₁  m^*E₂

Т.к. S _nE C_∆S _n C_∆E  m^*(C_∆S _n) m^*(C_∆E), 1- m^*(C_∆S _n)1- m^*(C_∆E)

m_*S _n m_*E, m_*E m_*G _n-1+ m_*E _n

Продолжим этот процесс: G _n-1=. По 1.

m_*E  m_*E _k. Перейдем к пределу при n, получим (**).

Измеримые множества. Мера Лебега.

Опр. Пусть E задано на ∆=(0,1). Множество E измеримо по Лебегу, если

m^*E=m_*E.

Это общее значение обозначается mE и называется мерой множества E.

Свойства:

3.Если  измеримо, то C_∆E также измеримо.

Доказательство: измеримо m^*E=m_*E=mE.

Докажем, что C_∆E измеримо, т.е. что m^* C_∆E=m_* C_∆E.

m^* C_∆E=1- m_*E=1-mE

m_* C_∆E=1- m^*E=1-mE

 m^* C_∆E=m_* C_∆E.

Лемма 3. Пусть G=(), EG. Множество E измеримо

m^*E+ m^*(C_GE)= -. (1)

Доказательство:

() Пусть E измеримо. Докажем (1). m^*E=m_*E=mE.

m_*E=(-)- m^*(C_GE) m^*(C_GE)= (-)-m_*E=(-)- mE

m^*E+ m^*(C_GE)= mE+(-)-mE=-.

() Из (1) m^*E=(-)- m^*(C_GE).

По определению m_*E=(-)- m^*(C_GE).

Т.о. m^*E=m_*E=mEизмеримо.

Основные теоремы об измеримых множествах.

Теорема 1. Пусть E₁,E₂,…E _n,…измеримые множества. Тогда

а) E=E _k измеримо, mE  mE_k.

б) E _k E _m=,km. Тогда mE=mE_k.

Доказательство теоремы 1б):

Докажем, что  измеримо, т.е. что m^*E=m_*E.

Т.к. E _k E _m=,km, то по л.2. m_*Em_*E _k, но все E_k измеримы

m_*E mE_k

Из свойства 3 внешней меры  m^*E m ^*E _k =mE _k, т.е.

mE _k m_*E  m^*E  mE_k m^*E=m_*E=mE_k.

Доказательство теоремы 2 а):

1.Пусть F=()(0,1) измеримое множество. Eпроизвольное измеримое

множество.

Докажем, что EF измеримое множество.

E₁=E(), E₂=E\E₁, E₁E₂=, E₁E₂=E.

Пусть открытое множество, содержащее множество , т.е. EO.

O₁=O(), O₂=O\O₁, O₁O₂=, O₁O₂=O.

По т.1б) m(O)=m(O₁)+m(O₂) (1)

Докажем, что m^*E=m^*E₁+m^*E₂ (2)

E m^*E m^*O

По определению inf: m^*EmO-.

Покажем, что E₁O₁: xE₁xE, x() xO, x() xO₁.

Покажем, что E₂O₂: xE₂xE, xE₁ xE, x() xO, x O₁

xO₂.

E₁O₁ m^*E₁ m^*O₁

E₂O₂ m^*E₂ m^*O₂

Складывая два последних неравенства, получим:

m^*E₁+ m^*E₂m(O₁)+m(O₂)=m(O)

m^*E m^*E₁+ m^*E₂-

E=E₁E₂ m^*E m^*E₁+ m^*E₂

m^*E₁+ m^*E₂- m^*E m^*E₁+ m^*E₂

Переходя в последнем неравенстве к пределу при , получим равенство (2) m^*E=m^*E₁+m^*E₂

Пусть C_∆E=\E(0,1).

Аналогично доказывается равенство:

m^* C_∆E= m^*e₁+ m^*e₂, где e₁= C_∆E(), e₂= C_∆E\e₁.

Т.к. E измеримо, то m^*E=mE, m^* C_∆E= m C_∆E.

Складывая два последних равенства, получим:

m^*E+ m^* C_∆E=mE+ m C_∆E=1 (по л.1.).

Докажем, что e₁=C _FE₁, т.е. докажем, что C_∆E()= C _FE₁

1.Пусть x C_∆E() x C_∆E, x() x, xE, x() xE₁,xF

x C _FE₁

2.Пусть x C _FE₁ xF, xE₁ x=, xE, x() x C_∆E, x()

x C_∆E()

E₁ C _FE₁=(), E₁e₁=()- m^*E₁+ m^*e₁ (4)

Складывая (2) и (3), получим:

mE + m(C_∆E)= m^*E₁+ m^*E₂+ m^*e₁+ m^*e₂=1 m^*E₁+ m^*e₁=1- m^*E₂- m^*e₂=.

E₂e₂\F. Докажем это.

x\F x, xF.

Возможны два случая:

а) xExE₁xE₂x E₂e₂

б) xEx C_∆E, xe₁x₂ x E₂e₂

Из а) и б) следует, что x E₂e₂

m (\F) m^*E₂+ m^*e₂1-() m^*E₂+ m^*e₂1- m^*E₂- m^*e₂

Тогда m^*E₁+ m^*e₁ (5)

Из (4) и (5)  m^*E₁+ m^*e₁= m^*E₁+ m^* C _FE₁=E₁измеримо.

2.Пусть Fпроизвольное открытое множество,

Eпроизвольное измеримое множество, E(0,1), F(0,1).

Докажем, что EF измеримо.

F=F_k, F _iF _j=, ij.

EF=E(F_k) ==(EF _k)

EF _kизмеримо (по 1.), попарно не пересекаются EF измеримо по т.1б).

(EF _i)(EF _j)=, ij, m(EF)=m(EF _k).

3.Пусть Fпроизвольное измеримое множество. Т.к. Fизмеримо, то C_∆F

измеримо.

Пусть O, Oоткрытые множества, т.ч.:

FO: m(O)m^*(F)=m(F)m(O)-

C_∆FO: m(O)m^*( C_∆F)m(O)-.

Чтобы показать, что EF измеримо, покажем, что

m^*(EF)+m^*( C_∆(EF))=1 (8)

EOEFm^*(EF) m^*(EO)

C_∆(EF) C_∆F(F C_∆E)=(C_∆FF)(C_∆F C_∆E)

Проверим последнее включение:

1)xC_∆(EF) x и (xE или xF)

1. x и xE xC_∆E x и x C_∆F C_∆E

б) x E₁и xF xC_∆F x и x C_∆F C_∆E

m^*(C_∆(EF))m^*(C_∆F)+m^*(FC_∆E) m^*(C_∆F)+m^*(OC_∆E), т.к. FC_∆EOC_∆E

m^*(EF)+m^*( C_∆(EF)) m^*(EO)+ m^*(C_∆F)+m^*(OC_∆E)m(O)+ m^*(C_∆F)=

m(O)+ m(C_∆F)m(O)+m(O)m(F)+m(C_∆F)+2.

Т.к. Fизмеримо, то m(F)+m(C_∆F)=1 по л.3.

m^*(EF)+m^*( C_∆(EF))1+2.

Переходя к пределу при , получим, что m^*(EF)+m^*(C_∆(EF))1 (6)

=(EF)(C_∆(EF))m()=1 m^*(EF)+m^*(C_∆(EF)) (7)

Из (6) и (7)(8).

По лемме 3 множество EF измеримо.

Следствие из т.2а). Пусть E₁, E₂ измеримые множества, т.ч. E₂ E₁.

Тогда множество E=E₁\E₂измеримо и его мера

mE=m E₁-m E₂.

Доказательство: докажем, что  измеримо. Не ограничивая общности

можем считать, что E₂=(0,1), C_∆E₂.

Покажем, что E=E₁ C_∆E₂.

1. xE₁\E₂xE₁, xE₂xE₁, x, xE₂ xE₁, xC_∆E₂x E₁ C_∆E₂

2. xE₁ C_∆E₂ xE₁, xC_∆E₂ xE₁, x, xE₂ xE₁\E₂xE

Из 1.-2. следует, что равенство верно.

Т.к. E₂ измеримо, то C_∆E₂ измеримо E₁ C_∆E₂ измеримо по т.2а), т.е. E измеримо.

Докажем, что mE=m E₁-m E₂.

E₁=EE₂, EE₂=.

По т.1б) mE₁=mE+mE₂ mE=m E₁-m E₂.

Доказательство теоремы 1 а):

E=E_k, E _k.

1. Пусть E₁, E₂ C_∆E₁=E₂

E₃=E₃ C_∆(E₁E₂)

E₄=E₄ C_∆(E₁E₂ E₃)

…………………………

E _k=E _k C_∆(E₁E₂… E _k-1)

Докажем:

а) E _k E _m=, km

б) E=E_kE₁=A

а) Пусть m>k. E _k=E _k C_∆(E₁E₂… E _k-1)

E _m=E _m C_∆(E₁E₂… E _m-1)

x₀E _m x₀E _m, x₀ C_∆(E₁E₂… E _m-1)x₀ E₁E₂… E _m-1

x₀ E _k E _k E _m=, km

б) A=E. Докажем, что AE.

xAxE_kE₁

1.xE₁xE

2.xE_kk₀2: xE _k0=E_k0 C_∆(E₁E₂… E _k0-1) xE _k0 xE

Докажем, что EA.

xEk₀: xE _k0 E _k0=E_k0 C_∆(E₁E₂… E _k0-1):

1.xC_∆(E₁E₂… E _k0-1) xE _k0 xA

2.x C_∆(E₁E₂… E _k0-1)x E₁E₂… E _k0-1A xA.

2. Докажем, что E _k измеримо k.

По условию E _k измеримопо свойству 2 C_∆E _k измеримо.

По т.2а) E₂ измеримо.

Предположим, что E₂, E₃, …, E _k-1 измеримы.

Докажем, что E _k измеримо.

E _k=E _k C_∆(E₁E₂… E _k-1)

По т.1б) E₁E₂… E _k-1 измеримы C_∆(E₁E₂… E _k-1) измеримо.

По т.2а) E _k измеримо.

Из а), б) и с учетом измеримости E _k по т1б)измеримо.

Докажем, что mEmE _k.

mE=m^*E  m^*E _k= mE_k.

Доказательство теоремы 2 б):

E=E_k, E _k(0,1), kN, C_∆E _k(0,1). A= C_∆E= C_∆(E_k).

Покажем, что A= C_∆(E _k) = (C_∆E _k).

1) xA x, xE_k  x, xE _k0x C_∆E _k0x ( C_∆E _k).

2) x ( C_∆E _k) x C_∆E _k0 x, xE _k0 x C_∆E _k0 , x∆, xE_k

x C_∆(E_k) xA.

Т.к. E _k измеримо, то C_∆E _k измеримопо т.1а)  измеримо измеримо.

Следствие: Если F замкнуто, то оно измеримо.

Доказательство: Пусть Fограниченное замкнутое множество.

=inf F, =sup F.

Т.к. Fзамкнуто, то E, E, причем xF: xF[]=.

Рассмотрим C_∆F:

1. F= C_∆F=измеримо F измеримо.

2. FG= C_∆Fоткрытое множество.

Если x₀G x₀F x₀ не является предельной для F(x₀-, x₀+)G

x₀внутренняя для G Gоткрыто Gизмеримо C_∆Gизмеримо.

Т.о. C_∆Gизмеримо, но C_∆G= F Fизмеримо.

Теоремы о расширении и о сгущении множества.

Теорема 1. (о расширении множества) Пусть заданы множества

E₁,…, E _n,…: E₁… E _n…. Если E _k измеримо, то kN

E= E_k mE = m E_k,.

Доказательство:

1. Пусть A₁=E₁, A₂=E₂\E₁, A₃=E₃\E₂,…, A _k=E _k\E _k-1. Покажем, что A_k=E.

1. A=A_k=E

2. A _kA _m=, k m

1) a) AE. A _k=E _k\E _k-1 A _k E _k kNA_k  E_k AE

б) EA. xE xA₁ xE₁ xA₁  xA xE _k, k2, E _kмножество

с наименьшим номером, которому принадлежит x, т.е. xE₁,…,E _k-1

x E _k\ E _k-1=A _kxA.

Из а), б)  A=E

2) mkkm-1E _kE _m-1. Т.к. A _k=E _k\E _k-1A _kE _k A _kE _m-1

A _m=E _k\E _m-1A _m и A _k не имеют общих элементов, т.е. A _kA _m=, k m.

2. A _kизмеримоk (по следствию 1) по т.1.б) E измеримо и mE=mA_k=

=m(E_k\E _k-1)+mE₁=(mE_k-mE _k-1)+ mE₁=lim ((mE_k-mE _k-1)+mE₁=

=.

m (E _k\E _k-1)?

E _k=A _kE _k-1, A _kE _k-1=. mE _k=mA _k+ mE _k-1 mA _k= mE _k- mE _k-1.

Теорема 2. (о сгущении множества) Пусть множества E₁,…, E _n ,…

измеримы: E₁… E _n…, E=E_nmE= .

Доказательство: Пусть E _k()= kN. Рассмотрим C_∆E _k.

Покажем, что C_∆E _k=C_∆( E _n)=C_∆E _n.

1. x C_∆( E _n)x, xE _n x , x E _k0 x, x C_∆E _k

xC_∆E _n.

б) xC_∆E _n x C_∆E _k0 (k₀N) x , x E _k0 x ∆, xE_n

x C_∆( E_n).

Т.к. E₁… E _n… C_∆E ₁… C_∆E _n. Т.к. E _k измеримо, то C_∆E _k измеримо.

По т.1. можем утверждать:

1. C_∆E измеримо

2. mC_∆E=mC_∆E _n

По лемме 3 E измеримо mE + m(C_∆E)=-=

--mE=((-)-mE _k)

mE= mE _k.