5. Равенство функций. Арифметические действия над функциями

Пусть заданы функции y=f(x) и y=g(x), D(f), D(g)- их области определения. Предположим, что X=D(f)D(g).

Определение. Функции f(x) и g(x) называются равными на множестве X, если x X равны их значения, т.е. xX  f(x)=g(x).

Определение. Суммой f+g, разностью f-g, произведением fg и частным функцийf и g называются функции определяемые следующим образом:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

(т.е. в любой точке xX функция, равная сумме функций f и g, принимает значение, равное сумме значений f и g в этой точке)

(f-g)(x)=f(x)-g(x)

(fg)(x)=f(x)g(x)

.

Все функции f+g, f-g, fg, определяются наX=D(f)D(g). При этом не определена в точкахxD(g): g(x)=0, т.е. D=D(f)D(g)\{x:g(x)=0}.

6.Сложная функция (композиция функций)

Определение. Композицией функций f и g (или сложной функцией) называется функция f◦g, определяемая формулой f◦g(x)=f(g(x)).

В D(f◦g) входят те значения аргумента, при которых правая часть имеет смысл, т.е. требуется, чтобы g(x) D(f): D(f◦g)={xD(g): g(x)D(f)}.

Для получения сложной функции f◦g надо аргумент функции f заменить функцией g от другого аргумента.

Пример. y=f(t)=sint,

a) t=g(x)=e^x

y=f(g(x))=sine^x=h(x), D(h)=.

б) t=φ(x)=lnx

y=f(φ(x))=sin(lnx)=(x), D()=(0;+∞).

Образовать сложную функцию можно из трех, четырех и т.д. функций:

y=h(x)=f(g(φ(x))), h=f◦g◦φ, D(h)={xD(φ): φ(x)D(g), g(φ(x))D(f)}.

§13. Простейшая классификация функций

1. Ограниченные и неограниченные функции

Определение 1. Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве DD(f), если множество ее значений E(f) ограничено сверху (снизу), т.е. y=f(x) ограничена на множестве DD(f), если :xDf(x)K, (f(x)K).

Например, функции ,y=x² ограничены снизу,

, y=-2^x ограничены сверху.

Определение 2. Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. если : xDAf(x)B.

Определение 2^/. Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если K>0: xD |f(x)|K.

Например, y=sinx, y=cosx, y=arctgx, y={x}.

Ограниченность функции геометрически означает, что ее график лежит в полосе между прямыми y=K, y=-K.

Определение 3. Функция y=f(x) называется неограниченной сверху (снизу) на множестве D, если xD: f(x)>K (f(x)<K).

Например, y=x², y=2^x не ограничены сверху,

y=-2^x, y=tgх, x- не ограничены снизу.

Определение 4. Функция y=f(x) называется неограниченной на множестве D, если К>0 xD: |f(x)|_>K.

Определение 5. Верхний гранью функции f множестве D называется верхняя грань множества значений этой функции.

Определение 5^/. 1) xD f(x)M,

2) _>0 xD: f(x )>M-.

Определение 6. Нижней гранью функции f на множестве D называется нижняя грань множества значений этой функции.

Определение 6^/. 1)f(x)m,

2) _>0 xD: f(x )<m+.

Если функция f не ограничена сверху (снизу) на D, то полагают .

2.Четные и нечетные функции

Определение 7. Множество D называют симметричным относительно числа 0, если xD  -xD.

Определение 8. Функция f, заданная на множестве D называется четной на этом множестве, если

1)D симметрично относительно числа 0;

2)xD выполняет равенство f(-x)=f(x).

График четной функции симметричен относительно OY.

Например, y=x², x-четная функция,

y=x², x[-1;1) не является четной.

Определение 9. Функция f, заданная на множестве D, называется нечетной на этом множестве, если:

1)D симметрично относительно числа 0;

2)xD выполняется равенство f(-x)=-f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например, y=x³, - нечетные функции.

Свойства четных и нечетных функций разобрать самостоятельно

(Бохан К.А. с.48, Мордкович А.Г., Мухин А.Е. №147-151,154, 157-159,164-166.)