
- •Введение в анализ
- •§1. Действительные числа
- •1. Понятие действительного числа
- •2. Модуль действительного числа и его свойства Определение. Модулем действительного числа а называется неотрицательное число, обозначаемое |а|, определяемое формулой:
- •Геометрический смысл: Пример 1.А);
- •По свойству 3
- •Число хнаходится от точкиана расстоянии меньшем, чемb.
- •3. Числовые множества. Промежутки. Окрестности
- •§ 2. Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани числовых множеств
- •§ 3. Предел последовательности
- •2. Предел последовательности. Пусть дана последовательность :(1)
- •3. Единственность предела
- •4. Ограниченность сходящейся последовательности
- •Доказательство.
- •5. Свойства сходящихся последовательностей
- •§ 4. Бесконечно малые последовательности
- •§ 5. Бесконечно большие последовательности (ббп)
- •§ 6. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над сходящимися последовательностями
- •3. Произведение .
- •§7. Предел монотонной последовательности (признаки существования предела последовательности)
- •§ 8. Принцип вложенных отрезков
- •§ 9. Число е.
- •§10. Подпоследовательности
- •§11. Критерий Коши сходимости числовой последовательности
3. Произведение .
1)
,
,
2)
,
,
3)
,
- неопределенность
вида
.
Существуют еще другие виды неопределенностей, связанные со степенями.
Пример 3. Вычислить
∆ Числитель
,
Знаменатель
,
.∆
Пример 4. Вычислить
∆ Воспользуемся
формулой
,
тогда
.
∆
Пример 5. ∆
.∆
Пример 6. Доказать,
что
∆ 1) Рассмотрим
случай a>1.
Покажем, что
.
Выберем
и найдем номер
выполнено
(так какa>1)
.
Положим
,
тогда
выполнено
верно
приa>1.
2) Пусть 0<a<1.
Запишем
.
Так как 0<a<1,
то
- ББП (по п.1)
-
БМП
.
3) -1<a<0.
(огр.БМП);
4) a<-1.
Тогда
.
Т. к.a<-1,
то
.
Т. к. в этом случае
- БМП (см. п.3), то
- ББП и, следовательно,
.
5)
.
6)
.
7)
не существует
(пример 3 §3).∆
Пример 7.
∆
.∆
Пример 8.
.
∆ Рассмотрим
последовательности
,
.
Надо найти
.
- БМП,
- ограниченная
последовательность
.∆
§7. Предел монотонной последовательности (признаки существования предела последовательности)
Определение 1.
Верхней
гранью
последовательности
называется верхняя грань множества
значений элементов этой последовательности.
Обозначается
.
Если множество
значений элементов последовательности
ограничено сверху, то
есть число:
Если множество значений неограниченно
сверху, то
.
Определение. 1.
1)
,
2) .
Определение 2.
Нижней
гранью
последовательности
называется нижняя грань множества
значений этой последовательности.
Обозначается inf xn.
Если множество
значений элементов последовательности
ограничено снизу, то
.
Если множество значений не ограничено
снизу, то
.
Определение 2.
1)
,
2) .
Примеры.
1)
Множество значений
.
2) ,
,
.
Теорема 1. 1) Любая неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел.
2) Любая невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет конечный предел.
Доказательство.
1)
- ограниченная сверху
.
Докажем, что
.
Выберем
.
Тогда по определению 1' для этого
выполняется два условия:
1) ,
2)
Так как
- неубывающая, то
.
Следовательно,
выполнены условия 1) и 2), значит,
выполнено
.
Т. е.
.
Итак,
:
выполняется
.
Заметим, что из
условия 1) следует, что .
2) Доказывается аналогично.
Устанавливается,
что
и, следовательно,
.
Теорема 2. 1)
Всякая неубывающая, неограниченная
сверху последовательность
имеет
.
2) Всякая
невозрастающая, неограниченная снизу
последовательность
имеет
.
Доказательство.
1)
неограниченная сверху
,
неубывающая
или
.
Т.о.
.
2) Доказывается
аналогично, причем
.
§ 8. Принцип вложенных отрезков
Пусть дана последовательность отрезков
an<bn
Определение 1. Последовательность отрезков называется последовательностью вложенных отрезков, если
, (1)
то есть каждый последующий отрезок содержится в предыдущем.
Определение 2.
Последовательность вложенных отрезков
называется стягивающейся,
если длины этих отрезков стремятся к
нулю при возрастании n,
то есть если
.
Теорема. (принцип вложенных отрезков).
Для любой
стягивающейся последовательности
вложенных отрезков существует единственная
точка с,
принадлежащая всем отрезкам этой
последовательности, то есть такая, что
.
Доказательство.
Левые концы отрезков
последовательности (1) образуют неубывающую
последовательность:
,
а правые концы – невозрастающую
последовательность:
Так как
,
то
– ограничена сверху; так как
то
- ограничена снизу.
Так как
- неубывающая и ограничена сверху, то
по теореме 1 § 7 она имеет предел:
,
причем
. (2)
По теореме 1 § 7
,
. (3)
Тогда из соотношения
.
Общее значение
и
обозначим через с.
Из (2), (3) следует, что
,
то есть точкас
принадлежит
всем отрезкам последовательности (1).
Покажем,
чтос
единственная точка, принадлежащая всем
отрезкам последовательности (1). Допустим
противное. Пусть точка
с1с:
.
Следовательно,
должно выполняться неравенство
,
значит,
,
что противоречит условию теоремы.
Замечание.
Доказанная
теорема становится неверной, если в ней
вместо отрезков рассматривать интервалы.
Например, интервалы последовательности
вложенных интервалов (у
которой
):
Интервалы этой
последовательности не имеют ни одной
общей точки, так как какую бы точку
мы ни брали,
, и интервалы этой последовательности,
начиная с
, не содержат т.
.
Точка 0 является общим левым началом
всех интервалов, но не принадлежит им.