3. Показательно- степенная функция

Показательно-степенной функцией называется функция вида , она определена.

По свойству логарифма можно записать: , тогда

. (1)

Рассмотрим композицию функций: . Еслиинепрерывны, то в силу непрерывности логарифма и показательной функции (1) непрерывна.

1) Пусть ,,А и В - числа.

Выясним, чему равен .

.

В силу непрерывности показательной функции

. (2)

В (2) может быть числом,, либо можно рассматривать односторонние пределы.

Из (2) следует .

2) Но является неопределенностьюв следующих случаях:

а) B=0, lnA=+  A=+, тогда ;

б) B=0, lnA=-  A=0, тогда ;

в) B=, lnA=0  A=1, тогда .

Пример.  а) ;

б) .

4. Гиперболические функции

Частным случаем показательной функции является. Черезe^x определяются гиперболические функции:

- гиперболический синус;

- гиперболический косинус;

- гиперболический тангенс;

- гиперболический котангенс.

Все гиперболические функции являются элементарными, так как являются результатом арифметических операций над показательными функциями e^x и e^-x. Следовательно, они являются непрерывными в своих областях определения. Название "гиперболические" они получили потому, что удовлетворяют уравнению гиперболы, подобно тому, как тригонометрические функцииX=cosx, Y=sinx называют "круговыми" , т.к. удовлетворяют уравнению окружности . Названия гиперболический синус, косинус, тангенс, котангенс происходит от того, что между ними имеют место соотношения, напоминающие или совпадающие ссоответствующими соотношениями между тригонометрическими функциями.

; ;

; .

shx, chx, thx определены на ,cthx определена на .

5.Обратные тригонометрические функции

1. Рассмотримна-возрастает и непрерывна наD(f), E(f)=[-1;1]. Значит, эта она имеет обратную функцию, определенную, возрастающую и непрерывную на [-1;1]. Эта функция обозначается , D(arcsinx)=[-1;1], .

Arcsinx - это такой угол из , синус которого равенx.

2. Рассмотрим f(x)=cosx на D=[0;] - непрерывна и убывает, E(f)=[-1;1]. Следовательно, существует обратная функция, определенная, непрерывная и убывающая на [-1;1]. Она обозначается y=arccosx, D(arccosx)=[-1;1], E(arccosx)=[0;]. Arccosx - это такой угол из [0;], косинус которого равен х.

3.Рассмотримf(x)=tgx на - непрерывна и возрастает,. Следовательно, существует обратная функция, определенная, непрерывная и возрастающая на. Обозначается y=arctgx, D(arctgx)= . Arctgx - это такой угол из , тангенс которого равен х.

4. Рассмотрим f(x)=сtgx на - непрерывна и убывает,. Значит, существует обратная функция, определенная, непрерывная и убывающая на . Обозначается y=arсctgx, D(arсctgx)=, . Arctgx - это такой угол из , котангенс которого равен х.

Имеют место тождества:

, .

§26. Равномерная непрерывность функций

Понятие непрерывности функции относится к отдельно взятой точке, т.е. является свойством функции в точке. Непрерывность функции f на <a;b> определяется как ее непрерывность в каждой точке этого промежутка.

f(x) непрерывна в т. x₀ .

Можно доказать, что (на примере)

Проблема: возможна ли ситуация, чтобы  не зависело от x₀, где x₀ меняется на <a;b>, т.е. чтобы

Определение 1. f(x) называется равномерно непрерывной на промежутке <a;b>, если .

Определение 2. f(x) не является равномерно непрерывной на <a;b> если

Теорема 1. Если f(x) равномерно непрерывна на <a;b>, то она непрерывна на < a;b>.

Доказательство.

Возьмем .По условию для выбранного  .

Пусть x₂=x₀, x₁=x. Тогда выполнено. Значит (по определению) функция непрерывна в точкеx₀, а так как она произвольно взята из промежутка <a;b>, то функция непрерывна на всем промежутке.

Замечание. Обратное утверждение не верно.

Пример.  непрерывна на (0;1). Докажем, что она не является равномерно непрерывной на (0;1).

Пусть . Выберем. Найдем , а . Возьмемх₂(0;1), а . Тогда,

.

По определению 2 функция не является равномерно непрерывной на (0;1). 

Теорема 2. (Кантора) Если f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она равномерно непрерывна на [a;b].

Доказательство.

(От противного) Пусть f(x) не является равномерно непрерывной на [a;b], тогда по определению 2

.

Возьмем последовательность положительных чисел :.

Для найдутся такие точки[a;b], такие, что , но.

Для [a;b]: , но .

Для [a;b]: , но .

. . . . . . . . . . . . . . . .

Для [a;b]: , но .

. . . . . . . . . . . . . . .

Этот процесс продолжаем бесконечно. В результате из [a;b] выделится 2 ограниченные последовательности

:

:

Из последовательности по т. Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть .Покажем, что и сходится к точке x₀.

.

Так как , то .

Выберем .

Тогда, т.к. , то из (1) и (2) для выбранного  .

По условию f(x) непрерывна на отрезке [a;b], следовательно, она непрерывна в точке x₀[a;b]. Тогда по определению предела функции по Гейне для последовательностей исоответствующие и последовательности значений функцииидолжны сходиться кf(x₀), тогда при, но это противоречит тому что (а, следовательно, и ).

18