заочникам / мат анализ / интегр исчисление
.pdf‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï |
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58. R arctg2 x dx ; p 1+x2
59. R 3parcsinx dx;
1 x2
60. R 1 2sin2 x dx; cos x
61.R 1+sin2sin2 x x dx;
62.R esinx cosx dx;
R etgx
63.pcos2 x dx;
64.R p5 x3 8x2 dx;
65.R 4 1 6x5 x4 dx;
p
66. R 2pxx dx;
1
67. R 3xx2dx ;
68. R p3x+5 dx;
4x+1
69. R p5x 6 dx;
1 3x
70. R p2 4x dx;
7x 1
Rearctgx
71.1+x2 dx;
Rsin 12
72.x3x dx;
73.R 41 3x dx;
74.R arccosx dx; p
1 x2
75. R e tgx sec2 x dx;
76. R arcsinx+x dx; p
1 x2
77.R x2dx16;
78.R x2dx+4;
79.R p4dxx2 ;
80.R p4+dxx2 ;
81.R pxdx2 3;
82.R x2dx 5;
83.R x2dx+3;
84.R 2dxx2 ;
85.R 4xdx2+5;
86.R p25dx4x2 ;
87.R p3+2dx x2 ;
88.R 9xdx2 1;
89.R p5dx3x2 ;
90.R 3 dx5x2 ;
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|
91.R p9dxx2 5;
92.R px2dxx4 ;
|
R |
|
|
x3 dx |
|
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||||||||
94. |
|
pe5 dxe2x ; |
|
|||||||||||
93. |
|
|
px8 |
|
3; |
|
|
|
||||||
|
R |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
95. |
|
sin2x dx |
; |
|
||||||||||
|
5 cos2 2x |
|
||||||||||||
96. |
R |
|
2xx2 |
43 dx; |
|
|||||||||
97. |
R |
|
px2 |
+1 dx; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
98. |
|
px1+1x2 |
dx; |
|||||||||||
99. |
R |
|
p5ee2xdx4; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
100.R |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
p3cos2 5x |
2; |
||||||||||
|
|
R |
|
|
|
cos5x dx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
101. |
|
sin 3 dx |
; |
|||||||||||
|
4cos2 x +9 |
|||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
102. |
|
|
x4 dx |
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
10 |
|
|||||||||||
|
|
R |
|
p4 x |
|
103.R xx146 dx+5;
104.R ee 2xxdx+2;
105.R x2+4dxx+5;
106. |
R |
|
dx |
|
; |
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|||||
|
x 6x+13 |
|
|
|
|
||||
107. |
p |
dx |
; |
|
|||||
x2+2x+3 |
|
||||||||
108. |
R |
p4x x2 ; |
|
|
|
|
|||
|
R |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
109. |
p3 2x x2 ; |
|
|||||||
|
R |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
110. |
p2+3x 2x2; |
||||||||
|
R |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
111. |
3x2 2x 1; |
|
|
||||||
|
R |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
112. |
x22x2x+5 dx; |
||||||||
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
114. |
|
|
|
|
|
|
|||
(1+x2+xx)dx1 |
; |
|
|
|
|
||||
113. |
R |
x25+3x+3 dx; |
|||||||
115. |
R |
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
p5 4x x2 |
|
|
|||||||
R |
x2+4x+29 dx; |
||||||||
|
R |
p4x2+4x+3 |
|
||||||
116. |
R |
|
3x 2 |
|
|
|
dx; |
||
118. |
p65x x2 5 dx; |
||||||||
117. |
|
|
1 2x |
|
|
|
|
dx; |
|
|
R |
|
x+11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
120. |
6x x2 |
|
|
|
|
|
|
||
R |
p3x+2x2 dx; |
||||||||
119. |
|
1 3x |
dx; |
||||||
|
R |
|
3+x |
|
|
|
|
|
|
121. |
px42x+8x+7 dx; |
||||||||
|
R |
+11 |
|
|
|
|
|
||
122. |
x27x6x1+1 dx; |
||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
123. |
R |
x3 |
dx; |
|
|
|
|
||||
|
x 22 |
|
|
||
|
x +5 |
dx; |
|
||
124. |
3x+1 |
|
|||
|
R |
4 |
|
|
|
125. |
R |
x |
dx (a 6= 0); |
||
|
x2+a2 |
||||
|
|
x |
4 |
|
|
126. |
R |
(x 2)(x 3) |
dx; |
127.R (x2+1)3 dx; x x
128.R 32xx+11 dx;
129. |
R |
2x2 |
1 |
dx; |
||||
2 |
||||||||
130. |
x4x 23x3 |
dx; |
||||||
|
|
x |
|
x+1 |
|
|
|
|
131. |
R x32x |
|
6x2+10 dx; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
R |
|
3 |
x |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
R(x3 2x)dx ;
132.x2 8x+7
|
|
3x2+1 |
|
|
|
||
133. |
|
|
|
dx; |
|||
|
x2 |
x+1 |
|||||
|
R |
|
3+x |
|
|
|
|
135. |
x4x 33x2 |
dx; |
|||||
134. |
R |
x2 |
+7x+13 dx; |
||||
136. |
R x2x+8x |
|
7 dx; |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
R |
|
+3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R
137.lnx dx;
138. |
R x lnx dx; |
||||||
139. |
R |
x ln(3x + 2)dx; |
|||||
140. |
(x2 + 3x + 2)lnx dx; |
||||||
141. |
R |
xe x dx; |
|||||
142. |
xe |
5x dx |
|||||
|
R |
|
|
|
x ; |
||
143. |
R |
x3e x dx; |
|||||
144. |
R |
x2e |
2 dx; |
||||
145. |
R |
(2x + 3)e2x dx; |
|||||
146. |
R |
x cosx dx; |
|||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
147. |
R x sinx dx; |
||||||
148. |
R |
|
x + 1)cos3x dx; |
||||
149. |
(x2 cosx dx; |
||||||
150. |
R |
x cos2 x dx; |
|||||
151. |
R |
|
x dx |
; |
|||
|
sin2 x |
||||||
|
R |
|
x |
|
|
||
152. |
R |
cos2 x |
dx; |
R
153.arctgx dx;
154. |
R |
arcsinx dx; |
|
|
||||
155. |
R |
x arctgx dx; |
|
|
||||
156. |
R |
x arcctg(1 x)dx; |
||||||
|
arcsinx |
|
|
|
||||
157. |
p |
|
dx; |
|
|
|
||
1+x |
|
|
|
|||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
158. |
R |
arctgp7x |
|
1dx; |
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
159. |
R |
x ln 1+x dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|||||||||||||||||||||
160. |
ex sinx dx; |
||||||||||||||||||||||||||||||
161. |
R |
ex cosx dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||
162. |
R |
e2x cos3x x dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||
163. |
R |
ex sin 2 dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
px dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
164. |
R |
ln2 x dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||
165. |
R |
|
ln5 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
166. |
ln(x2 + 2)dx; |
||||||||||||||||||||||||||||||
167. |
R |
cos(lnx)dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||
168. |
R |
|
x cosx dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
sin3 x |
||||||||||||||||||||||||||||||
169. |
R |
x tg2 x dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||
170. |
R |
|
arctgx |
dx; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
arcsinp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
171. |
|
x |
dx; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
x+2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
172. |
|
ln( |
|
|
dx; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
arctgp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
R |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x px dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||
173. |
R |
|
|
|
|
p |
x |
|
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||||||||
|
R |
|
lnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
175. |
p7 |
|
x2 dx; |
||||||||||||||||||||||||||||
174. |
R |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
176. |
x2 |
|
|
|
|
|
5dx; |
||||||||||||||||||||||||
|
R |
p |
|
|
|
dx; |
|||||||||||||||||||||||||
177. |
3 x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
p |
|
dx; |
|||||||||||||||||||||||||||
178. |
x2 + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
p |
|
|
|
|
|
|
dx; |
||||||||||||||||||||||
179. |
2 3x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
180. |
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1dx; |
||||||||||||||||||||||
|
R |
p |
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||||||||||||||
181. |
6x |
|
|
|
x2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
R |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
182. |
x2 |
4x dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||
183. |
R |
px2 + 5x + 4dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||||||||||||
184. |
3 2x x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
p |
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||||||||||||
185. |
5 + 4x x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
186. |
2x |
|
|
|
|
|
x2 dx; |
||||||||||||||||||||||||
188. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
expe2x |
+ 3dx; |
||||||||||||||||||||||||||||||
187. |
R |
sinxp2 3cos2 x dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
190. |
R e 2 p4p |
ex dx; |
|
||||||||||||||||||||||||||||
189. |
R |
cosx x sin2 x + 3dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p
191.ln2 x + 1 dx ;
R p x
192.(2x 1) 3x x2 dx;
R p
193.(x + 3) 5x + 2x2 dx;R
‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï |
35 |
R p
194.(x 1) 6x x2 dx;
195.R sin2 x dx;
196.R cos2 x dx;
197. |
R |
sin2 mx dx |
(m 6= 0); |
|||||||
198. |
cos2 mx dx |
(m = 0); |
||||||||
199. |
R |
sin3 x dx; |
6 |
|||||||
200. |
R |
cos3 x dx; |
|
|||||||
201. |
R |
cos4 x dx; |
|
|||||||
202. |
R |
sin5 x dx; |
|
|||||||
203. |
R |
cos2 x sin2 x dx; |
||||||||
204. |
R |
sin3 x4 |
|
cos3 x4 dx; |
||||||
205. |
R |
sin2 x |
|
cos4 x dx; |
||||||
206. |
R |
cos2 x |
sin4 x dx; |
|||||||
207. |
R |
sin3 x cos2 x dx; |
||||||||
208. |
R |
cos7 x dx; |
|
|||||||
209. |
R |
sin4 x cos4 x dx; |
||||||||
210. |
R |
cos3 x sin5 x dx; |
||||||||
211. |
R |
sin4 x2 dx; |
|
|||||||
212. |
R |
(1+ 2cosx)2 dx; |
||||||||
213. |
R |
cos5 x dx; |
|
|||||||
214. |
R |
|
dx |
; |
|
|
|
|
||
|
sin2x |
|
|
|
|
|||||
215. |
R |
|
dx |
; |
|
|
|
|
||
|
cos x3 |
|
|
|
|
|||||
216. |
R |
|
dx |
; |
|
|
|
|
||
|
sin9x |
|
|
|
|
|||||
217. |
R |
|
dx |
; |
|
|
|
|
||
|
cos5x |
|
|
|
|
|||||
218. |
R |
|
x+cosx |
dx; |
|
|||||
|
sinsin2x |
|
|
|||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
219. |
R |
sin3x cosx dx; |
|
220. |
R |
sin3x sin5x dx; |
|
221. |
R |
sinnx sinmx dx (m + n 6= 0, m n 6= 0); |
|
222. |
R |
sin3x sinx dx; |
|
223. |
R |
sin 5x 4 |
cosx dx; |
224.sin x3 cos 23x dx;
225.R cossin3 2xxdx ;
226.R cossin32 xx dx;
227.R ctg3 x dx;
228.R cossin53 xx dx;
229.R cossin53 xx dx;
230.R tg4 x dx;R
36 |
‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï |
|
|
231.R sindx4 x ;
232.R 1+3cosdx 2 x ;
233.R 5+3cosdx x ;
234. |
R |
dx |
; |
3sinx+4cosx |
235.3+cosdx x ;
236.R tg5 x dx;R
237. |
R |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
2sinx+sin2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
238. |
1+cosx |
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
sin4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
239. |
R |
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
sinx cosx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
240. |
R |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sinx+cosx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
241. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||
3sin2 x+5cos2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
242. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
||||
sin2 x+3sinx cosx |
|
cos2 x |
|||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||
243. |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||
sin2 x 5sinx cosx |
|
|
|||||||||||||||||||||
244. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||
8 |
|
4sinx+7cosx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
245. |
R |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
(sinx+cosx)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
246. |
R |
sinx dx |
(b = 0); |
|
|||||||||||||||||||
b2+cos2 x |
|
||||||||||||||||||||||
247. |
R |
cos5 x |
|
|
dx; |
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
248. |
R |
cossin24 xx dx; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
249. |
R |
e2xx |
2ex |
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
e2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
250. |
R |
e3x dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ex+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
251. |
R |
e4x dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ex 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
R |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
252. |
e dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
e2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
R |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
253. |
e |
+1 |
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ex |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
R |
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
254. |
e3 +2e |
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
||||||||||||||
e2x+ex+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
255. |
R |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
x |
dx; |
|
|
|
|
|||||||
3ee2x+44e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
256.R ee5xx+1dx ;
257.R cos2cos4xxdx ;
258.R cosdx4 x ;
259. |
R |
dx |
; |
cosx+2sinx+3 |
260.R 1+tgsin2xx dx;
261.R ctg5 x dx;
262.R 1+3sindx 2 x ;p
R
263.(3x 1) x2 8x dx;
|
|
x3+x2 |
|
264. |
R |
3 |
dx; |
x2+6x+10 |
x2. Ž¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «, ®á-®¢-ë¥ á¢®©á⢠... |
37 |
|||||||||||||||||
265. |
R |
|
5xe2x 3e2xx |
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(5x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
p |
2 |
+ 3 |
+ 5 |
|
|||||||||||||
267. |
R |
|
e +4 e |
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||
|
aa2xdx+1 (a > 0, a = 1); |
|
||||||||||||||||
266. |
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
||||
|
R |
|
|
|
2x)p |
6 |
dx; |
|
||||||||||
|
(1 |
|
||||||||||||||||
268. |
3x2 + 8x |
|
||||||||||||||||
|
R |
|
px2+5x+17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
269. |
R |
p |
6x 10 |
|
|
dx; |
|
|
|
|
||||||||
270. |
2x2 + 4x + 1 |
dx; |
|
|
||||||||||||||
271. |
R |
|
p2 x2 dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R |
|
|
3x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
273. |
|
x |
p1 x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
272. |
R |
|
x2 |
+10x+1 dx; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
R |
|
arcsinx dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R
274.sin(lnx)dx;
R p
275.3 + 2x x2 dx;
276.R tg3 x dx;
277.R x2 arctg(2x + 1)dx;
R
278.cosmx cosnx dx (m + n =6 0, m n =6 0);
279. |
R |
ln(cosx)dx |
; |
|
|
|||||
sin2 x |
|
|
|
|||||||
|
+p |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 |
|
|
9) |
|
|||||
280. |
ln(xp |
|
|
|
|
|
dx; |
|||
x 3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
281. |
R |
dx |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
R |
sin2 3x +1; |
|
|
|
|
282.3+sin5dx x ;
283.R dx ; cos3x+2sin3xR
284. |
R |
dx |
|
|
; |
|
|
cos2x sin2x+2 |
|
||||||
285. |
dx |
; |
|
|
|||
2+3cos x2 |
|
|
|||||
|
R |
|
|
dx |
|
||
286. |
2sin2 3x |
|
3cos2 3x+1. |
||||
R |
|
|
x2. Ž¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «, ®á-®¢-ë¥ á¢®©á⢠®¯à¥- ¤¥«¥--®£® ¨-â¥£à « ¨ ¥£® ¯à¨«®¦¥-¨ï
2.1. Ž¡é¨¥ ¯®-ïâ¨ï
•ãáâì ç¨á«®¢ ï äã-ªæ¨ï f (x) ®¯à¥¤¥«¥- - [a; b]. Ž¯à¥¤¥«¨¬ à §¡¨¥-¨¥
T ®â१ª [a; b] § ¤ -¨¥¬ ª®-¥ç-®© á¨á⥬ë â®ç¥ª fxig: a = x0 < x1 < : : : < < xi 1 < xi < : : : < xn. „¨ ¬¥â஬ à §¡¨¥-¨ï d(T ) à §¡¨¥-¨ï T ®â१ª [a; b]
- §®¢¥¬ ç¨á«® |
d |
T |
|
max (x |
i |
x |
i 1 |
) > 0, 0 < d(T ) 6 b |
|
a. •à¨ § ¤ --®¬ |
( |
|
) = i=1;2;:::;n |
|
|
|
|||||
à §¡¨¥-¨¨ T ®â१ª |
[a; b] à áᬮâਬ «î¡ãî á¨á⥬ã â®ç¥ª i 2 [xi 1; xi] |
|||||||||
(i = 1; 2; : : : ; n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a = x0 6 1 6 x1 < : : : < xi 1 6 i 6 xi < : : : < xn 1 6 n 6 xn = b):
38 |
x2. Ž¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «, ®á-®¢-ë¥ á¢®©á⢠... |
• §¡¨¥-¨¥ T ®â१ª |
[a; b] ¢¬¥áâ¥ á ¢ë¡à --®© á¨á⥬®© â®ç¥ª = |
f 1; 2; : : : ; ng - §®¢¥¬ à §¬¥ç¥--ë¬ à §¡¨¥-¨¥¬ [a; b] ¨ ¡ã¤¥¬ ®¡®§- ç âì T . •® § ¤ --®© äã-ªæ¨¨ f : [z; b] ! R ¨ à §¬¥ç¥--®¬ã à §¡¨¥-¨î T á ¤¨ ¬¥â஬ d(T ) > 0 ¯®áâந¬ á㬬ã
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sf (T ) = |
f ( i)(xi xi 1): |
|
|
||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1. ˆ-â¥£à «®¬ •¨¬ - |
äã-ªæ¨¨ f (x) - |
®â१ª¥ [a; b] - - |
|||||||
§ë¢ ¥âáï â ª®¥ ç¨á«® I (¥á«¨ ®-® áãé¥áâ¢ã¥â), çâ® |
lim |
Sf (T ) = I. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
d(T )!0 |
b |
|
|
a |
|
b |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|||
Ž¡®§- ç ¥âáï ¨-â¥£à « •¨¬ - |
á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: I = f (x)dx. ‡¤¥áì |
||||||||
|
R |
|
R |
|
|
R |
|
|
a |
|
|
b |
|
f (x)dx. |
|||||
¨ ¤ «ìè¥ ¯®« £ ¥¬: |
f (x)dx = 0 ¨ |
f (x)dx = |
|||||||
|
a |
|
a |
|
|
b |
|
|
|
‡ ¬¥ç -¨¥. ˆ-â¥£à « •¨¬ - |
I = |
f (x)dx § ¢¨á¨â®â a, b ¨ f , -® -¥ § - |
|||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
¢¨á¨â ®â x, ïî饩áï \-¥¬®©" ¯¥à¥¬¥R--®© (¯¥à¥¬¥--®© ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï), |
|||||||||
x. |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
¢ â® ¢à¥¬ï ª ª -¥®¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à « f (x)dx = F (x) + C § ¢¨á¨â ®â |
|||||||||
•¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠|
¨-â¥£à « |
•¨¬ - . |
|
|
|
|
|||
1) •ãáâì äã-ªæ¨¨ f (x) ¨ g(x) ¨-⥣à¨à㥬ë - |
[a; b], ⮣¤ ¤«ï «î¡ëå |
||||||||
¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¬ã« : |
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
Za |
( f (x)+ g(x))dx = Za |
f (x)dx + Za |
g(x)dx: |
||||||
2) •ãáâì a < c < b, ⮣¤ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b |
c |
|
|
b |
|
|
|
|
|
Za |
f (x)dx = Za |
f (x)dx + Zc |
f (x)dx: |
|
||||
«¥--ë© ¨-â¥£à « ®â äã-ªæ¨¨ f (x) - |
[a; b], ⮣¤ : |
R |
f (x)dx | -¥®¯à¥¤¥- |
||||||
3) •ãáâì f (x) -¥¯à¥àë¢- - [a; b]. •ãáâì F (x) = |
|||||||||
|
Z |
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x)dx = F (x) a = F (b) F (a): |
|
|
||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) •ãáâì äã-ªæ¨ï f (x) -¥¯à¥àë¢- - |
[a; b]. •ãáâì äã-ªæ¨¨ '(t) ¨ '0(t) |
||||||||
-¥¯à¥àë¢-ë - |
[ ; ], ¯à¨ç¥¬ '( ) = a, '( ) = b ¨ f ('(t)) ®¯à¥¤¥«¥- ¨ |
x2. Ž¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «, ®á-®¢-ë¥ á¢®©á⢠... |
39 |
||||||||||||||||
-¥¯à¥àë¢- - |
[ ; ], ⮣¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za |
f (x)dx = Z |
f ('(t))'0(t)dt: |
|
|
|
||||||
5) •ãáâì äã-ªæ¨¨ u(x) ¨ v(x) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬ë - [a; b], |
¨å ¯à®¨§¢®¤- |
||||||||||||||||
-ë¥ u0(x) ¨ v0(x) ¨-⥣à¨à㥬ë - |
[a; b], ⮣¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Z |
b |
|
|
|
|
b |
Z |
b |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
u(x) v0(x)dx = u(x) v(x) a |
|
v(x) u0(x)dx: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•à¨¬¥à 1. (á¬. ᢮©á⢮ 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= ln(1 + p2) ln1 = ln(1 + p2): |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Z |
|
p1 + x2 = ln(x + |
|
|
) 0 |
||||||||||||
|
|
1 + x2 |
|||||||||||||||
0 |
|
|
dx |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
•à¨¬¥à 2. (á¬. ᢮©á⢮ 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
= (cos2 cos0) = 0: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
sinx dx = cosx 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•à¨¬¥à 3. (á¬. ᢮©á⢮ 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Z
p
9 x2 dx;
0
à áᬮâਬ ¯®¤áâ -®¢ªã x = 3sint, t 2 [0; =2]. ˆ¬¥¥¬
3 =2
Z Z
p
p
9 x2 dx = 9 9sin2 t 3cost dt =
00
=2 |
|
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
sin2t |
|
9 |
|
|
= 9 Z |
cos2 t dt = |
|
t + |
|
0 |
= |
|
: |
2 |
2 |
4 |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•à¨¬¥à 4. (á¬. ᢮©á⢮ 4).
2 p
Z x2 1 dx; x4
1
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2. |
Ž¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «, ®á-®¢-ë¥ á¢®©á⢠... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
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1 |
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1 |
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0 |
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I.1. Šà¨¢ ï § ¤ - |
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ï¢-ë¬ ãà ¢-¥-¨¥¬ y = f (x), x 2 [a; b], ⮣¤ ¤«¨- |
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|
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4 |
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l = Z |
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dx = 3 Z |
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32 + x2 |
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1 |
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9 |
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p |
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1 |
|
1 |
|
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9 |
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|
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2 |
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2 |
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2 |
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|
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p |
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10+ 2 ln9 |
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1 |
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10 + 2 ln3 = |
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3 + |
2 ln3: |
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9 |
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1 |
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9 |
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10 |
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3 |
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