заочникам / мат анализ / интегр исчисление
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¡) ¯ãáâì R(u; v) = R(u; v), ⮣¤ à 樮- «¨§ æ¨ï ¤®á⨣ ¥âáï ¯®¤áâ - -®¢ª®© t = sinx;
¢) ¯ãáâì R(u; v) = R( u; v), ⮣¤ à 樮- «¨§ æ¨ï ¤®á⨣ ¥âáï ¯®¤áâ - -®¢ª®© t = tgx.
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R(sinx; cosx) = |
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R( sinx; cosx) = |
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1 |
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; |
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sin2 x 5sinx cosx |
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|
R(sinx; cosx) = R( sinx; cosx); |
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¨á¯®«ì§ã¥¬ ¯®¤áâ -®¢ªã t = tgx: |
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dx |
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Z |
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cos2 x |
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dx |
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cos2 x |
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Z sin x 5sinx cosx |
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cos2 x |
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= |
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= |
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||||||||
2 |
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|
d tgx |
|
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dt |
|
|
5sinx cosx |
dt |
|
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|
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sin2 x |
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= Z |
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= Z |
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|
= Z |
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|
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|
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|
|
|
= |
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
tg2 x 5tgx |
|
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|
t2 5t |
|
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|
t 25 2 |
|
|
25 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
25 + t |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||
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|
|
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||||||||||||||||||
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5 |
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|
25 |
|
t + |
25 |
|
|
5 |
|
|
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|
|
t |
|
5 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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= |
|
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|
ln |
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|
|
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|
= |
|
|
|
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|
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|
ln |
|
|
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|||||||||||||||||||||
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1 |
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5 |
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1 |
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|||||||||||||
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= |
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ln 1 |
|
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+ C |
= |
|
|
ln |
|
1 |
|
|
5ctgx |
+ C: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
5 |
|
t |
|
j |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
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|
5 |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|||||||||||||||||||||||||
II. ˆ-â¥£à «ë ¢¨¤ |
|
|
|
sin |
m |
x cos |
n |
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||
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|
x dx. |
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||
|
|
sinx cosx = |
sin2x |
; |
|
|
sin2 x = |
1 cos2x |
; |
|
|
|
cos2 x = |
1 + cos2x |
: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
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|
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|
2 |
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
2 |
|
|
|
|||||
1. • áᬮâਬ ¨-â¥£à «ë ¢¨¤ : |
R sinm x dx, R cosm x dx, ¯®« £ ¥¬, çâ® |
x1. •¥®¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «... |
23 |
) m > 0, ç¥â-®¥, m = 2k.
Z |
sinm x dx = Z |
(sin2 x)k dx = Z |
(1 |
cos2x)k |
dx = |
1 |
Z (1 cos2x)k d2x: |
|
2k |
2k+1 |
¡) m > 0, -¥ç¥â-®¥, m = 2k + 1.
Z |
sinm x dx = |
Z |
sin2k x sinx dx = |
|
= Z |
(sin2 x)k d cosx = Z (1 cos2 x)k d cosx = Z (1 t2)k dt; |
£¤¥ t = cosx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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‚®§¢¥¤ï ¢ëà ¦¥-¨ï, áâ®ï騥 ¯®¤ ¨-â¥£à « ¬¨ ¯® ¡¨-®¬ã •ìîâ®- |
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( ) ¨ (¡), -® á -¨§- |
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
‘«ãç © |
cosm x dx ¤¥« ¥âáï |
- «®£¨ç-®. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
•à¨¬¥àR |
35. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
Z |
cos4 x dx = Z (cos2 x)2 dx = Z |
|
|
(1+ cos2x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d2x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
Z (1 + 2cosz + cos2 z)dz = |
z |
sinz |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
8 |
8 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
Z |
|
1 + cos2z |
|
|
3 |
|
sin2x |
|
sin4x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
dz = |
|
|
|
x + |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ C: |
|||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
8 |
|
4 |
|
32 |
||||||||||||||
•à¨¬¥à 36. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z |
cos3 x dx = Z |
cos2 x d sinx = Z (1 sin2 x)d sinx = |
|
|
|
|
sin3 x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= Z (1 t2)dt = t |
t3 |
|
+ C = sinx |
+ C: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||
¢) m = 1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Z |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
sinx |
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
dx |
= Z |
dx |
|
|
||
sinx |
2sin x2 cos x2 |
Z |
cos2 |
dx |
cos x |
|
2 |
|
|||
= |
|
2 |
|
|
|
x |
sin x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= Z |
d tg x |
= ln tg |
x |
|
+ C; |
|
tg x2 |
2 |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
dx |
Z |
d x + |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
cosx |
sin x + 2 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|||||
|
|
= |
|
2 |
|
|
= ln |
tg |
|
+ |
|
|
+ C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
x1. •¥®¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «... |
£) m < 0, jmj = 2k.
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
k 1 |
dx |
|
|||||
Z |
cosm x dx = Z |
|
= |
Z |
|
|
|
|
|
= |
|||||||
cos2k x |
cos2 x |
|
cos2 x |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 x + cos2 x |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= Z |
|
sin |
|
|
|
|
d tgx = |
Z (1 + tg2 x)k 1 d tgx = |
||||||||
|
cos2 x |
|
|
|
|||||||||||||
- «®£¨ç-® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
(1+ t2)k 1 dt; t = tgx; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Z |
sinm x dx = Z |
|
|
|
dx |
= Z |
(1+ ctg2 x)k 1 d ctgx: |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
sin2k x |
•à¨¬¥à 37. |
|
|
|
|
|||
Z |
dx |
= Z |
1 |
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
||||
cos4 x |
cos2 x |
cos2 x |
=
¤) m < 0, jmj = 2k + 1.
Z sin |
2 x + cos2 x |
d tgx = |
cos2 x |
Z (t2 + 1)dt = t3 + t + C 3
Z
(tg2 x + 1)d tgx =
= tg3 x + tgx + C: 3
Z |
cosm x dx = Z |
|
dx |
|
Z |
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
cos2k+1 x |
cos2k+2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
|
d sinx |
|
= |
Z |
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dt |
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|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 sin2 x)k+1 |
|
(1 t2)k+1 |
||||||||||
¤ «•à¨¬¥¥ ¥à 38. |
|
|
|
|
R |
|
|
|
dx |
|
¤¥« ¥âáï - «®£¨ç-®. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
2k+1 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
á¬. ¯ã-ªâ 1.4. ‘«ãç © |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dx |
cosx dx |
|
|
|
d sinx |
|
d sinx |
|
|
|
|
|
dt |
|
||||||||||
|
Z |
|
= Z |
|
|
= |
Z |
|
|
|
= Z |
|
|
= |
Z |
|
; |
|||||||||
|
cos3 x |
|
cos4 x |
|
(cos2 x)2 |
|
(1 sin2 x)2 |
(1 t2)2 |
(¤ «¥¥ á¬. ¯ã-ªâ 1.4).
‚á«ãç ¥ ¤) ¤«ï ¯®-¨¦¥-¨ï á⥯¥-¨ 㤮¡-® ¯à¨¬¥-ïâì ä®à¬ã«ã sin2 x +
+cos2 x = 1.
Z |
dx |
= Z |
|
sin |
2 x + cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos3 x |
|
|
cos3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= |
|
|
|
sin2 x |
1 |
dx = ln tg |
|
x |
+ |
|
|
Z |
sinx |
|||||
|
|
|
Z cos3 x |
+ cosx |
|
2 |
|
4 |
|
cos3 x d cosx: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x1. •¥®¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «... |
|
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|
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|
25 |
|||||||||||||
ˆ-⥣à¨àãï ¯®á«¥¤-¨© ¨-â¥£à « ¯® ç áâï¬, ¯®«ã稬: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
sinx |
1 |
Z |
sinx d cos 2 x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
d cosx = |
|
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||||||||||||||||
cos3 x |
2 |
cos2 x Z |
|
cosx = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2 |
cos2 x Z |
cos2 x |
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
sinx |
|
|
|
d sinx |
|
|
|
1 |
|
|
sinx |
|
|
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dx |
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|||||||||||||||||
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|
1 sinx |
1 |
|
tg |
|
x |
|
|
: |
||||||||||||
|
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|
= |
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ln |
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+ |
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||||||||
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|
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|
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|
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|
2 cos2 x |
2 |
2 |
|
4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
Žª®-ç ⥫ì-® ¯®«ã稬: |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
1 |
ln tg |
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
1 sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Z cos3 x |
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
2 cos2 x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) • áᬮâਬ ¨-â¥£à «ë ¢¨¤ |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z |
sinm x cosn x dx; |
m > 0; n > 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
¥) ®¤¨- ¨§ ¯®ª § ⥫¥© m ¨«¨ n -¥ç¥â-ë©, ¡¥§ ¨§¬¥-¥-¨ï ®¡é-®á⨠¯®-
« £ ¥¬ n = 2k + 1. |
|
sinm x cos2k+1 x dx = Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Z |
sinm cosn x dx = Z |
sinm x(cos2 x)k d sinx = |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= Z |
sinm x(1 sin2 x)k d sinx = Z |
tm(1 t2)k dt; |
||||||||||||
£¤¥ t = sinx ¨ ¤ «¥¥ ¯® ¡¨-®¬ã •ìîâ®- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
•à¨¬¥à 39. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z |
sin2 x cos3 x dx = Z |
sin2 x cos2 x d sinx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= Z |
sin2 x(1 sin2 x)d sinx = Z |
t2(1 t2)dt = |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
= Z (t2 t4)dt = |
t3 |
|
|
t5 |
|
+ C = |
sin3 x |
|
sin5 x |
+ C: |
|||||
|
|
|
|
3 |
5 |
|
3 |
5 |
|||||||||||
¦) m ¨ n ç¥â-ë¥, â® ¥áâì m = 2k, n = 2l, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Z |
sinm x cosn x dx = Z |
sin2k x cos2l x dx = Z |
sin2k x(1 sin2 x)l dx; |
|||||||||||||||
¤ «¥¥, ¨á¯®«ì§ãï ¡¨-®¬ •ìîâ®- , ᢮¤¨¬ ª á«ãç î ). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
•à¨¬¥à 40. |
|
|
sin2(1 sin2 x)dx = Z |
sin2 x dx Z |
|
|
|
||||||||||||
|
Z |
sin2 x cos2 x dx = Z |
sin4 x dx: |
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1. •¥®¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «... |
||||||||||||||||
3. ˆ-â¥£à «ë ¢¨¤ |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
sinn x dx ¨ |
cosn x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§) m = n, ¨á¯®«ì§ãïRä®à¬ã«ã tgR2 xsin=x |
1 |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
sinm x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Z |
|
|
|
dx = Z |
tgm 2 |
|
|
|
1 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
cosm x |
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgm 1 x |
|
||||||
|
|
|
|
|
= Z |
tgm 2 d tgx Z |
tgm 2 x dx = |
|
|
|
|
|
|
Z |
tgm 2 x dx; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
¯®«ã稬 ä®à¬ã«ã ¯®-¨¦¥-¨ï. €- «®£¨ç-® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
cosm x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Z |
|
|
dx = Z |
ctgm x dx = |
|
|
|
|
|
ctgm 1 x Z |
ctgm 2 x dx: |
||||||||||||||||||||||
|
sinm x |
m 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
•à¨¬¥à 41. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
tgx |
|
1 |
|
|
|
1 dx = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Z |
|
dx = Z |
tg3 x dx = Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
cos3 x |
cos2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
sinx |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= Z |
tgx d tgx Z |
tgx dx = |
tg |
Z |
|
|
dx = |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
cosx |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2 x |
|
d cosx |
|
|
|
tg2 x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ Z |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ lnj cosxj + C: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
cosx |
2 |
|
|
|
¨) ¯®ª § ⥫ì ç¨á«¨â¥«ï m | ç¥â-ë©, m = 2k.
Z |
cosm x |
dx = |
Z |
cos2k x |
dx = |
Z |
(1 sin2 x)k |
dx: |
|
|
|
||||||
sinn x |
sinn x |
sinn x |
ˆ-â¥£à « à ᯠ¤ ¥âáï - á㬬㠨-â¥£à «®¢ ¢¨¤ (1).
•à¨¬¥à 42.
Z |
cos4 x |
dx = |
Z |
(1 sin2 x)2 |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin3 x |
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= Z |
|
1 |
2sin2 x + sin4 x |
dx = Z |
dx |
|
2Z |
dx |
+ Z |
sinx dx: |
||
|
|
|
|
sin3 x |
|
sin3 x |
sinx |
ª) ¯®ª § ⥫ì ç¨á«¨â¥«ï m -¥ç¥â-ë©, m = 2k + 1.
Z |
cosm x |
dx = |
Z |
cos2k+1 x |
dx = |
Z |
(1 sin2 x)k |
d sinx: |
|
|
|
|
|||||||
sinn x |
sinn x |
sinn x |
|||||||
ˆ-â¥£à « à ᯠ¤ ¥âáï - |
®â¤¥«ì-ë¥ á« £ ¥¬ë¥ ¢¨¤ |
R tm dt. |
x1. |
•¥®¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|||||||||||
•à¨¬¥à 43. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z |
cos3 x |
dx = |
Z |
(1 sin2 x) |
d sinx = |
|
|
dt |
dt = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sin2 x |
|
sin2 x |
Z t2 Z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
t + C = |
|
|
sinx + C; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
sinx |
||||||||||||
£¤¥ t = sinx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. ˆ-â¥£à «ë ¢¨¤ |
|
|
, m > 0, n > 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
cosm x sinn x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Z |
dx |
|
|
= Z |
|
cos2 x + sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
cosm x sinn x |
|
cosm x sinn x |
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
|
|
|
|
|
|
+ Z |
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosm 2 x sinn x |
|
|
cosm x sinn 2 x |
¯®¢â®à¨¢ íâ®â ¯à¨¥¬ âॡ㥬®¥ ª®«¨ç¥á⢮ à §, ᢮¤¨¬ ¨-â¥£à « ª ¯à¥¤ë- ¤ã騬 ⨯ ¬.
•à¨¬¥à 44.
Z |
dx |
= Z |
cos2 x + sin2 x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
dx = |
|||||||||
cos3 x sin2 x |
cos3 x sin2 x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
||
|
= Z |
|
+ Z |
|
|
|
|
= |
||||||
|
cosx sin2 x |
|
cos3 x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
+ Z |
|
dx |
= Z |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
cos3 x |
Z |
cos2 x + sin2 x |
|
|
|
||||||
|
|
|
dx+ |
|
|
|||||
cosx sin2 x |
|
|
|
|||||||
|
cosx |
|
dx |
|
dx |
|
||||
|
|
dx + Z |
|
|
+ Z |
|
: |
|||
|
sin2 x |
cos3 x |
cos3 x |
…᫨ m + n = 2k, â® ¯à®é¥ ¤¥«¨âì ç«¥-ë ¤à®¡¨ - |
cosm+n x. |
||||||||||||||||
Z |
dx |
|
Z |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cosm x sin x |
|
cosm+n x |
cosm+x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
= |
|
|
|
cosm x sinn x |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dx |
|
k |
|
1 |
|
n |
|
|
||||
|
= Z |
|
|
|
= Z (1 + tg |
x) |
|
|
tg |
|
x d tgx = |
||||||
|
|
cos2k x tgn x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
t n(1 + t2)k 1 dt; |
£¤¥ t = tgx.
28 |
x1. •¥®¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «... |
•à¨¬¥à 45. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Z |
dx |
= Z |
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cosx sin3 x |
|
cos4 x tg3 x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= Z |
(1+ tg2 x)tg 3 x d tgx = Z |
t 3(1+ t)dt = |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= Z (t 3 + t 2)dt = |
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C: |
||
|
|
|
|
|
|
|
2tg2 x |
tgx |
III. ˆ-â¥£à «ë ¢¨¤
Z
sin(ax + b)cos(cx + p)dx;
Z
sin(ax + b)sin(cx + p)dx;
Z
cos(ax + b)cos(cx + p)dx
ã¯à®é îâáï - ®á-®¢ -¨¨ âਣ®-®¬¥âà¨ç¥áª¨å ⮦¤¥á⢠sin cos = 12 (sin( + ) + sin( )); sin sin = 12 (cos( ) cos( + )); cos cos = 12 (cos( + ) + cos( )):
•à¨¬¥à 46.
Z sin(3x + 1)cos(2x + 3)dx = 12 Z (sin(5x + 4)+
+ sin(x 2))dx = 1 Z sin(5x + 4) d(5x + 4)+
25
|
sin(x 2)d(x 2) |
|
x |
|
cos( |
x |
||
+ Z |
= |
cos(5 + 4) |
|
|
2) |
+ C: |
||
10 |
|
2 |
Šà®¬¥ ⮣®, ¯à¨ ¨-⥣à¨à®¢ -¨¨ âਣ®-®¬¥âà¨ç¥áª¨å äã-ªæ¨© ¬®¦-®
¯®«ì§®¢ âìáï ä®à¬ã« ¬¨ •©«¥à |
|
|
|
|
||
sinx = |
1 |
(eix e ix); |
cosx = |
1 |
(eix + e ix): |
|
|
|
|
||||
2i |
2 |
‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï |
29 |
|||
|
|
|
|
|
IV. ˆ-â¥£à «ë ¢¨¤ |
|
Z |
|
|
Z |
P (x)sinax dx; |
P (x)cosax dx; |
||
|
Z |
ebx sinax dx; |
Z |
ebx cosax dx; |
|
Z |
ebx sinax dx; |
Z |
ebx cosax dx; |
£¤¥ P (x) | ж¥«л© ¬-®£®з«¥-, ¨-в¥£а¨аговбп ¯® з бвп¬, б¬. ¯г-ªв 1.3.
‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï
•©â¨ ¨-â¥£à «ë:
1.R (x2 + 3x3 + x + 1)dx;
2.R x4 + p5 x + 3px + x12 dx R x1 5 dx;
4. |
R x4 |
|
dx; |
|
dx; |
|||||||||||
|
|
|
px |
px3 |
|
|
|
|||||||||
3. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
R |
|
5x8+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
px4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
R |
|
x5 1 |
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
|
x1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
|
dx; |
||||||||
|
x2 |
x3 |
||||||||||||||
7. |
R |
x |
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|||||
|
R |
|
(p |
x |
1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
(2x + 3x)dx; |
dx; |
||||||||||||||
9. |
R |
4x |
|
3 + p4 x3 |
||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
10. |
R ex 2 |
e x |
dx; |
x3 |
|||
|
|
|
11.R 1+2x2 p13 x2 dx;
12.R 1+x4x2 dx;
13. |
R ex 1 + |
e x |
dx; |
cos2 x |
|||
|
R |
14.(sinx + 5cosx)dx;
|
R |
cos2x |
|
|
|
||||
16. |
sin2 x cos2 x ; |
||||||||
15. |
|
2 x sin2 x dx; |
|||||||
|
|
cos |
|
dx |
|
|
|
||
|
|
3tg |
2 |
|
|
|
|
||
|
R |
|
x+4 |
|
|
|
|||
18. |
3 cos2 x |
|
dx; |
||||||
17. |
R |
sin2 x |
dx; |
||||||
|
R |
2ctg2 x |
|
|
|||||
19. |
sin |
x |
|
|
|
||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
20.tg2 x dx;
21.R ctg2 x dx;
22.R sin2 x2 dx;R
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï |
|
|
|
|
|
|
|
||||
24. |
R |
sin x2 cos x2 |
2 dx; |
|||||||
23. |
|
cos2 |
x dx; |
|
|
|
||||
|
R |
2 |
|
|
|
|
||||
|
2 p |
2 |
|
|||||||
25. |
R |
2xex dx; |
|
|
|
|||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||
26. |
1+px |
1 x41 x |
|
dx; |
||||||
|
|
|||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
R
27.cos5x dx;
28. |
R |
sin7x dx; |
|
||||||||
29. |
cos x4 dx; |
|
|
||||||||
30. |
R |
e x dx; |
|
|
|||||||
|
R |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||
31. |
|
|
e 2 + e |
2 dx; |
|||||||
32. |
R |
|
|
dx |
|
; |
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
cos 3x |
|
|
|
|
|
||||
33. |
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|||
|
sin2 x3 |
|
|
|
|
|
|||||
34. |
R |
(2 + 5x)9 dx; |
|||||||||
35. |
R |
|
p |
dx |
; |
|
|
|
|||
|
2 3x |
|
|
||||||||
|
R |
p |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36.R p2x 5dx;
37.3 3 7x dx;
38.R 5xdx+2;
39.R 2dx3x ;
40.R xx2dx+3;
R
41.ctgx dx;
42. |
R |
tgx dx; |
||||
|
||||||
43. |
R |
|
sinx dx |
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1+3cosx |
||||
44. |
|
dx |
; |
|||
|
x(1+lnx)5 |
|||||
45. |
R |
|
cos3x dx |
; |
||
|
3+sin3x |
|||||
46. |
R |
|
cos2x |
|||
|
sinx cosx dx; |
|||||
|
R |
|
|
|
|
|
47.sin2 x cosx dx;
48.R cos3 x sinx dx;
49.R ecosx sinx dx;
50.R e x3x2 dx;R
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||
51. |
R |
|
e p |
dx |
; |
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
||||||||||
52. |
|
cosx dx |
; |
|
|
|
|||||||||
|
sin3 x |
|
|
|
|||||||||||
53. |
R |
|
sinx dx |
; |
|
|
|
|
|||||||
|
cos5 x |
|
|
|
|||||||||||
|
R |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
54. |
|
p2+lnx |
dx; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
||||||||||
55. |
R |
p3 + cos5x sin5x dx; |
|||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56. |
R |
|
cos3x dx |
; |
|
||||||||||
|
7 |
|
|
||||||||||||
|
|
p3+5sin3x |
|
Re4x
57.5+2e4x dx;