заочникам / мат анализ / интегр исчисление
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(x2 + px + q)k |
„«ï - 宦¤¥-¨ï -¥¨§¢¥áâ-ëå ª®íää¨æ¨¥-⮢ A, M , N ¨á¯®«ì§ãîâ ¬¥â®¤ -¥®¯à¥¤¥«¥--ëå ª®íää¨æ¨¥-⮢. ‡- ï ä®à¬ã à §«®¦¥-¨ï PQ((xx)) - ¯à®áâë¥ ¤à®¡¨, ¯¨èãâ ¥£® á ¡ãª¢¥--묨 ª®íää¨æ¨¥-â ¬¨ á¯à ¢ . •à¨¢®¤ï⠤஡¨ ª ®¤-®¬ã §- ¬¥- ⥫î Q(x) ¨ ¯à¨à ¢-¨¢ îâ ¬-®£®ç«¥-ë, áâ®ï騥 ¢ ç¨- ᫨⥫ïå á¯à ¢ ¨ á«¥¢ . ‡ ⥬, ¯à¨à ¢-¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥-âë, áâ®ï騥 ¯à¨ ®¤¨- ª®¢ëå á⥯¥-ïå, - 室ïâ -¥¨§¢¥áâ-ë¥ ¡ãª¢¥--ë¥ ª®íää¨æ¨¥-âë.
|
|
|
|
2x2+2x+13 |
|
|
|
|
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•à¨¬¥à 24. • §«®¦¨âì ¤à®¡ì |
|
|
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|
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(x 2)(x2+1)2 |
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•à¥¤áâ ¢¨¬ ¤à®¡ì ¢ ¢¨¤¥: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + 2x + 13 |
|
|
A |
Bx + C Dx + E |
|
|||||
|
|
= |
|
+ |
|
|
+ |
|
: |
||
|
(x 2)(x2 + 1)2 |
x 2 |
x2 + 1 |
|
(x2 + 1)2 |
Š®íää¨æ¨¥-âë A, B, C, D, E ®¯à¥¤¥«¨¬, ¨áå®¤ï ¨§ ⮦¤¥á⢠:
2x2 + 2x + 13 = A (x2 + 1)2 + (Bx + C)(x2 + 1)(x 2) + (Dx + E)(x 2);
®âáî¤ ¯®«ã稬:
2x2 + 2x + 13 = (A + B) x4 + (C 2B) x3 + (2A + B 2C + D) x2+ + (C 2B + E 2D) x + A 2C 2E:
•à¨à ¢-¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥-âë ¯à¨ ®¤¨- ª®¢ëå á⥯¥-ïå x á«¥¢ ¨ á¯à ¢ , ¯à¨¤¥¬ ª á¨á⥬¥ ¨§ ¯ï⨠ãà ¢-¥-¨©
8
>A + B = 0;
>
> 2B + C = 0;
>
<
2A + B 2C + D = 2;
> 2B + C 2D + E = 2;
>
>
>
: A 2C 2E = 13;
®âªã¤
A = 1; B = 1; C = 2; D = 3; E = 4:
16 |
|
|
|
x1. •¥®¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «... |
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Žª®-ç ⥫ì-®: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + 2x + 13 |
1 |
|
x + 2 |
|
3x + 4 |
|
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|
|
= |
|
|
|
|
|
|
: |
|
(x 2)(x2 + 1)2 |
x 2 |
x2 + 1 |
(x2 + 1)2 |
„«ï ⮣® çâ®¡ë ¯à®¨-⥣à¨à®¢ âì ¯à ¢¨«ì-ãî ¤à®¡ì, ¥¥ à ᪫ ¤ë¢ îâ
- á㬬㠯à®áâëå ¤à®¡¥©, |
§ ⥬ ¨-⥣à¨àãîâ ª ¦¤ãî ¯à®áâãî ¤à®¡ì |
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®â¤¥«ì-® ¨ ¨å १ã«ìâ âë ᪫ ¤ë¢ îâ. |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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•à¨¬¥à 25. |
|
|
|
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|
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|
|
|
||
|
2x2 + 2x + 13 |
dx |
|
|
|
|
x + 2 |
|
3x + 4 |
|
|||||||||
Z |
|
dx = Z |
|
|
Z |
|
|
dx Z |
|
|
dx = |
||||||||
(x 2)(x2 + 1)2 |
x 2 |
x2 + 1 |
(x2 + 1)2 |
||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
1 |
|
3 4x |
+ |
1 |
ln |
(x 2)2 |
|
4arctgx + C: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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2 x2 + 1 2 |
x2 + 1 |
|
|
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‡¤¥áì ¬ë ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì à §«®¦¥-¨¥¬ ¨§ ¯à¨¬¥à |
24. |
|
|
|
1.5. ˆ-⥣à¨à®¢ -¨¥ ¨àà 樮- «ì-ëå ¢ëà ¦¥-¨©
‚ëè¥ ¬ë - ã稫¨áì ¨-⥣à¨à®¢ âì à 樮- «ì-ë¥ äã-ªæ¨¨. ‡¤¥áì à á- ᬠâਢ ¥âáï ¬¥â®¤ à 樮- «¨§ 樨 ¤«ï ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï ¨àà 樮- «ì-ëå ¢ëà ¦¥-¨©. € ¨¬¥--®, ¨é¥âáï ¯®¤áâ -®¢ª t = t(x), ª®â®à ï ¯à¨¢¥« ¡ë ¨àà 樮- «ì-®¥ ¢ëà ¦¥-¨¥ ª à 樮- «ì-®¬ã ¢¨¤ã. ‡¤¥áì ¨ ¤ «ìè¥ ¡ã¤¥¬ ¯®« £ âì, çâ® R(x; y; z; : : :) | à 樮- «ì- ï äã-ªæ¨ï ®â ᢮¨å à£ã¬¥-⮢.
I. ˆ-⥣à¨à®¢ -¨¥ ¢ëà ¦¥-¨© ¢¨¤ :
|
|
|
|
|
Z R x; s |
cx + p |
! dx; |
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|
|
|
|
|
|
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m ax + b |
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£¤¥ m | - âãà «ì-®¥ ç¨á«®, a, b, c, p | ¯®áâ®ï--ë¥. •®«®¦¨¬: |
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|
|
|
|
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|
|
|
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s |
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cx + p |
|
|
cx + p |
|
|
|
a ctm |
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t = t(x) = m |
ax + b |
; |
tm = |
ax + b |
; x = '(t) = |
p tm b |
; dx = '0(t)dt: |
||||
|
|
|
ˆ-â¥£à « ¯¥à¥¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥:
Z
R('(t); t)'0(t)dt:
‚ëç¨á«¨¢ ¯®«ãç¥--ë© ¨-â¥£à «, ¢¥à-¥¬áï ª áâ ன ¯¥à¥¬¥--®© t = t(x).
•à¨¬¥à 26.
Z x + 1 rx 1 dx: |
|
1 |
3 x + 1 |
x1. •¥®¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «... |
17 |
•®« £ ¥¬ t = q |
x 1 |
, x = t3 |
1, dx = |
(t3 1)2 dt, ⮣¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
3 x+1 |
t3 |
+1 |
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6t2 |
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|||||||
Z x + 1 r |
x 1 |
dx = Z |
|
t3 1 = Z |
t 1 + t2 |
+ t + 1 dt = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
3 x + 1 |
|
|
3dt |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
t + 2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 t2 + t + 1 |
p |
|
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2t 1 |
||||||||||
|
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2 |
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(t 1)2 |
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|
p3 |
|||||||
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|
|
= |
|
|
|
ln |
|
|
|
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|
+ 3 arctg |
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|||||||||
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ˆq |
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x+1 |
|
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|
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3 |
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x 1 |
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II. |
-⥣à¨à®¢ -¨¥ ¢ëà |
|
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Ax |
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|
|
B |
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
Z |
+ |
|
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dx: |
|
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|||||||
|
|
|
|
|
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p |
|
|
|
|
|
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|
|
ax2 + bx + c |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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1) •ãáâì a > 0, ⮣¤ |
¨-â¥£à « (3) ¯¥à¥¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
Ax + B |
1 |
Z |
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Ax + B |
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|||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
dx = |
p |
|
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|
dx: |
|
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||||||||||||||||||
|
|
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|
p |
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|
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|||||||||||||||||||||||
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x2 + b |
x + c |
a |
p |
x2 + px + q |
|
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|||||||||||||||||||||
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|
|
a |
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q |
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a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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+ C;
(3)
’ ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï à 樮- «ì-®© äã-ªæ¨¨, ¢ë¤¥- «¨¬ ¯®«-ë© ª¢ ¤à â ¢ ª¢ ¤à â-®¬ âà¥åç«¥-¥, áâ®ï饬 ¢ §- ¬¥- ⥫¥ (á¬. ¯ã-ªâ 1.4):
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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B |
|
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1 |
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Z |
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Ax + |
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|
dx = |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
22 |
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dx+ |
|
|||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
q x + 2 |
+ k |
|
p |
|
|
|
Z q x + |
2 |
|
|
|
+ k |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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1 |
|
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B A |
2 |
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|
1 |
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At |
|
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|
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|
+ |
p |
|
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Z |
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|
|
|
|
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|
dx = |
p |
|
Z |
|
p |
|
|
dt + |
p |
|
Z |
||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
q |
x + p |
2 |
+ k |
a |
|
t2 + k |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
£¤¥ t = x + p . |
|
2 |
|
|
|
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|||||||||||||||||
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2 |
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|
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|
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|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t dt |
1 |
|
|
|
|
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dt2 |
|
|
|
1 |
|
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d t2 + k) 1 |
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du |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
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= |
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Z |
|
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= |
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|
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Z |
|
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|
Z |
|
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= |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
2 |
|
p |
|
|
2 |
|
|
p |
|
|
2 |
p |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t2 + k |
|
t2 + k |
|
|
|
t2 + k |
u |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
1 |
Z |
|
u 1=2 du = u1=2 + C = (t2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
= |
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|||||||||||||||||||||||
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2 |
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B A 2p |
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pt2 + k |
dt; |
+ k)1=2 + C:
‚â®à®© ¨-â¥£à « R ptdt2+k ï¥âáï â ¡«¨ç-ë¬.
18 |
x1. •¥®¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «... |
2) •ãáâì a < 0, ⮣¤ ¨-â¥£à « (3) ¯¥à¥¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥
|
|
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B |
|
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Z |
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|
|
|
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|
|
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p |
|
|
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|
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q |
x2 |
b |
x |
c |
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a |
||||||||
|
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|
a |
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a |
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1 |
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Ax |
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Z |
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p |
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||
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|
|
|
|
|
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1 |
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Z |
|
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|
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Ax + B |
|||
|
|
|
|
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= |
|
|
|
|
|
|
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dx: |
||||
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p |
|
|
p |
|
|
|
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|
|
|
|
|
a |
|
|
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(x2 |
+ px + q) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ «ìè¥, ¢ë¤¥«ïï ¯®«-ë© ª¢ ¤à â ¢ ª¢ ¤à â-®¬ âà¥åç«¥-¥ ¨ ¯à¨¬¥-ïï § -
¬¥-ã t = x + p2, â ª ¦¥ ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥ ¢ëç¨á«ï¥¬ ¯®«ãç¥--ë© ¨-â¥£à «.
•à¨¬¥à 27.
Z |
|
5x 1 |
|
dx = |
Z |
|
|
|
5x 1 |
|
|
dx = |
||||
px2 + 2x + 2 |
|
|
|
|
|
(x + 1)2 |
+ 1 |
|
|
Z |
||||||
|
|
|
|
|
5t |
|
6p |
|
t dt |
|
||||||
|
|
|
= Z |
p |
|
dt = 5Z |
p |
|
|
6 |
||||||
|
|
|
t2 + 1 |
t2 + 1 |
5(x + 1 1) 1 |
dx = |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p( |
|
dt |
|
|
|||
|
|
|
x + 1)2 + 1 |
||||
Z |
p |
|
= |
|
|
||
t2 + 1 |
|
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|
|
|
|
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5 |
Z |
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d(t2 + 1) |
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|||||||||||||
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||||||||||||||||
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|
|
= |
|
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|
p |
|
|
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|
6 lnjt + t2 |
+ 1j + C = |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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t2 + 1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5 |
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|
p |
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|
|||
|
= |
|
2(t2 + 1)1=2 6lnjt + pt2 + 1j + C = 5 (x2 + 2x + 2)1=2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
6lnjx + 1 + p |
x2 + 2x + 3 |
j + C: |
||||||||||||||||||||||||||
•à¨¬¥à 28. |
|
|
|
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|
|
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||||||||
Z |
p |
5x + 11 |
|
|
|
dx = Z |
|
|
|
|
|
5x + 11 |
|
|
|
|
|
dx = |
|
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|||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||
6x x2 5 |
|
|
(x2 6x + 5) |
|
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|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
5 |
x |
+p |
dx = |
|
|
|
5(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
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|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
3 + 3)+ 11 |
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
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|
((x 3)2 4) |
|
|
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|
|
4 (x 3)2 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
p5t + 26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
= Z |
p |
|
|
|
dt = 5Z |
p |
|
|
|
|
dt + 26Z |
p |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 t2 |
4 t2 |
4 t2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
d(4 t2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
Z |
|
|
p |
|
|
|
|
|
+ 26arcsin |
|
|
|
+ C = |
|
Z |
p |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
t2 |
4 t2 |
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
t |
+ C = 5p |
|
+ 26arcsin |
t |
+ C = x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ 26arcsin |
4 t2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
p |
|
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|
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|
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|
2 |
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||||||||
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
= |
|
|
5 |
|
|
6x |
|
x2 |
|
|
|
5 + 26arcsin |
|
|
+ C: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
x1. •¥®¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «... |
19 |
III. ˆ-⥣à¨à®¢ -¨¥ ¢ëà ¦¥-¨© ¢¨¤ :
|
|
|
|
|
|
Z (Ax + B) p |
|
|
|
dx: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ax2 + bx + c |
|
|
||||||||||||||
•а¨ ¨-в¥£а¨а®¢ -¨¨ нв¨е дг-ªж¨© ¨б¯®«м§говбп ¨-в¥£а «л |
|||||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
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|
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|
+ x2 + a2 lnjx + a2 + x2j) + C; |
||||||||||||||
|
a2 |
+ x2 dx = |
|
(x |
|
a2 |
|||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
1 p |
|
|
|
|
p x |
|
|
|||||
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C; |
||||||||||
|
Z |
|
x2 dx = 2 |
x |
|
a2 x2 + a2 arcsin a |
|||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
ª®в®ал¥ ¢лз¨б«повбп ¬¥в®¤®¬ ¨-в¥£а¨а®¢ -¨п ¯® з бвп¬ (б¬. ¯г-ªв 1.3). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
p |
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
„«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ¨-â¥£à «®¢ |
(Ax + B) |
2 |
|
+ bx + c dx ¢ ª¢ ¤à â-®¬ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ax |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
âà¥åç«¥-¥ ¢ë¤¥«ï¥âáï ¯®«-ë© ª¢R |
¤à â, |
|
§ ⥬, |
|
|
- «®£¨ç-® á«ãç î II, ¢á¥ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
᢮¤¨âáï ª ¢ëç¨á«¥-¨î ¨-â¥£à «®¢ ¢¨¤ |
|
|
|
|
|
p |
|
2 |
|
dt ¨ |
p |
|
|
|
2 |
|
dt. •¥à- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¬: |
|
t k t |
|
|
k t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
¢ë© ¨§ ¯®«ãç¥--ëå ¨-â¥£à «®¢ ¢ëç¨á«ï¥ R |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
|
|
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|
1 |
|
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|||||||||
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|||||||||||
Z t k t2 dt = |
|
|
Z |
k t2 dt2 |
= |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
k t2 d(k t2) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 p |
|
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|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
(k t2)3=2 |
= |
|
|
(k t2)3=2 + C: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
‡- ç¥-¨¥ ¢â®à®£® ¨-â¥£à « á¬. ¢ëè¥. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
•à¨¬¥à 29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|||||
Z (2x 1) |
|
|
|
|
dx = Z (2x 1) (x2 3x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= Z (2x 1)s |
x 2 |
|
4 dx = |
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= Z 2 x 2 |
+ 2 1 s |
4 x 2 |
dx = Z (2t + 2)r4 t2 dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 2Z tr |
4 t2 |
dt + 2Z r |
4 t2 |
dt = Z r |
4 t2 |
dt2+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! = 3 (3x x2)3=2+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ 2 2 |
|
|
|
tr |
4 |
t2 + 4 |
arcsin 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
2 |
|
p3x x2 + 4 arcsin |
|
+ C: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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|
9 |
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|
|
2x |
|
|
3 |
|
20 |
x1. •¥®¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «... |
IV. ˆ-⥣à¨à®¢ -¨¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-ëå ¡¨-®¬®¢ ¢¨¤ : |
|
Z |
xm(a + bxn)p dx; |
£¤¥ p = ; , | æ¥«ë¥ ç¨á« ; m, n | ¯à®¨§¢®«ì-ë¥ ç¨á« .
„ --ë© ¨-â¥£à « ¨-⥣à¨àã¥âáï «¨èì ¢ á«¥¤ãîé¨å âà¥å á«ãç ïå:
1)¥á«¨ p 楫®¥ ç¨á«®, â® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯®¤áâ -®¢ª
x = tN ; £¤¥ N | ®¡é¨© §- ¬¥- â¥«ì ¤à®¡¥© m ¨ n;
2)¥á«¨ mn+1 楫®¥ ç¨á«®, â® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯®¤áâ -®¢ª
a+ bxn = t ;
3)¥á«¨ mn+1 + p 楫®¥ ç¨á«®, â® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯®¤áâ -®¢ª
|
|
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|
|
|
|
|
|
a + bxn = xnt : |
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•à¨¬¥à 30. |
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Z |
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p |
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x3 |
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|
dx; |
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||||||||
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|||||||||||
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|
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|
x2 1 |
|
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|
||||||||||||||
£¤¥ m = 3, n = 2. —¨á«® |
m+1 |
= 3+1 |
= 2 | 楫®¥, ¯®í⮬㠨ᯮ«ì§ã¥¬ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|||
¯®¤áâ -®¢ªã (1): x2 1 = t2, x = p |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
t2 + 1, dx = |
p |
|
dt, ®âáî¤ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1+ |
t2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x3 |
|
|
t2 |
) |
3=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
Z |
p |
|
dx = |
Z |
(1 + |
|
|
|
|
|
|
|
dt = Z (1 + t2)dt = |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
(t2 + 1)1=2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x2 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t + |
t3 |
|
+ C = (x2 |
|
1)1=2 + |
(x2 |
1)3=2 |
+ C: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
3 |
|
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||||
•à¨¬¥à 31. |
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|||
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|
|
Z |
p4 |
dx |
= Z |
|
x0(1 + x4) 1=4 dx; |
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + x4 |
|
|
|
|
§¤¥áì m = 0, n = 4, p = 41. •à®¢¥à¨¬ ãá«®¢¨¥: |
m+1 |
+ p | 楫®¥ ç¨á«® ¨«¨ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
-®«ì. mn+1+p = 0+14 41 = 0, ¯®í⮬ã4 |
|
¨á¯®«ì§ã¥¬ ¯®¤áâ -®¢ªã (2); §¤¥áì = 4: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
p |
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|
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||||
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 1 |
|
|
|
|
1+x4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5=4 |
|
|
|||||||||||
1+ x |
|
=p4 |
|
|
t |
|
, |
4 |
|
= q |
|
|
+ 1 =4 |
|
|
|
x |
1,=4 |
|
= ( |
t |
|
|
1) |
|
|
, |
dx |
= |
t |
|
( |
t |
|
1) |
|
dt |
, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= tx = t (t |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||
â ª çâ® |
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
t2 dt |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Z |
p4 |
|
|
|
= Z |
|
= |
|
Z |
|
|
|
|
dt |
|
Z |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t4 1 |
4 |
t + 1 |
t 1 |
2 |
t2 + 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + x4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
= 4 ln t |
|
1 |
|
2 arctgt + C; |
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t + 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||
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|
|
|
|
p1+x |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
£¤¥ t = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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