ВСЕРОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ

ВНЕШНЕЙ ТОРГОВЛИ

Минэкономразвития России

Кафедра информатики и математики

А.А.Басистов

А.А.Мановцев

Н.Е.Москаленко

И.В.Найден

Т.А.Спиридонова

М.Н.Сыщикова

Г.А.Шапошникова

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Для 2 курса ФЭМ, ФВМ, ФМФ

Москва

ВАВТ

2011

Содержание

1. Элементы комбинаторики.

2. Классическая вероятностная модель.

3. Действия над случайными событиями. Теоремы сложения и умножения.

4. Формула полной вероятности. Теорема Байеса.

5. Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли и предельные теоремы.

6. Дискретные случайные величины.

7. Двумерные случайные величины.

8. Непрерывные случайные величины.

9. Нормально распределенные случайные величины.

1. Элементы комбинаторики.

1.1. Из 30 первокурсников в зимние каникулы выезжали за границу 11 человек, а в летние – 18. Семеро совершили поездки в оба сезона. Сколько студентов провели каникулы, не выезжая за границу?

1.2. Из Калининграда в Минск (или обратно) можно поехать через Польшу тремя способами, а через Литву – четырьмя. а) Сколькими способами можно добраться от Минска до Калининграда и вернуться обратно? б) … А если ехать туда через Литву, а обратно – через Польшу? в) … А если ехать туда через одну страну, а обратно – через другую? г) … А если ехать туда и обратно через одну и ту же страну?

1.3. Надо послать 4 срочных письма. Сколькими способами это можно сделать с помощью пяти курьеров (каждое письмо можно отдать любому из них)?

1.4. Сколькими способами могут выполнить команду «Выходи по одному!» семь человек, находящиеся в одной комнате?

1.5. В каждой из двух команд по 8 волейболистов. а) Сколькими способами тренер одной команды может расставить игроков на площадке для начала игры (6 человек на разных местах)? б) Перед началом игры жребием для команд выбирают половины площадки, а потом расставляют игроков. Сколько всего способов начальной расстановки игроков может получиться?

1.6. В футбольном клубе имеются трусы, майки и гетры п различных цветов в неограниченном количестве. а) Сколько команд можно нарядить из этих запасов (формы разных команд должны чем-то отличаться)? б) Сколько из них можно нарядить в трехцветные формы? в) Сколько команд можно нарядить в двухцветные формы?

1.7. Четверо из десяти человек имеют права на управление мотоциклом. Сколькими способами можно составить из них… а) экипаж двухместного мотоцикла; б) экипаж трехместного мотоцикла; в) два экипажа – для двухместного и трехместного мотоциклов?

1.8. Сколько имеется четырехзначных чисел, в десятичной записи которых… а) крайние цифры различны? б) все цифры – чётные? в) чередуются чётные и нёчетные цифры?

1.9. Имеется 8 различных книг. Сколькими способами можно разослать в четыре адреса бандероли с парой книг?

1.10. Учительница решила рассадить 15 девочек и 15 мальчиков на 15 партах так, чтобы за каждой партой сидели девочка, и мальчик. Сколькими способами это можно сделать? В скольких из них слева будет сидеть девочка, а справа – мальчик?

1.11. Вилли имеет для обмена 9 марок, а Коля – 5 (все марки – разные). Сколькими способами они могут совершить обмен «три марки на три марки»?

1.12. Сколькими способами можно разложить 15 биллиардных шаров по шести различным лузам (лузы и шары различны)?

1.13. Рядом с кабинетом стоят пять стульев. Сколькими способами на них могут расположиться в ожидании приема… а) три человека? б) три человека при условии: чем старше человек, тем ближе к кабинету?

1.14. В каждом подразделении МЧС на год планируют 7 учений: например, все – осенью, или два – весной, одно – летом, четыре – зимой, или… Каково общее количество различных таких планов?

1.15. На полке расставляют пять двухтомников разных авторов. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы книги каждого автора стояли рядом?

1.16. Есть десять фруктов: пять яблок, три груши и два апельсина (фрукты каждого вида неразличимы). Сколькими способами можно из них … а) выбрать угощение – один или несколько фруктов? б) составить меню на десять дней (последовательность из десяти фруктов)?

1.17. Сколькими способами можно положить k карандашей в т пеналов, если а) карандаши различны и пеналы различны; б) карандаши одинаковы, пеналы различны; в) карандаши различны, пеналы одинаковы, т = 2; г) карандаши одинаковы, пеналы одинаковы т = 2?

1.18. Для п выпускников предоставляются вакансии в т фирмах, в каждой – одна из k возможных должностей. Каково общее количество способов заполнения вакансий?

1.19. а) Сколько натуральных чисел, делящихся на 2 или на 3, имеется в первой сотне? б) Сколько среди них двузначных? в) Сколько двузначных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 4, ни на 5, ни на 6?

1.20. Каждый из 25 юристов имеет хобби: 10 человек увлекаются спортом, 17 человек – туризмом, в КВН играют 9. В этой группе юристов: спортсменов-туристов – пятеро, туристов-юмористов – 6 человек, а спортсменов-юмористов – всего двое. а) Сколько человек имеют все три увлечения? б) Сколько в группе чистых юмористов?