1. Задачи / Образцы выполненных СРС 1-12 МАТЕСО / 7 / Солнцева Светлана,СРС 7_Солнцева Светлана, гр.8512

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ОСУ

Самостоятельная работа студента №7

Вторая теорема двойственности

Выполнила: студентка группы 8512

Солнцева Светлана Сергеевна

Проверил: Ротарь В.Г.

ТОМСК

2004

ЗАДАНИЕ

1. По заданному (известному по СРС №4) оптимальному решению исходной (прямой) задачи линейного программирования на основе утверждений второй теоремы двойственности найти оптимальное решение сопряженной двойственной задачи

   1. В качестве исходной взять задачу [2;5] СРС №4, для которой принять заданными оптимальный план X^* = (x₁^*, x₂^*, x₃^*, x₄^*, х₅^*) и Z_max (X^*).

   2. По результатам анализа выполнения ограничений:

a₁₁x₁^*+a₁₂x₂^*+a₁₃x₃^*+a₁₄x₄^*+a₁₅x₅^*≤ b₁

a₂₁x₁^*+a₂₂x₂^*+a₂₃x₃^*+a₂₄x₄^*+a₂₅x₅^*≤ b₂

сопряженных пар двойственных условий 3⁰ и 4⁰ определить качественно структуру оптимального плана двойственной задачи Y^*, т.е. определить структуру базиса.

3. По утверждениям 1⁰ и 2⁰ второй теоремы двойственности найти вектор y^* на основе решения системы уравнений

4. Проверить правильность вычисления опорного плана y^* по первой теореме двойственности.

2. По заданному оптимальному решению исходной – (двойственной) задачи линейного программирования на основе утверждений второй теоремы двойственности найти оптимальное решение сопряженной прямой задачи

1. В качестве исходной взять задачу СРС-3 размерностью [3;2], для которой принять заданными оптимальный план

Y^* = (y₁^*, y ₂^*) и L_min(Y^*).

2. По результатам анализа выполнения ограничений

a₁₁y₁^*+a₁₂y₂^*С₁;

a₂₁y₁^*+ a₂₂y₂^*С₂;

a₃₁y₁^*+ a₃₂y₂^*С₃

y₁^* 0, y₂^*0

₂

сопряженных пар двойственных условий 1⁰ и 2⁰ определить качественно структуру оптимального плана прямой задачи Х^*, т.е. определить структуру базиса.

3. По утверждениям 3⁰ и 4⁰ второй теоремы двойственности найти опорный план y^* на основе решения системы уравнений

4. Проверить правильность вычисления опорного плана x^* по первой теореме двойственности.

ХОД РАБОТЫ

1. По заданному (известному по СРС №4) оптимальному решению исходной (прямой) задачи линейного программирования на основе утверждений второй теоремы двойственности найдем оптимальное решение сопряженной двойственной задачи:

1. Из СРС №4 нам известен оптимальный план исходной задачи [2; 5]:

X* = (74,12; 0; 0; 282,42; 0)

Тогда целевая функция будет равна:

Z(X*) = 356,54.

2. Проведем анализ выполнения ограничений:

4x1* + 2х2* + 6x3* + 6х4* + 3x5* = 1991 =>	4*74,12 + 2*0 + 6*0 + 6*282,42 + 3*0 = 1991 1991 = 1991
6x1* + 4х2* + 2x3* + 3х4* + 6x5* = 1292	6*74,12 + 4*0 + 2*0 + 3*282,42 + 6*0 = 1292 1292 = 1292

Следовательно, получим по следствию из второй теоремы двойственности 3⁰, если , то у_i^* > 0, следовательно, структура опорного плана двойственной задачи Y^* будет выглядеть следующим образом:

у₁^* > 0, y₂^* > 0

3. x₁^* > 0

x₂^* = 0

x₃^* = 0 => по следствию из второй теоремы двойственности 1⁰ получим систему

x₄^* > 0 уравнений:

x₅^* = 0

Следствие 1⁰: если х_j > 0, то

Решим систему полученных уравнений:

4у₁ + 6у₂ = 1

6у₁ + 3у₂ = 1

– 12 у₂ = -1 =>

у₂ = 1/12 = 0,0833

Таким образом, получим опорный план двойственной задачи:

Y^* = (0,125; 0,0833)

Следовательно, L (Y^*) = 1991*0,125 + 1292*0,0833 = 356,54

4. Проверим правильность вычисления опорного плана Y^* по первой теореме двойственности:

Первая теорема двойственности говорит о том, что на оптимальных планах прямой и двойственной задач значения целевых функций совпадают:

Z(X*) = L(Y*)

Таким образом, из СРС №4 мы получаем, что для исходной прямой задачи (см. п. 1.1.) оптимальный опорный план имеет следующий вид X* (74,12; 0; 0; 282,42; 0), следовательно, целевая функция на оптимальном опорном плане принимает значение Z(X*) = 356,54.

А из п. 1.3. мы получаем, что для двойственной задачи оптимальный опорный план имеет следующий вид Y* (0,125; 0,0833), следовательно, целевая функция на оптимальном опорном плане принимает значение L(Y*) = 356,54.

Z(X*) = L(Y*) = 356,54

(следовательно, первая теорема двойственности выполняется).

2. По заданному оптимальному решению исходной – (двойственной) задачи линейного программирования на основе утверждений второй теоремы двойственности найдем оптимальное решение сопряженной прямой задачи.

1. Из СРС №3 нам известен оптимальный план исходной задачи [3; 2]:

Y* = (134,64; 242,07)

Тогда целевая функция будет равна:

L(Y*) = 376,71.

2. Проведем анализ выполнения ограничений:

4y1* + 6y2* = 1991	4*134,64 + 6*242,07=1991	1991 = 1991
6y1* + 2y2* = 1292	6*134,64 + 2*242,07=1292	1292 = 1292
2y1* + 4y2* = 1194	2*134,64 +4*242,07=1238	1238 > 1194

Следовательно, получим по следствию из второй теоремы двойственности 1⁰, если, , то х_i^* > 0, следовательно, структура опорного плана двойственной задачи Y^* будет выглядеть следующим образом:

х₁^* > 0, х₂^* > 0,

По следствию 2⁰, если, то х_i^* = 0, получим, что х₃ = 0.

3. y₁^* > 0 => по следствию из второй теоремы двойственности 3⁰ получим систему

y₂^* > 0 уравнений:

Следствие 3⁰: если y_j > 0, то

z(x) = 1991x₁ + 1292x₂ + 1194x₃

при условиях

4x₁ + 6x₂ + 2x₃ = 1

6x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 1

Решая данную систему (подробное решение приведено в СРС №6), получим:

X^* = (0,143; 0,07143; 0)

Следовательно, Z(X^*) = 1991*0,143 + 1292*0,07143 + 1194 *0 = 376,71.

4. Проверим правильность вычисления опорного плана Y^* по первой теореме двойственности:

Первая теорема двойственности говорит о том, что на оптимальных планах прямой и двойственной задач значения целевых функций совпадают:

Z(X*) = L(Y*)

Таким образом, из СРС №3 мы получаем, что для двойственной сопряженной задачи (см. п. 2.1.) оптимальный опорный план имеет следующий вид Y* (134,64; 242,07), следовательно, целевая функция на оптимальном опорном плане принимает значение L(Y*) = 134,64 + 242,07 ≈ 376,71.

А из п. 2.3. мы получаем, что для прямой задачи оптимальный опорный план имеет следующий вид Х* (0,143; 0,07143; 0), следовательно, целевая функция на оптимальном опорном плане принимает значение Z(X*) = 0,143*1991 + 0,07143*1292 + 1194*0 = 376,71.

Z(X*) = L(Y*) = 376,71

(следовательно, первая теорема двойственности выполняется).

4