Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Политехнический Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

вышка 19 вариант

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
29.05.2015
Размер:
282.76 Кб
Скачать
☆

zadanie N 4

wARIANT 19

aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ W PROSTRANSTWE

1. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU M0(;4 2 0) PARALLELXNO DWUM WEKTORAM ~a1 = f;9 5 5g ~a2 = f4 1 1g nAJTI RAS- STOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO \TOJ PLOSKOSTI I OB_EM PIRAMIDY, OTSEKAEMOJ PLOSKOSTX@ OT KOORDINATNOGO UGLA.

2. iZ OB]IH URAWNENIJ PRQMOJ

8

3x + 4y ; 2z + 1 = 0

<

2x ; 4y + 3z + 4 = 0

:

 

POLU^ITX EE KANONI^ESKIE I PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ. oPREDE-

LITX RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ.

3. nAJTI TO^KU PERESE^ENIQ I UGOL MEVDU PRQMOJ

8 x = t + 3

 

<

 

> y = ;t + 1 I

PLOSKOSTX@ x + 7y + 3z + 11 = 0:

>: z = ;5 . sOSTAWITX URAWNENIE PROEKCII DANNOJ PRQMOJ NA PLOSKOSTX

4. dANY WER[INY TREUGOLXNOJ PIRAMIDY

A(1 3 6) B(2 2 1) C(;1 0 1) D(5 ;4 5):

sOSTAWITX URAWNENIE GRANI ABC I URAWNENIE WYSOTY DH OPU]EN-

NOJ NA \TU GRANX. nAJTI DLINU WYSOTY.

 

 

 

5. pOSTROITX POWERHNOSTI

 

 

 

 

 

z = y ; y2

 

x2

1)

2)

4 ; y2 = 1

3)

x2

4)

4 ; z = x2 + y2

4 + y2 = (z ; 1)2

5)

x2 + z2 + y2 + 2y = 4z

6)

3 ; x + 4p

 

= 0

y ; 2

6. pOSTROITX TELO, OGRANI^ENNOE POWERHNOSTQMI

 

2z = x2 + y2

 

 

x = 0

 

 

 

y = 2x y = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

a) z = p1

; x2

; y2

b)

 

 

x + y + z = 3

 

z = 0

 

 

 

 

 

z 0:

 

 

 

13

 

 

zadanie N 5

wARIANT 19

pREDEL. nEPRERYWNOSTX

1. nAJTI PREDELY

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5n3 + 3n2

 

 

4n3

1:

nlim

 

 

1 + n2

 

;

 

!1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

n

5

 

2:

lim

 

3n + 4 + 5;

 

 

 

 

 

 

n!1

1 +

n2

+ 5;n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3:

lim

 

np71n ; p27n6 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3 n)p11 + 3n2

 

n!1 (4n

4:

lim

 

pn6;+ 3n5 ; n

 

n!1

 

 

 

 

5(1 + n)3

 

 

 

5:

lim

 

n! + 4(n + 1)!

 

 

5n! + 8(n + 1)!

 

n!1

 

6:

lim

 

 

 

 

5n

; 2

 

4n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 3

 

52n + 5

 

4nn;22

7:

nlim

0

2n2

+ 1

1;

 

 

 

 

 

!1

@

2n + 5A

 

 

 

 

 

8:

lim

 

x2

;

2x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1 3x2

; 5x + 2

 

 

 

 

lim p

 

 

 

;

 

 

 

 

 

9:

3x + 4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!7

px + 9

; 4

 

 

 

 

10:

lim

1

 

; cos 5x

 

 

 

 

 

 

 

x!0

1

 

; cos 4x

 

 

4

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11:

lim

p1 + 3x

; p1 + 6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(1 + 7x)

 

x!0

 

 

 

 

 

12:

lim

 

1 ; sin 3x

 

 

 

 

 

x! =6

 

 

 

=6

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

13:

lim

4x

; 4 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

 

ln x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

14:

lim (4x

;

3)

 

 

 

 

 

 

 

x;1

 

 

 

 

 

 

x!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

15:

lim

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; cos x!

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

16:

lim

 

 

 

x

; 3

!

x

 

x!1

 

 

x + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

2. sRAWNITX DWE BESKONE^NO MALYE (x) I (x) PRI x ! 0, ESLI

 

 

 

1)

(x) = 5arctg6x ; 1

 

 

(x) = x th22x

 

 

 

 

 

 

 

(x) = ln(1 + p

 

)

(x) = arcsinp

 

 

 

 

 

 

2)

1 ; cos x

 

 

.

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

x ! x0

 

 

 

 

 

3

 

dLQ DANNYH BESKONE^NO MALYH PRI

 

 

WELI^IN ZAPISATX

\KWIWALENTNNYE W WIDE

A(x ; x0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1:

arcsin(

p

 

 

 

x0 = 0

3:

3

 

 

x0

= ;2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 4 ; 2)

ln (5x + 11)

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ; cos 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2:

x0 = 0

4:

p5x ; 19 ; 2

x0

= 7

4. iSSLEDOWATX NA NEPRERYWNOSTX FUNKCII

1:

y = "

x

#2 e;x

8

1 + x3

x + 3

 

1

 

<

2

 

3:

y = >

 

 

>

2tg x + 1

2:

y = 6 + 4

x+2

 

 

 

 

 

 

 

:

 

x < 0 x = 0 x > 0

14

zadanie N 6

wARIANT 19

pROIZWODNYE

1. nAJTI PROIZWODNYE y0(x) DANNYH FUNKCIJ

1)

y = ln5 sin(3;x2 )

 

 

 

 

3)

y =

1

 

 

 

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

th (e;x )

 

eth (x )

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

y = parcsinx;

; sx2 + 6

 

 

 

 

 

 

1 + 2x

 

 

 

 

 

 

3

!

7)

y = ln p

 

 

 

 

e5 ; x

4

;

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

9)

y =

 

1 + ctg

43x!p

x

 

 

 

 

 

11) 8 x = ctg 2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< y = sin 2t + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

13)

tg

y ; ln(x ; 6y) =

x

 

 

2)

y =

 

 

 

 

3x ;

1

 

 

 

 

+ arctg

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

3x2

; 2x + 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

cos

2

 

 

 

 

; ln sin 3x

4)

y = px2

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

6)

y = p1

 

 

 

x

 

 

 

cos4(px)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

; x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

y = px3

; x qsin

 

x px

 

 

 

 

 

arcsinx

!

1

;

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10) y =

p1

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 x

 

 

 

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12)

>

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< y = p3t

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

+ p

 

 

 

= p

 

 

 

 

14)

 

 

 

 

 

x

 

+ 1

 

cos 7x

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

nAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ y00

FUNKCII

 

 

 

 

 

 

1) y =

1

 

 

 

 

 

2) 8 x = t3

; 4t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p4x

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

< y = pt

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

wY^ISLITX ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE

 

1)

y = ex

; e;x

xo = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

8 x

=

t + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

;

 

 

 

 

2)

>

 

 

 

 

 

 

to =

1

 

 

 

 

< y =

t

;

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. nAJTI PERWYJ dy I WTOROJ d2y DIFFERENCIALY FUNKCII

 

1) y = x cos2 x

 

 

 

 

2) y = p

 

 

 

 

 

 

 

x + +3x2

5

dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ

 

y = 5e;2x + ex UDOWLETWORQET URAWNE-

NI@ y0 + 2y = ex

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

zadanie

N 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wARIANT 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCII

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) y = x3 (x + 2)2

 

 

2) y = x e;x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

; 8)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

y = q(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. sOSTAWITX URAWNENIQ WSEH ASIMPTOT SLEDU@]IH KRIWYH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x + 2)2

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) y = (x ; 1)2

 

 

2) y = x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) y = x ln e + x2 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. pROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE I POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

y = x p1 ; x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x ; 2)(x2 ; 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) y = ln

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ; 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNK-

 

CII W TO^KE S ABSCISSOJ

x = xo,

ILI SOOTWETSTWU@]EJ ZNA^ENI@

 

PARAMETRA

t = to

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) y =

1

 

 

 

 

 

 

x0 = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) 8 x = 1 ; t32

 

 

 

t0 = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< y

= t ; t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. iZ TREH DOSOK ODINAKOWOJ [IRINY SKOLA^IWAETSQ VELOB. pRI KA-

 

KOM UGLE NAKLONA BOKOWYH STENOK PLO]ADX POPERE^NOGO SE^ENIQ VE-

 

LOBA BUDET NAIBOLX[EJ ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

10x

W INTERWALE

[0 3]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ, NAJTI PREDELY

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

lim

sin(x

;

=3)

2)

lim (ln ctg x)tg x

3)

lim

0

 

2

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

 

 

 

x! =3

1 ; cos x

 

x!+0

 

 

 

 

 

 

x!0

@sin x ; ln(e

 

; x)A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
36g

zadanie N 8

 

 

fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH

 

wARIANT 19

1. nAJTI I IZOBRAZITX OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = ln(4 ; x2 ; y2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

2)

 

 

z =

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ; y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0 I z0 FUNKCIJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = arccos2 x ; y

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

2)

z =

 

 

ln(xy

;

 

yx)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

z = y2 sin 1

+

 

1

tg3 y

 

 

4)

z =

 

5x2

; y

 

 

ln(3y2

;

y + 1)

 

(2x)ln y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctg x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

3. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE zx0 I zy0 SLOVNOJ FUNKCII

 

 

 

 

 

 

 

 

z = ln p2u ; v3

 

 

 

u = 2p

 

v = y2 x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GDE

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. nAJTI PROIZWODNU@

 

 

 

zt0 ,

ESLI

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = q1 + sin(y + ln x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GDE

x = 64t

 

y = p5t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. nAJTI PROIZWODNYE

@z

I

 

 

d z ,

 

ESLI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

 

 

 

d x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

GDE y = tg5 2x ; x2

 

; 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z =

xy

;

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. nAJTI PROIZWODNU@ y0 NEQWNOJ FUNKCII y(x), ZADANNOJ WYRAVE-

NIEM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1) y = 2x ; y + (x ; y)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

2)

q3x2 ; y2 +

 

= 5 cos 6x

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

x + y

xy

 

 

7. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE z0 I z0 NEQWNOJ FUNKCII z(x y),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZADANNOJ WYRAVENIEM

 

 

 

 

 

zy ; z3 + sin

= ez3 ; x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yz

 

 

 

 

 

 

 

 

8. nAJTI PERWYJ dz I WTOROJ d2z DIFFERENCIALY FUNKCII z = ln(3x2 ; y3)

9. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K POWERH-

NOSTI

z = 3x

2

+ 10xy + 3y

2

; 12x ; 12y + 7

W TO^KE

M0(;1 2 zo)

 

 

10. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCI@

z = x2 ; y3 ; 3x + 6y

11. nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII z = x2 + y2 W ZAMKNUTOJ OBLASTI D : f9x2 + 4y2

17

zadanie N 10

wARIANT 19

oPREDELENNYJ INTEGRAL

1. wY^ISLITX OPREDEL<NNYE INTEGRALY

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=4 sin x dx

 

 

 

 

 

 

1=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(x2 + 3x) dx

 

 

1)

 

 

Z

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

Z

arccos 2x dx

3)

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x + 1)(x2 + 1)

 

 

 

 

 

 

1 + cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;1=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=2

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

Z

 

 

 

x p

 

 

 

 

 

 

 

6)

Z

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + sin x + cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

;

1

 

 

x2 + 4x

;

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2=p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. nAJTI SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCIJ W UKAZANNYH INTERWALAH

 

 

 

 

 

 

1)

y =

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

[1 1:5]

 

 

 

2)

 

 

y =

 

 

 

ex

 

 

 

 

[1

2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x

; 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. oCENITX ZNA^ENIQ INTEGRALOW

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Z

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Z x2 e1=x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

+ 1 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1=4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX NESOBSTWENNYE INTEGRALY

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x3 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Z

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Z

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 + 7

 

 

 

 

 

 

 

x2

;

6x+9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3 + sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

0 3

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

Z

 

 

 

p5

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

4)

 

Z

 

p

 

(1

 

 

cos 5x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. nAJTI PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNNOJ LINIQMI:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2

; x2

 

 

 

 

x = 2 cos t

 

; cos 2t

 

 

 

 

= 3 sin '

 

 

 

 

1)

 

 

y = 1

; x

 

 

 

2)

 

y = 2 sin t

; sin 2t

3)

 

 

= 5 sin ':

 

 

 

.

 

 

x

= 0

 

 

 

 

y = 0:

 

0

t

2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

nAJTI OB_<M TELA

 

OBRAZOWANNOGO WRA]ENIEM FIGURY

 

 

OGRANI^EN

 

 

NOJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UKAZANNYMI LINIQMI: 1) { WOKRUG OSI OX,

 

 

 

2) { WOKRUG OSI OY:

 

 

 

 

 

 

1)

 

x2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2) 2y = x

2

 

+ 4x + 4 y = 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

16 + y

 

 

 

= 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. wY^ISLITX DLINY DUG KRIWYH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) L :

 

 

 

y2 = (x + 1)3

 

 

 

2) L :

 

 

 

 

= 4 '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

1 x 6:

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ' 3=4:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. dEREWQNNYJ CILINDRI^ESKIJ ^URBAN S RADIUSOM OSNOWANIQ 0,3 M I

WYSOTOJ 0,5 M PLAWAET W WODE W WERTIKALXNOM POLOVENII. nAJTI RA- BOTU, KOTORU@ NEOBHODIMO ZATRATITX, ^TOBY IZWLE^X ^URBAN IZ WODY (PLOTNOSTX DREWESINY = 900 KG=M3):

18

zadanie N 11

 

 

 

wARIANT 19

 

 

 

 

 

 

 

 

kRATNYE INTEGRALY

 

 

 

 

 

 

 

 

1. w DWOJNOM INTEGRALE Z Z f(x y) dx dy

PEREJTI K POWTORNOMU I

 

 

 

 

 

 

 

 

(D)

 

 

RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI (D), OGRANI^ENNOJ

LINIQMI:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) x ;

2y + 5 = 0 4x

; y + 6 = 0 2x + 3y ; 18 = 0 x ; 2y ; 2 = 0:

2) y = p

4x

 

x2

y = 2p

 

x = 0 x = 4:

;

x

2. iZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ W INTEGRALE

 

 

 

p9+y2

 

 

 

 

 

 

J = Z4 dy

Z

 

 

f(x y) dx:

 

 

0

 

 

(5y)=4

 

 

 

 

 

 

3. pEREJTI K POLQRNYM KOORDINATAM I WY^ISLITX

Z Z

p

 

y

 

 

 

dx dy

 

D : f1 x2 + y2

9 x 0 y 0g:

 

 

 

x2 + y2

 

(D)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. wY^ISLITX PLO]ADX FIGURY, OGRANI^ENNOJ LINIQMI

1) x2 + y2 = 5 y = 2x2 (y > 0):

2)(x2 + y2)3=2 = y2:

5.wY^ISLITX MASSU PLASTINKI, ZANIMA@]EJ OBLASTX (D), PRI ZA- DANNOJ

POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTI (x y)

1)

D :

fy = ex x = 0 y = 2g (x y) = ex+y:

2)

D :

f2x x2 + y2 6xg (x y) = y x:

6. zAPISATX TROJNOJ INTEGRAL Z Z Z f(x y z) dx dy dz

(V )

W WIDE POWTORNOGO I RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI

(V),

OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTQMI:

1) x = 5 y = x=5 z = x2 + 5y2 y 0 z 0: 2) x2 + y2 = 4y x2 + y2 = y z = px2 + y2:

7. wY^ISLITX OB_EM TELA, OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI:

 

y = p

 

 

 

y = p

 

(y > 0):

1)

9

; x2

; z2

x2 + z2

2)

x2 + y2

= 4 y + z = 2 z

 

0:

 

 

 

 

 

19

 

 

 

8. wY^ISLITX MASSU TELA, ZANIMA@]EGO OBLASTX

 

 

x

 

 

V : f2(x2

+ y2) z 4 0 y p

 

 

g

 

3

 

ESLI ZADANA OB_EMNAQ PLOTNOSTX (x y z) = p

x z

 

:

 

x2 + y2

20

zadanie N 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wARIANT 19

 

kRIWOLINEJNYJ I POWERHNOSTNYJ INTEGRALY

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

x q

 

 

dl

 

1.

wY^ISLITX KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL

x2 ; y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(L)

 

 

 

 

 

 

 

 

GDE L ; ^ASTX LINII y = 4;2x OT TO^KI A(1 2) DO TO^KI B(2 0).

2.

nAJTI MASSU U^ASTKA SPIRALI aRHIMEDA

= 2'

 

 

ZAKL@^EN-

NOGO WNUTRI KRUGA RADIUSA

2p15

S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT,

ESLI LINEJNAQ PLOTNOSTX

(x y) = q

x2 + y2

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

p

 

(2z ;q

 

)dl

 

 

 

3.

wY^ISLITX INTEGRAL

2 + z2

x2 + y2

 

GDE

L : DU-

 

 

 

 

(L)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GA KRIWOJ fx = t cos t

y = t sin t z = tg

t 2 [0 2 ]:

 

4.

nAJTI PLO]ADX POWERHNOSTI SFERY

x2 + y2 + z2 = 3

ZAKL@^EN-

NOJ WNUTRI PARABOLOIDA

x2 + y2 = 2z:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

nAJTI MASSU ^ASTI PLOSKOSTI

x + y + z = 1

x

0

y 0

z 0 ESLI POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX

(x y z) = x y:

 

 

6.

wY^ISLITX

ZZ

d

 

 

 

GDE (S); ^ASTX POWERHNOSTI

 

 

 

 

x2 + z2

 

 

 

 

(S)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + z2 = 1

OBREZANNAQ PLOSKOSTQMI y

= 0

 

y = 2

(W PERWOM

OKTANTE).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

wY^ISLITX

Z x2 dx + (1=y2) dy

GDE L

; DUGA KRIWOJ (x y) =

 

 

(L)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

OT TO^KI A(1 1) DO TO^KI B(4 1=4):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

dOKAZATX, ^TO WYRAVENIE

(2x + y exy) dx+(1 + exy) dy

QWLQET-

SQ POLNYM DIFFERENCIALOM FUNKCII U(x y) I NAJTI \TU FUNKCI@.

9. wY^ISLITX

ZZ (x2 + y2) dxdy

GDE (S); WNUTRENNQQ STORONA

 

(S)

 

 

^ASTI POWERHNOSTI

z = 16 ; x2 ; y2

OTSE^ENNOJ PLOSKOSTX@ z = 0:

10. wY^ISLITX

ZZ

xy dydz;x2dxdz+3 dxdy GDE (S); WNE[NQQ STO-

 

(S)

 

 

RONA POWERHNOSTI x2 +y2 = z2 OTSE^ENNAQ PLOSKOSTX@ z = 1 (z 0):

21

zadanie N 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wARIANT 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sKALQRNOE I WEKTORNOE POLE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ

 

 

~

 

 

 

 

 

2

 

~

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x y) = y

 

i + x y

j WDOLX DUGI

\LLIPSA

L :

 

x = a cos t

 

y = b sin t

 

0 t =2:

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

~

 

 

 

~

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ F = 7z

i ; x j + y z k WDOLX

 

DUGI KRIWOJ

 

L : x = 6 cos t

 

y = 6 sin t

z = 1=3

 

t 2 [0

=4]:

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nAJTI POTOK WEKTORNOGO POLQ A ^EREZ POWERHNOSTX S W STORONU

WNE[NEJ NORMALI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

~

 

 

 

y

 

(1

;

2z)g

 

 

 

GDE

S;

^ASTX PLOSKOSTI

 

 

 

 

 

A = f0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x + 4y + 12z = 12

 

WYREZANNOJ KOORDINATNYMI PLOSKOSTQMI.

 

 

~

 

 

 

 

 

 

~

+(sin z

 

 

3y)

~

 

 

 

 

 

 

 

 

~

GDE S

 

 

POLNAQ

 

2) A = (sin z+2x)

i

;

 

j +(sin y+2z)

k

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

POWERHNOSTX USE^ENNOGO KONUSA

 

x + z

 

= y

y = 3 y = 6:

 

 

~

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

GDE S;

 

POLNAQ

 

3) A = (2y ;3z)

i + (3x + 2z)

j + (x + y + z) k

 

POWERHNOSTX TELA, OGRANI^ENNOGO POWERHNOSTQMI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y2 = 1 z = 4 ; x ; y z = 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nAJTI MODULX CIRKULQCII WEKTORNOGO POLQ A WDOLX KONTURA L

 

1)

~

 

 

x

(1

; cos y)

 

x

(sin y ; y)g

 

L ;

 

WDOLX ZAMKNUTOJ

 

A = fe

 

e

 

 

 

LINII

y = sin x

 

y = 0

 

(0

x

):

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2)

~

 

 

~

 

x

 

~

+ z

2

 

~

 

 

 

L

 

 

8

z

= 3(x

 

+ y

 

) + 1

 

 

 

 

 

A = y

 

i

;

 

j

 

 

k

 

 

 

;

 

= 4:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

~

 

 

 

 

 

3x

 

 

2

 

 

 

2

o PO-

 

pROWERITX, BUDET LI WEKTORNOE POLE

 

A = ne

 

 

y z

 

z y

TENCIALXNYM. w SLU^AE POLOVITELXNOGO OTWETA NAJTI POTENCIAL.

6. pOSTROITX POWERHNOSTI UROWNQ SKALQRNOGO POLQ

 

 

 

 

 

 

 

 

U(x y z) = z ; py + 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. nAJTI PROIZWODNU@ SKALQRNOGO POLQ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U(x

y z) = sin(x + 2y) + p

 

W TO^KE M0( =2 3 =2

3) W

 

x y z

NAPRAWLENII WEKTORA

 

 

 

 

~

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l = 4 i + 3 j:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. nAJTI WELI^INU I NAPRAWLENIE WEKTORA NAIBOLX[EJ SKOROSTI IZ-

MENENIQ TEMPERATURNOGO POLQ

T(x y z) = sin(x + 2y) + pxyz

W TO^KAH M1( =2 3 =2 3)

I M2(0 =4 1)

22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности