XP, тем меньше итераций необходимо для его получения. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью, которая не должна превышать заданной погрешности вычислений E, т. е. итерации заканчиваются при выполнении условия

где Ea – заданная абсолютная погрешность; Eо – заданная относительная погрешность.

Алгоритмы решения СЛАУ итерационными методами обычно более сложные по сравнению с прямыми методами. Объем вычислений заранее определить трудно, т. к. он зависит от степени близости начального приближения X0 к «точному» значению XP, от величины Ea или Eо, от скорости (условий) сходимости используемого алгоритма (чем меньше конечное значение S при выполнении условий (8.7) или (8.8), тем скорость больше).

Преимущества данных методов по сравнению с прямыми заключаются в следующем:

1.В ряде случаев удается хранить в памяти ЭВМ не всю матрицу системы, а лишь несколько векторов (см. матрицы Т, К, Д).

2.Погрешности итерационных методов ограничены, (не увеличиваются), т. к. точность вычислений на итерации S определяется результатами предыдущей итерации S – 1 и практически не зависит от результатов на итерациях S – 2, S – 3, ... Это является достоинством итерационных методов, особенно полезным в случае большого числа уравнений, плохо обусловленных СЛАУ (когда малые погрешности вычислений или исходных данных приводят к большим погрешностям в решении).

Для реализации итерационного метода исходную СЛАУ (8.1) обычно приводят к виду :

…………………………………….

xn = (bn – an1x1 – an2x2 –...– an(n-1)xn-1)/ann .

8.5. Метод Зейделя

Этот метод является итерационным. На каждой итерации уточняются значения переменных. Система сходится, если на главной диагонали матрицы коэффициентов расположены максимальные элементы. В противном случае необходимо провести эквивалентные преобразования (перестановка строк и др.).

Систему (8.9) приведём к виду

69