ИДЗ1
.pdfВАРИАНТ 6
1. Вычислить определители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
6 |
2 |
|
|||
а) |
2 − 4 |
− 3 |
, |
|
|
|
б) |
. |
|||||
|
|
|
8 5 |
12 4 |
|||||||||
|
1 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
− 1 |
4 |
7 |
|
|
2 0 1 |
||||
2. Даны матрицы A = |
0 |
2 |
8 |
и B = |
− 1 1 4 . |
||||||||
|
|
|
|
|
1 − 2 |
− 1 |
|
|
− 3 1 |
0 |
Найти: а) матрицу − 5A + 3B , |
|
|
|
|
|
|
||||
б) матрицу |
AB − BA , |
|
|
|
|
|
||||
в) матрицу A −1 . |
Сделать проверку. |
|
||||||||
3. Решить матричные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
2 |
−1 2 |
|
5 |
8 |
− 4 |
11 − 22 |
|||
б) |
|
6 9 |
|
|
0 − 33 |
|||||
а) X |
|
= |
, |
|
− 6 |
X = |
||||
−2 |
−1 |
−1 1 |
|
|
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
13 −17 |
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
4. Найти f (A) , если f ( x) = 2 x 2 |
− 3x + 5 |
|
3 |
1 |
2 |
|
, A = |
. |
|||||
|
|
|
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
5. |
Перемножить матрицы: |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 3 1 0 |
0 |
3 0 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
− 1 0 |
0 |
|
||
|
C = 1 |
0 |
1 |
0 |
0 , |
D = 2 0 |
0 . |
|||||
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
|
|
0 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
− 1 |
|
0 |
1 |
4 |
|
|
6. |
Решить систему методом Крамера и матричным методом: |
|
|
x |
− |
x |
|
+ 3x |
|
= |
0, |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
2x1 − 2 x2 − x3 |
= − 7, |
|||||||
|
|
− |
2 x2 |
+ 5x3 |
= |
0; |
||
3x1 |
29
27 .
26
11
7. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
x1 − 2 x2 |
+ 3x3 |
− 5x 4 |
= 2, |
||||
2x + x |
2 |
+ 4 x |
3 |
+ x |
4 |
= − 3, |
|
|
1 |
|
|
|
|||
а) 3x − 3x |
|
+ 8x |
|
− 2 x |
|
= − 1, |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
2x1 − 2 x2 |
+ 5x3 |
− 12 x 4 |
= 4; |
2 x1 − 2 x2 |
+ x3 |
− x4 |
+ x5 |
= 1, |
|||||
x + 2 x |
2 |
− x |
3 |
+ x |
4 |
− 2x |
5 |
= 1, |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
б) 4 x − 10 x |
|
+ 5x |
|
− 5x |
|
+ 7 x |
|
= 1, |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
2 x1 − 14 x2 |
+ 7 x3 |
− 7 x4 |
+ 11x5 |
= − 1. |
8.Найти общее решение системы линейных однородных уравнений и записать ее фундаментальную систему решений:
|
x1 |
+ x2 − x3 − x4 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + 2x 2 + x3 − x4 − x5 − x6 = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 x + x |
2 |
|
− 3x |
4 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
+ |
3x |
|
|
+ |
2x |
|
− |
x |
|
|
|
|
− |
|
|
3x |
|
= |
0, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + x + 2x − x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x1 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
x4 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x1 |
|
|
|
|
|
|
− 3x3 − x4 + x5 + 4 x6 = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
−1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
− 3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) A = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) A = |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= {1;0;0} , |
|
|
|
2 |
|
= {0;1;0} , |
|
|
|
|
|
3 |
|
= {0;0;1} |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
Относительно |
базиса |
|
e |
e |
|
|
e |
|
|
заданы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
3 , |
|
|
: |
|||||||
|
|
векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= {2;1;3} , |
|
|
2 = {1;−4;−6} , |
|
|
|
3 = {1;−2;2} , |
|
|
|
= {−8;5;45} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
1 |
|
a |
a |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) доказать, что векторы |
|
1 , |
|
|
|
2 , |
|
|
3 образуют базис пространства |
|
|
|
R 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
б) записать матрицу A перехода от базиса |
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
e |
e |
3 |
к базису |
a |
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
матрицу B перехода от базиса |
|
|
1 , |
|
2 , |
|
|
к базису |
|
1 , |
|
|
|
2 , |
|
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
3 |
e |
|
|
e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) найти координаты вектора |
x |
|
в базисе |
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
базисах |
|
|
e |
e |
e |
3 |
|
и |
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Вычислить определители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
− 1 |
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
− 1 |
|
6 |
|
|
|||||
а) |
|
2 |
− 4 − 3 |
, |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 5 − 13 12 |
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
5 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
− 2 |
|
6 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
4 |
|
5 |
11 |
|
|
|
|
|
|||||
2. Даны матрицы |
|
A = |
3 |
1 |
2 |
и B = |
7 |
|
12 |
20 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 3 |
|
6 |
|
7 16 |
|
|
|
|
|
||||||
Найти: а) матрицу |
|
4A − B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
б) матрицу |
AB − BA , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
в) матрицу A −1 . |
Сделать проверку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. Решить матричные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
3 |
|
|
|
|
9 − 5 |
|
|
2 |
1 |
1 |
7 |
|
|
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 1 0 |
|
|
9 4 |
|||||||||||||||||
а) |
|
|
|
X = |
|
|
|
, |
б) X |
|
= |
||||||||||||||||
|
3 |
− 1 |
|
|
|
|
10 6 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
||||
4. Найти |
f (A) , |
|
если |
|
f ( x) = x 2 |
+ x − 1, |
|
A |
|
3 |
|
1 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
= |
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 1 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. Перемножить матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C = |
1 0 0 0 , |
|
|
|
|
D = |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. Решить систему методом Крамера и матричным методом: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3x |
+ 2x |
|
+ |
|
x |
|
= 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x1 + 3x2 + x3 = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
+ |
x2 + 3x3 |
= 11; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
3 .
4
13
7. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
x1 |
− x 2 |
+ 3 x 3 |
− 2 x 4 |
= 4, |
x1 + 2 x2 |
− 3x3 |
+ 4 x4 |
= 7, |
|
||||||||||
4 x |
|
− 2 x |
|
+ 5 x |
|
+ x |
|
= 7, |
2 x + 5x |
|
+ x |
|
− 2 x |
|
= 5, |
|
|||
а) |
2 x |
1 |
− x |
2 |
+ x |
3 |
+ 8 x |
4 |
= 2, |
б) |
1 |
− 7 x |
2 |
+ 4 x |
3 |
+ 5x |
4 |
= − 11, |
. |
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
||
|
5 x1 |
− 3 x 2 |
+ 8 x 3 |
− x 4 |
= 11; |
7 x1 |
+ 2 x2 |
− x3 |
+ 11x4 |
= 6. |
|
8.Найти общее решение системы линейных однородных уравнений и записать ее фундаментальную систему решений:
|
x1 |
− x2 − 2 x3 − x4 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 x + x |
|
+ x |
|
+ x |
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
+ x |
|
|
|
− |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x3 |
− 7 x4 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x1 + x 2 + x3 − x 4 − 2x5 − 3x6 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x + x |
|
− x |
|
+ x |
|
+ 2x |
|
+ x |
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
|
1 |
|
2 |
+ x |
3 |
+ x |
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
6 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x − x |
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 − x 2 − x3 − x 4 |
|
|
|
|
− x6 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
||||||||
а) A |
|
|
|
− 19 10 |
|
, |
|
|
|
|
б) A = |
|
|
. |
|||||||||||||
= 10 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 24 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|||||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = {1;0;0} , |
|
|
|
2 = {0;1;0} , |
|
|
|
|
3 = {0;0;1} заданы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Относительно базиса |
e |
e |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
3 , |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
векторы |
a |
a |
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 = {2;1;6} , |
|
2 = {−4;0;1} , |
|
|
3 = {5;−3;1} , |
|
|
|
|
= {21;−18;30} . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
a |
a |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) доказать, что векторы |
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
3 образуют базис пространства R3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) записать матрицу A перехода от базиса |
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
|
|
к базису |
|
1 , |
|
2 , |
|
3 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
e |
e |
3 |
a |
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрицу B перехода от базиса |
|
1 , |
|
2 , |
|
|
|
к базису |
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
a |
3 |
|
e |
e |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) найти координаты вектора |
x |
в базисе |
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в базисах e1 , e 2 , e 3 и a1 , a2 , a3 .
14
ВАРИАНТ 8
1. Вычислить определители:
|
1 |
1 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
2 − 1 |
1 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
− 1 |
|
||||
а) |
8 |
3 |
− 6 |
, |
|
|
|
б) |
|
. |
|||||
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
3 |
||||||||
|
4 |
1 |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
2 |
− 1 |
3 |
0 5 |
|
|
|||||
2. Даны матрицы A = |
5 |
3 |
− 2 |
и B = |
5 |
0 |
7 . |
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
2 |
− 1 |
|
6 |
1 |
4 |
|
|
Найти: а) матрицу |
A − 4B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
б) матрицу AB − BA , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
в) матрицу A −1 . |
Сделать проверку. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. Решить матричные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 2 |
|
3 0 |
|
2 5 6 |
1 |
5 − 5 |
|
|
||||||||||||
|
|
1 2 5 |
|
|
3 10 |
0 |
|
|
|
|||||||||||
а) |
|
|
X = |
, |
б) X |
|
= |
. |
|
|
||||||||||
|
3 4 |
|
|
7 2 |
|
1 3 2 |
|
|
2 9 |
− 7 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
− 1 |
|
|
||
4. Найти |
f (A) , если |
f ( x) = 3x 2 − 4x − 2 , |
A |
|
2 |
1 |
|
|
|
|||||||||||
= |
0 . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
5. Перемножить матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
− 1 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||
C = |
|
2 |
, |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
D = |
|
|
2 , |
|
K = |
|
. |
||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. Решить систему методом Крамера и матричным методом: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
+ x |
|
+ 2 x |
|
= − 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x1 − x2 + 2 x3 = − 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ x2 + 4 x3 = − 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
7. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
|
x2 − |
x3 |
+ 3x4 = 1, |
x1 |
+ 2 x 2 |
+ 3 x3 |
+ 4 x 4 |
= 7, |
||||||||||
2x − 4x |
|
+ 3x |
|
+ x |
|
= 0, |
2 x |
|
+ x |
|
+ 2 x |
|
+ 3x |
|
= 6, |
|||
а) |
1 |
2 |
+ x |
3 |
− 4 x |
4 |
= 2, |
б) |
3 x |
1 |
+ 2 x |
2 |
+ x |
3 |
+ 2 x |
4 |
= 7, |
|
|
x − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
||
4x1 − 7 x2 |
+ 4 x3 |
− 4 x4 |
= 5; |
4 x1 |
+ 3 x 2 |
+ 2 x3 |
+ x 4 |
= 18. |
8.Найти общее решение системы линейных однородных уравнений и записать ее фундаментальную систему решений:
|
x1 |
− x 2 |
+ x3 |
− x 4 |
|
|
= 0, |
||||||
|
x + x |
|
|
+ 2 x |
|
+ 3x |
|
|
= 0, |
||||
а) |
|
1 |
|
2 |
+ 5 x |
3 |
|
|
4 |
|
= 0, |
||
|
|
2 x + 4 x |
|
|
+ 10 x |
|
|
||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
||
|
2 x1 − 4 x 2 + x3 |
− 6 x 4 = 0; |
|||||||||||
|
3x1 + x2 |
|
+ x3 |
|
+ 4 x4 |
|
|
= 0, |
|||||
б) |
|
|
4 x2 + 10 x3 + x4 |
|
|
= 0, |
|||||||
|
x + 7 x |
|
|
+ 17 x |
|
+ 3x |
|
|
|
= 0, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
||
|
2 x1 + 2 x2 + 4 x3 |
+ 3x4 = 0. |
9. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) A |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) A = − 4 − 1 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
− 8 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= {1;0;0} , |
|
|
|
|
2 |
= {0;1;0} , |
|
|
|
|
|
3 |
|
= {0;0;1} заданы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Относительно |
|
базиса |
e |
e |
e |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
3 , |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
векторы |
a |
a |
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 = {2;1;2} , |
|
2 = {−1;1;−1}, |
|
|
3 = {1;−1;3} , |
|
|
= {4;2;6} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
a |
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
|
|
2 , |
|
|
3 образуют базис пространства R3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) доказать, что векторы |
|
|
a |
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) записать матрицу A перехода от базиса |
|
|
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
|
|
к базису |
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
e |
e |
3 |
a |
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
матрицу B перехода от базиса |
|
|
1 , |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
a |
a |
3 |
|
к базису |
|
e |
e |
e |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) найти координаты вектора |
x |
|
в базисе |
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
базисах |
|
e |
e |
e |
3 |
и |
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
ВАРИАНТ 9
1. Вычислить определители:
|
1 |
− 4 |
− 2 |
|
1 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
0 |
0 |
8 |
|
||||
а) |
3 |
1 1 |
, б) |
. |
||||||
3 0 |
0 |
2 |
||||||||
|
3 |
− 5 |
− 6 |
|
4 |
4 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
0 1 |
|
|
0 |
|
2 3 |
|||||||
2. Даны матрицы |
A = |
− 1 |
3 4 |
и |
B = |
− 1 |
− 4 |
4 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 − 1 − 2 |
|
|
|
3 − 4 2 |
||||||||
Найти: а) матрицу |
− A + 2B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
б) матрицу |
AB − BA , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
в) матрицу A −1 . |
Сделать проверку. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. Решить матричные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 5 |
4 |
− 6 |
|
2 |
1 |
1 |
|
8 |
2 |
||||||||
|
|
3 |
1 2 |
|
|
11 2 |
|||||||||||
а) |
X |
= |
|
|
, |
б) X |
|
= |
|||||||||
1 3 |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
− 1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 2 |
|
3 |
|||
4. Найти |
f (A) , если |
f ( x) = x 2 + 2x − 5 , |
|
|
2 |
− 4 |
|
1 |
|
||||||||
A = |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− 5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Перемножить матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 0 2 3 0 |
|
0 |
|
|
|
|
6 0 |
0 |
|
|
|||||||
|
4 1 5 3 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
0 |
|
|
|
||||||
C = 3 1 − 1 2 0 |
|
0 , |
|
|
|
D = |
7 |
0 |
0 . |
|
|||||||
|
0 |
0 0 |
0 3 |
− 2 |
|
|
|
|
4 |
0 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 0 0 0 5 |
− 4 |
|
|
|
|
0 |
3 |
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
6. Решить систему методом Крамера и матричным методом:
4
5 .
− 1
3x |
− 2 x |
|
+ x |
|
= 2, |
||
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
2x1 + |
x2 |
+ 2x3 |
= 5, |
||||
|
|
− |
x2 |
− 2x3 |
= 0; |
||
3x1 |
17
7. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
x1 − 2x 2 + |
x3 + |
x 4 |
= 1, |
x1 + 2 x2 |
− 3x3 |
+ 5x 4 |
= 1, |
||||||||||
2 x + x |
2 |
− |
x |
3 |
− |
x |
4 |
= − 1, |
x + 3x |
2 |
− 13x |
3 |
+ 22x |
4 |
= − 1, |
||
а) |
1 |
|
|
|
|
= − 5, б) |
|
1 |
|
|
|
||||||
x + 7 x |
|
− 5x |
|
− 5x |
|
3x + 5x |
|
+ x |
|
− 2x |
|
= 5, |
|||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
3x1 − x 2 |
− 2 x3 |
+ |
x 4 |
= 1; |
2x1 + 3x2 |
+ 4 x3 |
− 7 x 4 |
= 4. |
8.Найти общее решение системы линейных однородных уравнений и записать ее фундаментальную систему решений:
25x |
+ 31x |
|
+ 17x |
|
+ |
43x |
|
= 0, |
||||
|
1 |
+ |
|
2 |
+ |
|
3 |
+ |
|
4 |
= |
0, |
75x1 |
|
94x2 |
|
53x3 |
|
132x4 |
|
|||||
а) 75x1 |
+ |
94x2 |
+ 54x3 |
+ 134x4 |
= 0, |
|||||||
25x1 |
|
32x |
2 |
|
20x3 |
|
43x4 |
|
0, |
|||
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
= |
|
50x1 + 63x2 |
+ 36x3 + 89x4 |
= 0; |
|
|
x1 + 2 x 2 + x3 + 3x 4 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 x − x |
|
|
|
− 5 x |
|
|
− 6 x |
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
б) |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
− 4 x |
3 |
|
− 7 x |
4 |
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x − 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x1 + x 2 − x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
− 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 − 7 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) A = |
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) A = |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
− 7 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = {1;0;0} , |
|
|
|
2 |
= {0;1;0} , |
|
|
|
|
|
3 = {0;0;1} заданы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Относительно |
|
|
базиса |
|
|
e |
e |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
|
3 , |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
векторы |
a |
a |
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= {1;2;1} , |
|
|
|
2 = {−2;1;−3} , |
|
|
|
3 = {1;−1;2} , |
|
|
= {7;−2;11} . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
1 |
|
a |
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) доказать, что векторы |
|
1 , |
|
|
|
|
2 , |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
a |
образуют базис пространства |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) записать матрицу A перехода от базиса |
|
|
1 , |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
e |
e |
3 |
|
|
к базису |
|
a |
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
B перехода от базиса |
|
1 , |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и матрицу |
a |
a |
a |
3 |
к базису |
e |
e |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) найти координаты вектора |
x |
|
в базисе |
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 , |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
базисах |
e |
e |
e |
3 |
|
и |
|
|
a |
1 , |
a |
2 , |
a |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
ВАРИАНТ 10
1. Вычислить определители:
|
2 |
3 |
4 |
|
|
1 |
0 |
0 |
− 1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
4 |
7 |
|
||||
а) |
4 |
0 |
11 |
, |
б) |
. |
|||||
− 3 |
4 |
5 |
9 |
||||||||
|
7 |
− 5 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
− 4 |
− 5 |
6 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 − 1 |
|
|
8 |
6 |
5 |
|
|
|
|||||
2. Даны матрицы |
A = |
2 1 |
3 и |
B = |
|
1 |
2 |
− 5 . |
|
|
|
||||
|
|
|
1 1 0 |
|
|
|
2 2 |
1 |
|
|
|
||||
Найти: а) матрицу 5A − 2B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
б) матрицу |
AB − BA , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в) матрицу |
A −1 . |
Сделать проверку. |
|
|
|
|
|
|||||||
3. Решить матричные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 −1 |
−1 2 |
|
3 |
|
2 |
5 |
11 |
− 22 |
|||||||
б) X |
|
4 |
|
|
|
|
|
9 − 27 |
|||||||
а) |
X = |
, |
|
− 1 3 |
= |
||||||||||
5 |
2 |
4 3 |
|
|
9 |
|
6 |
|
|
|
− 17 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
13 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 1 |
3 |
|
|
4. Найти |
f (A) , если f ( x) = x 2 − 3x + 7 |
, |
A |
|
4 |
3 |
2 |
|
|
||||||
= |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. Перемножить матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 − 3 2 0 |
0 |
|
|
|
|
2 5 6 0 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − 4 1 0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 2 5 0 |
0 |
|
|||||
C = 2 − 5 3 0 |
0 , |
|
|
D = 1 3 2 0 |
0 . |
||||||||||
|
0 0 0 2 − 3 |
|
|
|
|
|
0 0 0 9 − 6 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 4 |
− 6 |
|
|
|
|
|
0 0 0 6 |
− 4 |
|
|||||
6. Решить систему методом Крамера и матричным методом: |
|
|
|
2x |
+ 5x |
|
− 8x |
|
= 8, |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4x1 + 3x2 |
− 9x3 |
= 9, |
||||
|
|
+ 8x2 |
− 7 x3 |
= 12; |
||
x1 |
19
29
32 .
26
7. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
x1 + 2 x2 |
+ x3 |
|
|
|
= 8, |
2x1 − x 2 |
+ x3 |
+ 2 x4 |
+ 3x5 = 2, |
||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
+ 3x |
3 |
+ |
x |
4 |
= 15, |
6x |
− 3x |
2 |
+ 2x |
3 |
+ 4 x |
4 |
+ 5x |
5 |
= 3, |
|
а) 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
+ |
x |
|
+ |
x |
|
= 11, |
б) 6x |
− 3x |
|
+ 4x |
|
+ 8x |
|
+ 13x |
|
= 9, |
||||
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
x1 |
+ |
x2 |
+ |
|
5x 4 |
= 23; |
4x1 |
− 2x 2 |
+ x3 |
+ x4 |
+ 2x5 |
= 1. |
8.Найти общее решение системы линейных однородных уравнений и записать ее фундаментальную систему решений:
|
x1 − 2 x2 + x3 + x 4 − x5 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x + x |
2 |
− x |
3 |
− x |
4 |
+ x |
5 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x + |
7 x |
|
|
|
− 5x |
|
− 5x |
|
+ 5x |
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3x1 − x2 − 2 x3 + x 4 − x5 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 − x3 + 3x 4 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 x − 4x |
|
|
|
+ 3x |
|
+ x |
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
б) |
1 |
|
|
2 |
+ x |
3 |
− 4 x |
4 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 x1 − 7 x 2 + 4 x3 − 4 x 4 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
9. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
7 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 1 |
0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) A = |
1 |
− 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 13 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 1 −1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = {1;0;0} , |
|
|
|
|
2 |
= {0;1;0} , |
|
|
|
3 = {0;0;1} заданы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Относительно |
|
базиса |
|
e |
e |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
3 , |
|
: |
|||||
векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
x |
||||||||||||||
|
|
|
= {1;3;2} , |
|
|
2 = {2;−5;7} , |
|
|
|
|
|
|
|
|
= {1;3;−1} , |
|
|
= {4;1;8} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
1 |
|
a |
|
|
|
a |
3 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) доказать, что векторы |
|
|
1 , |
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
|
3 |
образуют базис пространства R3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) записать матрицу A перехода от базиса |
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
|
к базису |
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
e |
e |
3 |
a |
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B перехода от базиса |
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрицу |
|
a |
a |
a |
3 |
|
к базису |
e |
e |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) найти координаты вектора |
x |
|
в базисе |
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 , |
|
|
|
2 , |
|
|
и |
|
1 , |
|
2 , |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
базисах |
e |
|
|
e |
e |
3 |
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20