2.2. Инвариантные соотношения для напряжений и деформаций при различных напряженных состояниях

При изучении напряженно-деформированного состояния тела используют не сами тензоры, а их инварианты.

С помощью главных нормальных напряжений ₁ >₂ >₃ можно задать различные напряженные состояния, при которых определяют прочность тел:

1. Одноосное сжатие

₁ > 0, ₂ =₃ = 0 и₁ > 0, ₂ = ₃ = – ₁,

где  – коэффициент поперечной деформации.

2. Одноосное растяжение 

₁ = ₂ = 0,₃ < 0  и ₁ =₂ = – ₃.

3. Чистый сдвиг 

₁ = – ₃ =, ₂ = 0  и ₁ = – ₃ =/2, ₂ = 0.

4. Осесимметричное трехосное сжатие (нагружение Кармана) 

₁ > ₂ =₃ > 0  и ₁ > 0, ₂ = ₃ < 0.

5. Радиальное сжатие (нагружение Бёкера) 

₁ = ₂ > ₃ > 0  и ₁ = ₂ > 0, ₃ < 0.

6. Всестороннее равномерное сжатие

₁ = ₂ =₃ = P и ₁ = ₂ = ₃ = _V/3.

7. Сжатие без возможного бокового расширения (компрессия) 

₁ > 0, ₂ =₃ = ₁/(1 – ) и ₁ > 0, ₂ = ₃ = 0.

8. Трехосное неравнокомпонентное сжатие

 

₁  ₂  ₃ > 0  и ₁  ₂   ₃  > 0.

Подставив в выражения (1 – 4) для величин _i, _i, _i, _I , приведенные выше значения главных нормальных напряжений и главных линейных деформаций, получим значения этих обобщенных напряжений, описывающих перечисленные напряженные состояния (табл. 2, 3).

В качестве примера определим значения обобщенных напряжений для чистого сдвига:

1. Второй инвариант тензора-девиатора напряжений

I₂(T_н^д) = [(₁ – ₂)² + (₂ – ₃)² + (₁ – ₃)²] / 6 =

= [(– ₃)² + (–₃)² + (– ₃ – ₃)²] / 6 = ₃² = ².

2. Интенсивность нормальных напряжений

_i = (3^I₂(T_н^д))^0,5 = (3²)^0,5 =3^0,5.

3. Интенсивность касательных напряжений

_i = (I₂(T_н^д))^0,5 = .

4. Среднее нормальное напряжение (гидростатическое сжатие)

_ср = (₁ + ₂ +₃) / 3 = (– ₃ + 0 + ₃) = 0;

5. Второй инвариант тензора-девиатора деформаций

I₂(T_д^д) = [(₁ – ₂)² + (₂ – ₃)² + (₃ – ₁)²] / 6 =

[2₁ ² + ( – 2 ₁)²] / 6 =² / 4,

6. Интенсивность линейных деформаций

_i = 2[ I₂(Т_д^д) ]^0.5 / 3^0,5 = 2 ( ²/4)^0.5 / 3^0.5 =  / 3^0.5,

7. Интенсивность сдвиговых деформаций

_i = 2[ I₂(Т_д^д) ]^0.5 = ,

8.Средняя линейная деформация

_ср = (₁ + ₂ + ₃) / 3 = (–₃ + 0 + ₃)/ 3 = 0.

Таблица 2

Значения обобщенных напряжений

Инвариантная величина	Вид напряженного состояния
	Одноосное сжатие	Нагружение Кармана	Всестороннее сжатие	Нагружение Бёкера
I2(Tнд)	12/3	(1– 3)2/3	0	(1– 3)2/3
i	1	1 – 3	0	1 – 3
i	1/30.5	(1 – 3)/30.5	0	(1 – 3)/30.5
ср	1/3	(1+23)/3	Р	(21+ 3)/3

Таблица 3

Значения обобщенных деформаций

Инвариан тная вели чина	Вид напряженного состояния
	Одноосное сжатие	Нагружение Кармана	Всестороннее сжатие	Нагружение Бёкера
I2(Tдд)	(1 + )212/3	(1 + 3)2/3	0	(1 + 3)2/3
i	2(1 + )1/3	2(1 + 3)/3	0	2(1 + 3)/3
i	2(1 + )1/30.5	2(1 + 3)/30.5	0	2(1 + 3)/30.5
ср	(1 –2)1/3	(1 – 23)/3	V / 3	(21 – 3)/3

При рассмотрении деформирования образцов горных пород, находящихся в различных напряженных состояниях, необходимо обращать внимание на изменение формы образца γ_i, которое вызывается интенсивностью касательных напряжений _i и изменения объёма образцов_v = 3_ср под действием всестороннего давления_ср. Изменения формы и объёма совсем не обязательно должны описываться одинаковыми законами.

Сдвиг является основным видом сопротивления горной породы разрушению при её сложном нагружении, поэтому в дальнейшем мы будем использовать чаще величины _i и _i , чем _i и _I .