§ 2.1. Вводные замечания

Моделирование - один из наиболее распространенных спо­собов изучения различных процессов и явлений. В настоящее время известны и широко используются в научных исследова­ниях и инженерной практике многочисленные методы и приемы моделирования. Обычно различают физическое моделирование и математическое моделирование.

При физическом моделировании модель воспроизводит изу­чаемый процесс (оригинал) с сохранением его физической при­роды. К этому виду моделирования относятся продувка моде­лей самолетов в аэродинамических трубах, оценка свойств гидротехнических сооружений при помощи макетов русловых потоков и т. д. Преимущества физического моделирования перед натурным экспериментом заключаются в том, что условия реа­лизации процесса-модели могут значительно отличаться от ус­ловий, свойственных процессу-оригиналу, и выбираются, исходя из удобства и простоты исследования.

Поскольку при моделировании нет необходимости сохранять размеры сооружений, скорости течения жидкостей и газов, на­грузки на элементы конструкций и т. д., имеется возможность получить существенный выигрыш во времени и стоимости ис­следования. Однако условия моделирования выбираются не аб­солютно произвольно. Между процессом-оригиналом и процес­сом-моделью должны быть сохранены некоторые соотношения подобия, вытекающие из закономерностей физической природы явлений и гарантирующие возможность использования сведе­ний, получаемых путем моделирования, для оценки свойств процесса-оригинала.

Физическое моделирование имеет ограниченную сферу при­менения. Заведомо более широкими возможностями обладает математическое моделирование. Под математическим модели­рованием понимают способ исследования различных процессов путем изучения явлений, имеющих различное физическое содер­жание, но описываемых одинаковыми математическими соотно­шениями. В простейших случаях для этой цели используются известные аналогии между механическими, электрическими, тепловыми и другими явлениями.

Мы не можем здесь останавливаться на многочисленных примерах аналогий, находящих применение в практике модели­рования. Существенным моментом является то обстоятельство, что при изучении любого процесса методом математического моделирования необходимо в первую очередь построить его ма­тематическое описание, или, как мы далее будем говорить, математическую модель. В простейших случаях, таких, как рас­смотренные выше, математическая модель позволяет для дан­ного процесса-оригинала подобрать на основании известных аналогий удобные физические процессы-модели, а также уста­новить соотношения подобия, связывающие их параметры, без которых трудно использовать результаты моделирования для изучения процесса-оригинала. В более сложных случаях, когда для моделирования создаются специальные моделирующие установки (стенды) или используются быстродействующие вы­числительные машины, математическая модель необходима для определения структуры и параметров стенда или построения моделирующего алгоритма.

§ 2.2. Формализация

Математическая модель реальной системы является тем аб­страктным формально описанным объектом, изучение которого возможно математическими методами, в том числе и с помощью математического моделирования. Сложность и многообразие процессов функционирования реальных систем не позволяют строить для них абсолютно адекватные математические мо­дели. Математическая модель, описывающая формализованный процесс функционирования системы, в состоянии охватить только основные, характерные его закономерности, оставляя в стороне несущественные второстепенные факторы.

Формализации любого реального процесса предшествует из­учение структуры составляющих его явлений. В результате этого появляется так называемое содержательное описание процесса, которое представляет собой первую попытку четко изложить закономерности, характерные для исследуемого про­цесса, и постановку прикладной задачи. Содержательное опи­сание является исходным материалом для последующих этапов формализации: построения формализованной схемы процесса и математической модели для него.

Содержательное описание в словесном выражении концен­трирует сведения о физической природе и количественных ха­рактеристиках элементарных явлений исследуемого процесса, о степени и характере взаимодействия между ними, о месте и значении каждого элементарного явления в общем процессе функционирования рассматриваемой реальной системы. Содер­жательное описание может быть составлено в результате достаточно обстоятельного изучения процесса. Зачастую изучение процесса сводится к наблюдению за ним и фиксации количе­ственных характеристик при проведении натурного экспери­мента на реально существующей аппаратуре и оборудовании. Однако не менее распространены случаи, когда требуется по­строить содержательное описание процессов, для которых со­ответствующие аппаратура и оборудование реально не суще­ствуют, а имеются только в виде проектов, технической доку­ментации или замысла конструктора. В этих случаях для составления содержательного описания процесса используются накопленный опыт и результаты наблюдения за процессами функционирования аналогичных систем с учетом особенностей исследуемой системы.

Помимо сведений, непосредственно характеризующих про­цесс, в содержательное описание включаются дополнительные материалы. К ним в первую очередь относится постановка при­кладной задачи, определяющая цели моделирования исследуе­мого процесса. Она должна содержать перечень искомых величин с указанием их практического предназначения и тре­буемой точности. По поводу постановки прикладной задачи це­лесообразно заметить следующее. Содержательное описание процесса составляется, как правило, специалистами соответ­ствующей прикладной области техники, практически без непо­средственного участия математиков. Поэтому постановка при­кладной задачи может и не иметь строгой математической фор­мулировки. Однако она должна обязательно содержать четкое изложение идеи предполагаемого исследования, перечень зави­симостей, подлежащих оценке по результатам моделирования, а также окончательно установить те факторы, которые должны учитываться при построении математической модели процесса.

Кроме постановки прикладной задачи, в содержательное описание включаются исходные данные, необходимые для ис­следования: численные значения известных характеристик и параметров процесса (в виде таблиц, графиков и т. д.), а также значения начальных условий.

Содержательное описание процесса обычно самостоятель­ного значения не имеет, а служит лишь основой для дальней­шей формализации этого процесса — построения формализо­ванной схемы и математической модели процесса.

Формализованная схема процесса является промежуточным звеном между содержательным описанием и математической моделью. Она разрабатывается не во всех случаях, а лишь тогда, когда из-за сложности исследуемого процесса или труд­ностей формализации некоторых его элементов непосредствен­ный переход от содержательного описания к математической модели оказывается невозможным или нецелесообразным.

Формализованная схема процесса должна разрабатываться сов­местными усилиями математиков и экономистов. Хотя форма представления материала в ней, как и в содержательном описании, может оставаться словесной, однако она должна быть уже строго фор­мальным описанием процесса. Для построения формализован­ной схемы необходимо выбрать характеристики процесса, уста­новить систему параметров, определяющих процесс, вполне строго определить все зависимости между характеристиками и параметрами процесса с учетом тех факторов, которые прини­маются во внимание при формализации. На этапе построения формализованной схемы должна быть дана точная математиче­ская формулировка задачи исследования с указанием оконча­тельного перечня искомых величин и оцениваемых зависимо­стей. Наконец, к формализованной схеме прилагается система­тизированная и уточненная совокупность всех исходных данных, известных параметров процесса и начальных условий. Эти ве­личины могут оставаться представленными таблично или гра­фически, но должны быть полностью выяснены все вопросы, связанные с интерполяцией и экстраполяцией эксперименталь­ного материала.

Обычно содержательное описание включает сведения, до­статочные для построения формализованной схемы. Однако бы­вают случаи, когда материал содержательного описания, отно­сящийся к некоторым элементам процесса, не дает оснований для точного их описания. В этих случаях могут потребоваться дополнительные эксперименты или наблюдения, уточняющие представления об исследуемом процессе.

Следует подчеркнуть, что формализованная схема полно­стью подводит итог изучению и экспериментальному обследо­ванию процесса. Все сведения о процессе, которые мы имеем возможность почерпнуть из эксперимента или технической до­кументации, должны быть использованы на этапе построения формализованной схемы.

Дальнейшее преобразование формализованной схемы в ма­тематическую модель выполняется математическими методами без притока дополнительной информации о процессе. Для пре­образования формализованной схемы в математическую модель необходимо записать в аналитической форме все соотношения, которые еще не были записаны, выразить логические условия в виде систем неравенств, а также придать аналитическую форму по возможности всем другим сведениям, содержащимся в формализованной схеме. В частности, это касается и число­вых данных, характеризующих процесс. Как отмечалось выше, формализованная схема содержит эти данные в виде таблиц или графиков. Обычно при моделировании процессов на цифровых вычислительных машинах числовой материал исполь­зуется не в первоначальном виде, а в форме аппроксимирую­щих выражений, удобных для вычислений. Например, вместо таблиц частот для значений случайных величин используются аналитические выражения функций плотности типичных зако­нов распределения (нормального, показательного и т. д.), ко­торые с достаточной точностью представляют упомянутые ча­стоты. Многие таблицы и графики заменяются интерполяцион­ными полиномами и т. д.

Естественно, что такого рода замены не влияют существенно на точность математического описания процесса. Вместе с тем они позволяют сделать математическую модель достаточно удобной для дальнейшего использования.

Несмотря на то, что при переходе от формализованной схемы к математической модели имеют место лишь малые иска­жения количественных характеристик процесса, тем не менее, строго говоря, математическая модель в общем случае не иден­тична формализованной схеме. Это обстоятельство в некоторых случаях может играть заметную роль с точки зрения совпаде­ния результатов моделирования с опытными данными. Поэтому при построении математических моделей необходимо очень осторожно подходить к приближенным зависимостям, пред­ставляющим данные эксперимента.