ЗАДАНИЯ НА 7-Ю СЕССИЮ МТ431 2013 / МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ / ММИЭ / ММИЭ1 / Т_2_Классификация_ММет / Лекция 2_2

- 8 -

ОГЛАВЛЕНИЕ

Анализ объекта начинают с определения характеристик входных и выходных связей объекта. При этом используют метод “избыточности” информации т.е. принимаются в расчет все связи, характеризующие объект. С помощью методов корреляционного анализа определяются статистические свойства связей. С помощью методов регрессионного анализа определяются значимые и незначимые связи (которые далее не рассматриваются), определяются управляющие воздействия (которые наиболее сильно влияют на поведение объекта). Далее методами теории идентификации определяется динамические и статические свойства объекта.

Формирование целевой функции

Критерий - это количественный показатель, на основе которого можно судить о степени решения частных задач моделирования.

С выходными координатами объекта Y_i связывается целевая функция объекта:

L = W₃(I_1,I₂.....I_s), ( 4 )

I_i = W_4i(Y_1,Y_2,.....Y_n), i=1,s,

I_{i -} частный (локальный) критерий целевой функции.

Под целевой функцией (эффективностью) объекта разумеется степень его приспособленности к выполнению стоящей перед ним задачи, выраженная в численном виде.

Конкретный вид показателя L зависит от специфики рассматриваемого объекта, его целевой направленности. Многие объекты исследования содержат элементы случайности (связанные с колебаниями спроса и предложения, с движением народонаселения, заболеваемостью, смертностью и т.д.). В этих случаях функционирование объекта является случайным и не может быть точно предсказано и в качестве целевой функции выбирается не просто характеристики отдельной реализации выходных величин объекта, а их усредненное значение (математическое ожидание). Например, если цель исследования - получение максимальной прибыли, то целевую функцию L выбирают в виде средней прибыли. В ряде задач (экономии средств, сокращения временных затрат) показатель эффективности требуется обратить в минимум.

Основной задачей исследования объекта исследования является определение таких значений входных величин Yi (или параметров преобразования (3) при фиксации значений входных величин) которые обеспечивали оптимум целевой функции (4):

L = W₃(I_1,I₂.....I_s)  opt, ( 5 )

x_iX_i

при заданных ограничениях (ресурсообеспечения) входных координат объекта:

Re_i^-  X_i  Re_i⁺, i= 1, n, ( 6 )

где:

Re_i^- - нижняя (минимальная) граница изменения входной координаты X_i (минимальная граница i-го ресурса);

Re_i⁺ - верхняя (максимальная) граница изменения входной координаты X_i (максимальная граница i-го ресурса).

Локальные критерии (коэффициенты частных целей) обычно измеряются в разных натуральных единицах, например: I₁ - трудоемкость -в часах, I₂ - материальные затраты - в тоннах (метрах и т.д.), I₃ - финансовые затраты - в рублях. Поэтому фактическое определение целевой функции как свертки таких критериев является некорректной математической задачей. В этом случае используют формальные методы решения “многокритериальных” задач:

1. Метод определяющего критерия:

- Максимально возможно уменьшают число локальных критериев и выбирают определяющий главный критерий (например, себестоимость продукции), I_j^G и накладывают ограничения на другие I_i(ij):

I_i А (при максимизации), I_i  В (при минимизации);

-Осуществляют последовательную оптимизацию по частным критериям в некоторой области изменения управляющих воздействий (метод уступок).

2. Метод свертки частных критериев в один обобщенный:

- осуществляют “нормировку критериев” посредством деления их величин на некоторые эталонные (или средние); s

- вводят вектор приоритетов критериев _i>0,  _i = 1;

i=1

- осуществляют свертку нормированных критериев:

в аддитивном виде (простая сумма с весовыми коэффициентами;

в метрическом виде ( обычно - евклидова метрика);

в минимаксном виде (метод Гермейера).

- проводят оптимизацию значения целевой функции в заданной области допустимых значений (6).

Выбор типа свертки зависит от цели исследования.

Основным математическим аппаратом для создания и анализа моделей социально-экономических процессов является исследование операций.

Исследование операций - это область науки, посвященная комплексному анализу целенаправленной деятельности человека и обоснованием оптимальных решений.

Классификация методов исследования операций приведена на рис. 1.

Методы теории исследования операций
Оценочные (вероятностные)	Оптимизационные (мат. программирование)	Игровые
- методы ТСП; - методы ТВ; - методы МС; - методы ТМО	- аналитические методы; - численные методы; - статистические методы	- методы теории игр; - методы теории статистических решений

Рис. 1. Классификационная схема методов исследования операций, где введены следующие обозначения:

ТСП - теория случайных процессов; ТВ - теория вероятностей; МС - математическая статистика; ТМО - теория массового обслуживания.

Рассмотрим более детально состав наиболее часто используемых на практике групп методов исследования операций.

1. Оценочные методы:

1.1. Случайные процессы:

1. Марковские случайные процессы;

Одним из наиболее простых случайных процессов, который достаточно просто моделируется и поэтому имеет наибольшее практическое применение, является так называемый Марковский случайный процесс или процесс без последействия.

Марковским случайным процессом называется такой процесс, значение которого x в будущие моменты времени t > определяется только значением процесса в настоящий момент времени и не зависит от того, каким образом процесс попал в настоящее положение.

Случайный процесс может принимать только дискретные значения, непрерывные или те и другие. Дискретные Марковские случайные процессы – это процессы, которые могут принимать значения из ряда конечного заранее перечисленного набора.

Случайный процесс может принимать свои значения как в дискретные заранее определенные моменты времени, так и в любой момент времени. В первом случае случайные процессы называются процессами с дискретным временем, во втором – с непрерывным.

На рис. 2 дана классификация случайных процессов по вышеперечисленным признакам.

Рис 2. Классификация случайных процессов.

При моделировании процессов с дискретными состояниями очень удобно пользоваться геометрической схемой-графом состояний, где вершинами графа отображаются состояния системы, а нагруженными дугами возможные переходы из одного состояния в другое с соответствующими вероятностями.

К Марковским цепям могут быть сведены многие процессы в различных областях науки и техники. В социологии марковские цепи помогают изучать проблемы изменения социальной или профессиональной структуры населения, проблемы миграции населения …

2. Стационарные случайные процессы с непрерывным временем развития (Эргодические процессы).

Если в Марковской цепи существует предельное распределение вероятностей, соответствующее n и не зависящее от начального состояния системы, то это распределение вероятностей определяет предельный или установившейся режим работы. В этом случае систему называют статистически устойчивой, а Марковский процесс в такой системе – эргодическим.

Переход эргодического марковского процесса от начального состояния к установившемуся режиму называют переходным процессом.

1.2. Теория вероятностей:

1.3. Математическая статистика(методы обработки экспериментальной информации):

1.3.1. Корреляционный анализ;

1.3.2. Регрессионный анализ;

1.3.3. Дисперсионный анализ;

1.3.4. Методы экспертных оценок.

1.3. Теория массового обслуживания:

Задачи массового обслуживания возникают в тех случаях, когда требования на выполняемые работы поступают в случайные моменты времени, а выполнение этих работ, называемое обслуживанием, осуществляется одним или несколькими обслуживающими устройствами (приборами). Длительность выполнения отдельных требований предполагается случайной.

Системой массового обслуживания называется такая система, которая выполняет процесс удовлетворения требований какого-то потока заявок, поступающих в некоторые случайные моменты времени.

Устройство, способное в любой момент времени обслуживать лишь одно требование, называют каналом обслуживания. При наличии нескольких каналов, способных одновременно обслужить ряд требований, говорят о многоканальной системе. Все каналы или часть их могут выполнять один и тот же или разные виды обслуживания.

Характерной особенностью задач массового обслуживания является возникновение несоответствия между скоростью поступления требований и скоростью обслуживания, в результате чего или оказываются простаивающими обслуживающие приборы или образуется очередь на обслуживание. С подобными ситуациями приходится сталкиваться постоянно: люди стоят в очередях у касс и прилавках, подлежащее ремонту оборудование скапливается в ожидании ремонтных бригад, самолеты ждут, когда освободится ВПП. Принципиальный интерес представляют следующие характеристики эффективности СМО:

• длина очереди в различные моменты времени;

• общая продолжительность нахождения требования в системе обслуживания;

• доля времени, в течение которого обслуживающие приборы не были заняты;

• абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени;

• относительная пропускная способность – средняя доля заявок , обслуживаемых системой;

• среднее число заявок в единицу времени, получающих отказ;

• среднее время ожидания в очереди и др.

Для получения математической модели СМО необходимо иметь:

1. описание входящего потока требований;

2. описание способа, каким выполняется обслуживание;

3. описание дисциплины очереди, т.е. указание того каким образом заявки поступают из очереди на обслуживание (FIFO, LIFO, обслуживание с приоритетом, распределение заявок по строго закрепленным приборам).

СМО могут быть двух основных видов: СМО с отказами (заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и уходит не обслуженной) и СМО с ожиданием (в случае занятости всех каналов заявка становится в очередь и ждет освобождения канала).

В СМО с ожиданием обслуживание м.б. упорядоченным (например, в порядке поступления) и неупорядоченным (случайным или с приоритетом). Каждая из этих СМО подразделяется на СМО с ограниченной длиной очереди и СМО с неограниченной длиной очереди. СМО с очередью могут подразделяться на СМО с неограниченным ожиданием в очереди и СМО с ограниченным ожиданием в очереди.

По структуре СМО классифицируют:

а) по составу:

• однородные;

• неоднородные;

б) по числу приборов:

• одноканальные;

• многоканальные;

в) по числу фаз обслуживания:

• однофазные;

• многофазные.

Потоком требований (событий) называется временная последовательность однородных событий, появляющихся в общем случае в случайные моменты времени.

Случайные потоки классифицируются по наличию у них следующих свойств:

1. Стационарность (вероятность попадания того или иного числа событий в интервал зависит от величины интервала и не зависит от того где этот интервал находится на временной оси).

2. Отсутствие последействия, что означает независимость появления событий между собой.

3. Ординарность (невозможность появления более одного события одновременно).

Поток, обладающий всеми этими свойствами, называется простейшим (Пуассоновским). Он характеризуется своей интенсивностью - .

Рассмотрим в качестве примера СМО с отказами:

Входной поток простейший с интенсивностью .

N – каналов с интенсивностью обслуживания  (среднее время обслуживания 1/).

Дисциплина обслуживания FIFO.

Г раф состояния:

  

 2 n

Обозначим =/, тогда вероятность, что в системе i–заявок (i занятых каналов)

Характеристики:

Вероятность отказа .

Среднее число занятых каналов

Пропускная способность

2. Аналитические методы:

2.1. Метод Лагранжа (классический метод);

2.2. Метод Куна-Таккера;

2.3. Метод штрафных функций;

2.4. Метод максимума Понтрягина.

3. Численные методы:

3.1. Градиентные методы;

3.2. Итеративные методы;

3.3. Метод динамического программирования.

4. Статистические методы:

4.1. Методы случайного поиска;

4.2. Стохастическое программирование;

4.3. Эвристические методы.

5. Теория игр:

5.1. Игры с противоположными интересами;

5.2. Игры с непротивоположными интересами:

5.2.1. Парные игры;

5.2.3. Корреляционные игры.

6. Теория статистических решений:

6.1. Бейесовые стратегии;

6.2. Метод минимального риска;

6.3. Последовательный анализ;

6.4. Метод максимального правдоподобия.

1. Учебное пособие: «Основы системного анализа и исследование операций» (под ред. Берзина Е.А.) - Тверь: ТГТУ, 1996.

Дополнительная:

1. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем: искусство и наука. - М.: Мир, 1978.

2. Литвинов В.И. и др. Методы построения имитационных систем. - К.: Наукова думка, 1991.

3. Колесников Г.С. и др. Имитационное моделирование систем. Учебное пособие. М.: 1990.