- •§ 1.5. Задачи исследования сложных систем
- •§ 2.1. Вводные замечания
- •§ 2.2. Формализация
- •§ 2.3. Использование математических моделей
- •1.Проблема универсальной применимости математики 12
- •2. Особенности экономических задач, решаемых математическими методами 16
- •3. Особенности математических методов, применяемых к решению экономических задач 18
- •Введение
- •1.Проблема универсальной применимости математики
- •1.1. Причины универсальности математики
- •1.2. Специфика применения математики в разных науках
- •2. Особенности экономических задач, решаемых математическими методами
- •3. Особенности математических методов, применяемых к решению экономических задач
- •Заключение
- •Использованная литература
Показатели, характеризующие свойства сложных систем
Любую сложную систему мы будем рассматривать как совокупность объектов (элементов, подсистем и т. д.), предназначенную для выполнения некоторого определенного вида работ или решения достаточно четко очерченного класса задач. В соответствии с этим процесс функционирования сложной системы представляется как совокупность действий ее элементов, подчиненных единой цели.
Имеет весьма существенное значение полнота и четкость описания цели функционирования сложной системы, перечня решаемых ею задач. Если цели и задачи системы определены, можно ставить вопрос об оценке качества ее функционирования. Качество функционирования сложной системы будем оценивать при помощи показателей эффективности. Под показателем эффективности сложной системы будем понимать такую числовую характеристику системы, которая оценивает степень приспособленности системы к выполнению поставленных перед нею задач.
По существу выбор показателя эффективности является заключительной стадией формулировки целей и задач системы. В самом деле, без указания показателя эффективности формулировка целей и задач системы не приобретает необходимой четкости. Вместе с тем целесообразно подчеркнуть, что выбор показателя эффективности оказывает существенное влияние на интерпретацию свойств системы и результатов ее исследования. Поясним сказанное на следующем примере.
Рассмотрим некоторую экономическую систему как сложную. При описании целей и задач этой системы необходимо указать перечень изделий, для выпуска которых она предназначена. Однако, если мы ограничимся только упомянутым перечнем, то не получим нужных сведений для обоснованной оценки качества ее функционирования. Действительно, пусть показателем эффективности рассматриваемого производственного процесса служит производительность, измеряемая количеством изделий, выпускаемых в течение фиксированного интервала времени (за смену, неделю или месяц). Оценивая качество производственного процесса с. помощью этого критерия (например, при проектировании производственного процесса), мы будем придавать наиболее существенное значение факторам, способствующим достижению максимальной производительности. При формальном подходе к делу, который для сложных систем по вполне объективным причинам может оказаться преобладающим, обеспечение максимальной производительности неизбежно будет сочетаться с ухудшением других характеристик производственного процесса (экономии сырья, износа оборудования, расхода энергии, фонда зарплаты и т. д.).
Аналогичные рассуждения можно привести и для других показателей эффективности. Например, при использовании в качестве показателя эффективности величины себестоимости продукции такие факторы, как экономия сырья, износ оборудования, расход энергии и фонда зарплаты, будут иметь большой вес, в то время как факторы, связанные с производительностью оборудования, отойдут на второй план.
Заметим, что для производственного процесса могут быть выбраны такие показатели эффективности, которые учитывают как себестоимость продукции, так и производительность оборудования, например, величина прибыли, рентабельность.
Из рассмотренных примеров ясно, что только выбор показателя эффективности делает описание целей и задач системы вполне законченным.
Расчет показателей эффективности для сложных систем представляет собой весьма сложную задачу, которая требует привлечения специальных математических методов и, как правило, решается с помощью быстродействующих вычислительных машин. Для того чтобы показатель эффективности достаточно полно характеризовал качество работы системы, он должен учитывать все основные особенности и свойства системы, а также условия ее функционирования и взаимодействия с внешней средой. Таким образом, показатель эффективности должен зависеть от структуры системы, значений се параметров, характера воздействия внешней среды, внешних и внутренних случайных факторов. Другими словами, показатель эффективности определяется процессом функционирования системы. С этой точки зрения можно себе представить множество возможных процессов функционирования системы, элементы которого отличаются друг от друга за счет различных условий и режимов работы системы. Каждому элементу этого множества можно поставить в соответствие элемент другого множества, а именно множества значений показателя эффективности системы. Так как значения показателя представляют собой действительные числа, то можно говорить об отображении множества процессов функционирования системы в множество действительных чисел, заключенных внутри некоторого интервала (в пределах изменения значений показателя эффективности).
На основании сказанного показатель эффективности можно считать функционалом, заданным на множестве процессов функционирования системы.
*) Функционалом называется оператор, заданный на некотором множестве функций (в некотором функциональном пространстве) принимающий значения из области действительных чисел.
Изучение функционалов, характеризующих процессы функционирования сложных систем, представляет собой важнейшее направление в теории сложных систем. Ниже мы познакомимся с многочисленными примерами такого рода функционалов.
В связи с тем, что сложные системы работают в условиях действия случайных факторов, значения функционалов оказываются случайными величинами. Это создает известные неудобства при использовании их в качестве показателей эффективности. Поэтому при выборе показателей эффективности обычно пользуются средними значениями соответствующих функционалов. Примерами таких средних значений функционалов служат среднее количество изделий, выпускаемых за смену, средняя себестоимость продукции, средняя прибыль (для производственых процессов), средняя длительность поездки, средняя стоимость перевозки (для городского транспорта), среднее время ожидания в очереди (для систем массового обслуживания) и т. д.
Иногда в качестве показателей эффективности используются вероятности некоторых случайных событий, например, вероятность успешной посадки самолета (для системы слепой посадки), вероятность застать абонентскую линию занятой (для системы телефонной связи), вероятность попасть в очередной автобус (для пассажира, находящегося в очереди) и т. д. На первый взгляд кажется, что мы встретились с принципиально новой ситуацией, когда элементам множества процессов функционирования системы ставится в соответствие множество случайных событий. Однако этот случай легко сводится к предыдущему, если каждому событию поставить в соответствие функционал, принимающий два значения: 1 (событие наступило) и О (событие не наступило). Тогда вероятность события будет равна среднему значению соответствующего функционала.
Мы рассмотрели некоторые функционалы, характеризующие процессы работы сложных систем, используемые в качестве показателей их эффективности. На этом пути могут быть построены (причем различными способами) совокупности функционалов, характеризующие и другие свойства сложных систем: их надежность, помехозащищенность, качество управления и т. д.
Как показывает опыт исследования сложных систем, наибольшей наглядностью (с точки зрения интерпретации результатов исследования) и стройностью при постановке задач отличаются совокупности функционалов, зависящие от показателей эффективности. В самом деле, в большинстве случаев, представляющих практический интерес, то или другое свойство системы имеет значение не само по себе, а лишь как фактор, влияющий на ее эффективность.
В заключение настоящего параграфа обратим внимание читателя на проблему устойчивости сложной системы. Качество Функционирования системы естественно оценивать при помощи набора функционалов, являющихся показателями эффективности, надежности, помехозащищенности и т. д., вычисленных для заданных условий функционирования. С этой точки зрения система только тогда обладает требуемыми свойствами, когда упомянутые показатели находятся в заданных пределах. В действительности условия функционирования сложной системы не остаются постоянными. Они подвержены возмущениям различной природы. Существенно знать, сохраняют ли при наличии возмущений показатели качества системы свои значения, а если нет, то каковы возможные отклонения.
Под устойчивостью функционирования сложной системы мы будем понимать способность системы сохранять требуемые свойства в условиях действия возмущений. Чтобы придать понятию устойчивости более точный смысл, необходимо конкретно выделить показатели, сохранения значений которых мы добиваемся, установить класс допустимых возмущений и способы их измерения, а также уточнить суть «сохранения требуемых свойств».
Для системы, устойчивой относительно функционала, характеризующего некоторое свойство, можно указать такие ограничения, налагаемые на возмущения, при которых данный функционал будет сохранять свое значение в некотором, вообще говоря, вероятностном смысле. В случае неустойчивой системы этого сделать нельзя. Более того, может оказаться, что для выбранного свойства системы нельзя подобрать ограничений на возмущения, обеспечивающих сохранение значений соответствующего функционала. Другими словами, даже очень малые возмущения могут привести к существенным срывам, значительно снижающим качество функционирования системы, вплоть до полной невозможности ее практического использования.
§ 1.5. Задачи исследования сложных систем
Среди задач, возникающих в связи с исследованием сложных систем, можно выделить два основных класса:
задачи анализа, связанные с изучением свойств и поведения системы в зависимости от ее структуры и значений параметров, и
задачи синтеза, сводящиеся к выбору структуры и значений параметров, исходя из заданных свойств системы.
Другими словами, при решении задач анализа считаются известными структура системы и значения всех ее конструктивных параметров; требуется вычислить значения функциональных характеристик системы (показателей эффективности, надежности, помехозащищенности и т. д.) для фиксированного набора начальных состояний и условий функционирования (воздействий внешней среды), а также оценить устойчивость системы при заданных возмущениях (например, построить область устойчивости в пространстве параметров системы).
Наоборот, при решении задач синтеза предполагаются заданными требуемые значения функциональных характеристик системы.
Требуется выбрать структуру системы и такие значения параметров (из области устойчивости), чтобы получить требуемые значения функциональных характеристик. Нередко задача синтеза ставится как экстремальная задача. В простейшем случае речь идет о выборе такой структуры и таких значений параметров (естественно, из области устойчивости), при которых показатель эффективности имел бы максимум или минимум (в зависимости от смысла показателя), с учетом ограничений, налагаемых на остальные показатели (надежности, помехозащищенности и т. д.). Возможны и другие постановки задач синтеза, близкие к рассмотренным.
Целесообразно отметить, что в настоящее время имеется достаточно много работ, посвященных решению задач анализа сложных систем. Среди используемых для этой цели методов наиболее популярны два:
расчет показателей эффективности и других связанных с ними функциональных характеристик системы при помощи формул и уравнений, относящихся к данному узкому классу систем (например, систем массового обслуживания, сетей автоматов или систем, описываемых дифференциальными уравнениями) и
расчет показателей эффективности и других функциональных характеристик по результатам моделирования сложной системы на ЭВМ (для систем общего вида, не относящихся к упомянутым узким классам).
Более важно то, что тем или другим способом задача анализа сложной системы всегда может быть решена, если имеются все необходимые данные для расчета. Этого никак нельзя сказать о задачах синтеза сложной системы. Наоборот, в настоящее время почти нет методов, позволяющих строго формально решать задачи синтеза. Исключение составляет случай конечных автоматов (одного из узких классов систем), для которых развиты формальные методы синтеза. Однако эти методы существенным образом опираются на специфические свойства данного узкого класса систем (на свойство конечности множеств состояний) и не могут быть непосредственно обобщены на другие классы систем, тем более на общий случай.
Поэтому на практике пользуются различными неформальными приемами синтеза сложных систем. По существу все они, в конечном счете, сводятся к так называемому перебору вариантов или «синтезу через анализ». Суть его состоит в том, что, приступая к синтезу системы, исследователь намечает некоторый «первоначальный» вариант системы (ее структуры и значений параметров). Этот вариант известными методами анализа подвергается всестороннему обследованию - определяются показатели эффективности, надежности, помехозащищенности и др., строится область устойчивости в пространстве параметров и т. д.
Результаты анализа «первоначального» варианта системы сравниваются с заданными значениями показателей, которые желательно получить при синтезе. Как правило, «первоначальный» вариант не является полностью удовлетворительным, в том смысле, что между заданными и полученными значениями функциональных характеристик имеется существенная разница. Тогда может быть намечен другой вариант системы с учетом опыта выбора «первоначального». Этот новый вариант также подвергается всестороннему анализу. Если и его функциональные характеристики оказываются неподходящими, намечается третий вариант и т. д.
По мере обследования вариантов системы накапливаются сведения, весьма ценные для синтеза. Сюда в первую очередь относятся тенденции в поведении тех или других показателей при изменении значений параметров системы. Эти тенденции распознаются не только умозрительно; здесь оказываются полезными такие приемы математической статистики, как факторный и регрессионный анализ, а также методы интерполяции и экстраполяции случайных последовательностей. Приближенные зависимости функциональных характеристик от параметров системы используются для целенаправленного перехода к более удовлетворительным вариантам синтезируемой системы.
Подходы типа неформального перебора вариантов применяются не только при решении полной задачи синтеза системы. Они могут принести пользу и в случаях, когда по результатам анализа некоторых частных свойств и характеристик системы или ее составных частей необходимо получить конкретные практические рекомендации. Проиллюстрируем такие приемы анализа на примере организации производственного процесса.
Математические модели