2 Графический метод

Графическое решение может быть использовано, когда один из игроков имеет только два возможных плана игры. Проиллюстрируем это на примере:

x₁ x₂ x₃

Нам необходимо определить стратегии первого игрока. Предположим, что он выигрывает. Для этого составим модель проигрыша второго:

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Заменим в неравенствах (2.1)-(2.3):

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Построим прямые в интервале .

(2.8)

(2.9)

(2.10)

как показано на рис. 1.

И выделим область, удовлетворяющую условиям (2.5) - (2.7) − область допустимых решений. На этой области выбирается точка v, которая имеет наибольшее значение (точка А). Координаты этой точки находятся совместным решением уравнений (2.8) и (2.9):

,

Отсюда

т.е. цена игры

3 Аналитический метод

Пример: y₁ y₂

.

Определить стратегии поведения игрока и цену игры. Составляем модели выигрыша (проигрыша) для каждого игрока.

Игрок А: Игрок В:

, (3.1) , (3.7)

, (3.2) , (3.8)

. (3.3) . (3.9)

Запишем модели в виде уравнений:

, (3.4) , (3.10)

, (3.5) , (3.11)

. .

Начнем решение с игрока А. Исключим цену игры v:

,

. (3.6)

Решим совместно уравнения (3.3) и (3.6):

,

,

Подставим эти значения в уравнения (3.4) и (3.5), получим:

Для игрока В подставим v в одно из уравнений (3.10) или (3.11) и решим совместно с уравнением (3.9).

Получим:

4. Игры с «природой»

В рассмотренных выше матричных играх предполагалась, что в них принимают участие два игрока, интересы которых противоположны. Поэтому действия каждого игрока направлены на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша). Однако в некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.д.). Эти условия зависят не от сознательных действий игроков, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с «природой». Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.

Условия игры задаются матрицей .

Имеется ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии. Рассмотрим некоторые из них.

1. Критерий Байеса – Лапласа.

Критерием принятия решений является максимум математического ожидания, т.е.

2. Критерий Лапласа.

Здесь предполагают, что все состояния природы равновероятны, т. е. , т.е. .

3. Максимальный критерий Вальда.

Рекомендуется применять максиминную стратегию, т. е. Критерий является пессимистичным, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека образом.

4. Критерий минимального риска Сэвиджа.

Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии. Элемент матрицы рисков находится по формуле, гдеОптимальная стратегия находится из выражения

5. Критерий Гурвица.

Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Прикритерий превращается в критерий Вальда. Наоказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, темближе к единице.

Пример. Возможно строительство четырех типов электростанций: тепловых (стратегия А₁), приплотинных (стратегия А₂), бесшлюзовых (стратегия А₃), шлюзовых (стратегия А₄). Эффективность каждого из типов зависит от различных факторов: режима рек, стоимости топлива и его перевозки и т. п.. Предположим, что выделено четыре различных состояния, каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность энергетических объектов. Состояния природы обозначим через Р₁ , Р₂ , Р₃ , Р₄. Экономическая эффективность строительства отдельных видов электростанций изменяется в зависимости от состояний природы и задана матрицей. Проанализировать ситуацию и выбрать оптимальную стратегию (по критерию Байеса – Лапласа, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица).

Решение.

По критерию Байеса –Лапласа. Определим математическое ожидание выигрыша статистика при выборе им стратегии А_i:

.

В соответствии с этим критерием наиболее предпочтительными являются стратегии А₁ и А₂.

По критерию Лапласа.

Все состояния природы равновероятны, т. е. p₁=p₂=p₃=p₄=.

;

Используя критерий Лапласа, получаем ,то оптимальной является стратегия А₃.

По критерию Вальда.

Следовательно максимальная стратегия статистика - А₃.

По критерию Сэвиджа.

Построим матрицу рисков: , В соответствии с этим критерием также наиболее предпочтительнее стратегия А₃.

По критерию Гурвица.

Таким образом, согласно критерию Гурвица оптимальной стратегией является стратегия А₂.

Вывод: Анализ результатов, проведенных на основе различных критериев, показывает, что наиболее приемлемой является стратегия А₃.

Задачи для самостоятельного решения

IЗАДАНИЕ

Выбор варианта по последней цифре зачетной книжки.

Найдите нижнюю цену игры, верхнюю цену игры, определите седловые точки, оптимальные чистые стратегии и цену игры (если они существуют):

1.1 1.2

1.3 1.41.5

1.6 1.71.8

1.9 1.10