Reshenie tip priemov po matematike_ochnaya
.pdf
4) Сравнение эмпирического и теоретического законов распределения случайной величины X.
Из вида кривой эмпирического распределения следует, что случайная величина X должна иметь закон распределения, близкий к нормальному. Для сравнения в той же системе координат построим кривую нормального закона распределения
f (x)= σ 12π e−(x−x)2 
2σ2 ,
где σ = D(X ), а величины x = 67, 78 и D(X )=3,57 были получены в пре-
дыдущем пункте. Таким образом, σ ≈1,89 .
Одним из критериев, позволяющих установить справедливость нормального закона распределения случайной величины X, является правило трех сигм. В случае нормально распределенной величины вероятность отклонений от x больше, чем на величину 3 σ , мала, следовательно, такие отклонения встречаются крайне редко. Для наших статистических данных 3 σ = 5, 67 . Из графика и таблицы можно сделать вы-
вод, что величина X редко отклоняется от x более, чем на 3 σ , следовательно, ее закон распределения близок к нормальному.
Рисунок 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W/∆ |
|
|
|
0,25 |
|
|
P |
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
0,15 |
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
0,05 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
64,54 |
65,62 |
66,7 |
67,78 |
68,86 |
69,94 |
71,02 |
|
|
|
x |
|
|
|
94
Тестовые задания для самопроверки
38 заданий время тестирования – 80 минут
Указание: все задания имеют одну и ту же форму – с выбором одного ответа из четырех предложенных
1. Определитель |
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
равен… |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
− 2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) –1 |
|
2) 1 |
|
|
|
3) –5 |
|
|
4) 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Если |
|
−1 |
|
2 |
|
|
и |
|
|
1 |
−1 |
, |
то матрица |
С = 2А+ В имеет |
||||||
А= |
|
|
|
|
|
В = |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 |
−5 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
вид… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
−1 3 |
|
2) |
|
1 −3 |
|
|
3) |
−1 3 |
4) |
0 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−8 |
|
|
|
|
8 −8 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
−8 |
|
|||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
8 |
|
|||||||
3. Если (х0 , у0 ) – решение системы линейных уравнений
х+ 2у = −3,3х+ 2у = 5,
тогда х0 − у0 равно…
1) –0,5 |
2) 7,5 |
3) 0,5 |
4) –7,5 |
4. Прямая проходит через точки О(0; 0) и В(5; –15). Тогда ее угловой коэффициент равен…
1) |
–3 |
2) |
–5 |
3) 3 |
4) 5 |
|
|
|
|
|
5. Если уравнение гиперболы имеет вид |
х2 |
− |
у2 |
=1, то длина ее дейст- |
||||||
4 |
9 |
|||||||||
вительной полуоси равна… |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
1) |
3 |
2) |
2 |
3) 4 |
4) 9 |
|
|
|
|
|
6. Нормальный вектор плоскости х+ 2у + z −15 = 0 имеет координаты…
1) (1;2;1) 2) (2;1;–15) 3) (1;2;–15) 4) (1;1;–15)
95
7. Производная функции у = cos(x2 −1)имеет вид…
1) 2x sin(x2 −1) 2) −sin(x2 −1) 3) x sin(x2 −1) 4) − 2xsin(x2 −1)
8. Укажите вид графика функции, для которой на всем отрезке [а;b] одновременно выполняются условия y > 0, y′ < 0, y′′ < 0 .
1) |
у |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
у |
|
|
|
|
||
|
0 |
|
а |
b |
|
|
х |
|
|
|
|
0 |
а |
b |
х |
|
3) |
у |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
у |
|
|
|
|
||
|
0 |
|
а |
b |
|
|
х |
|
|
|
|
0 |
а |
b |
х |
|
9. Частная производная функции |
z = x4 cos y |
по переменной у в точке |
||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 1; |
2 |
равна… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) 1 |
|
|
2) –1 |
|
|
|
3) 0 |
|
4) 4 |
|
|
|
|
|
|
|
10. Множество первообразных функции f (x) = e6x+2 |
имеет вид… |
|||||||||||||||
1) − 6e |
6x+2 |
+ C |
2) |
1 |
e |
6x+2 |
+ C |
3) e |
6x+2 |
+C |
|
4) 6e |
6x+2 |
+C |
||
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Площадь фигуры, изображенной на рисунке, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
у |
|
у = х2 +0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
определяется интегралом… |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
0 |
1 |
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) ∫0 (х2 −1)dx |
2) ∫2 (1,5 − х2 )dx |
3) ∫0 (х2 + 0,5)dx |
4) ∫0 (1− х2 )dx |
|||||||||||||
−1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
96
12. Дан радиус-вектор движущейся в пространстве точки
R(t) = 3t 2 i +t j −(t3 +1) k ,
тогда вектор ускорения точки в момент времени t =1 имеет вид…
1) 6i +6k 2) 6i + j + 6k 3) 6i −6k 4) 6i − j −6k
13. Градиент скалярного поля u = x2 − xz + yz в точке А(0; 1; 1) имеет вид…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) −i |
− j + 2k |
2) i + j + k |
3) −i + j + k |
4) −i + j + 2k |
||||||||||||||||||||||
14. Производная скалярного поля u = x2 + 2yx − 4y |
в точке С (–1; –1) в |
|||||||||||||||||||||||||
направлении единичного вектора e = (1;0) равна… |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1) –6 |
|
|
2) –10 |
|
3) –4 |
4) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15. На числовой прямой дана точка х = 5,6. Тогда ее «ε-окрестностью» может являться интервал…
1) |
(5,2; 5,6) |
|
2) (5,4; 5,8) |
3) |
(5,6; 5,9) |
4) (5,4; 5,9) |
16. Мера множества, изображенного на рисунке, |
|
|||||
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
равна… |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
–2 |
0 |
2 |
х |
|
|
1) |
4π |
2) π |
3) 3π |
4) |
2π |
|
17. |
Образом отрезка [0;1] при отображении f = 3x + 2 является… |
|||
1) [2;3] |
2) [0;3] |
3) [2;5] |
4) (2;5) |
|
18. |
Если z1 |
=1 −i, |
z2 = 2 +i , то z1 z2 равно… |
|
1) 3 + 3i |
2) 3 – i |
3) 1 – i |
4) 2 – 3i |
|
97
19. На рисунке представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа z = x +iy .
у
|
|
|
|
|
|
2 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 х |
|
|
Тогда тригонометрическая форма записи этого числа имеет вид… |
||||||||||
1) |
|
π |
+i sin |
π |
|
2) |
|
π |
+i sin |
π |
2 2 cos |
4 |
4 |
|
4 cos |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||
|
π |
+i sin |
π |
|
4) |
|
π |
+i sin |
π |
3) 2 cos |
4 |
4 |
|
4 2 cos |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
|||
20. Если |
f (z) = 4z2 −4i , |
тогда значение производной этой функции в |
|||||||
точке z0 |
= 2 − 2i равно… |
|
|
|
|
|
|||
1) 2 – i |
|
|
2) 2 – 2i |
|
3) 16 – 2i |
4) 16 – 16i |
|||
21. Гармонические колебания с амплитудой А, частотой ω и начальной фазой ϕ определяются уравнением…
1) |
f (x) = Asin(ϖx +ϕ) |
2) |
f (x) = A(ϖx +ϕ)2 |
|||
3) |
f (x) = |
A |
|
4) |
f (x) = A ϖx +ϕ |
|
(ϖx +ϕ) |
||||||
|
|
|
|
|||
22. Функция f (x) при x [0;2π] и ее периодическое продолжение заданы на рисунке.
f(x)
Тогда ряд Фурье для этой функции имеет вид…
|
–2π |
|
0 |
2π |
4π |
х |
|
|
|
||||
|
|
а0 |
|
|
∞ |
(an cos nx +bn sin nx) |
|
|
∞ |
|
|||
1) |
|
|
|
+ ∑ |
2) |
∑bn sin nx |
|||||||
2 |
|||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
∞ |
||||
|
|
а0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
а0 |
|||
3) |
|
|
+ ∑bn sin nx |
|
4) |
|
+ ∑an cos nx |
||||||
|
|
|
2 |
||||||||||
|
2 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
||||
98
23. Дана функция |
f (x) = 3x, x [−π;π]. Тогда коэффициент а4 разложе- |
|||||
ния |
f (x) в ряд Фурье равен… |
|
||||
1) |
3 |
2) |
3π |
|
3) 0 |
4) π |
|
|
|||||
π |
2 |
|
|
|
||
24. Общий член последовательности 1, 23 , 53 , 74 ,... имеет вид…
1) аn |
= (−1)n+1 |
n |
|
2) аn = |
|
n |
||
2n +1 |
|
2n −1 |
||||||
|
|
|
|
|||||
3) аn |
= (−1)n+1 |
n |
|
4) аn = |
|
n |
|
|
2n −1 |
2n +1 |
|||||||
|
|
|
||||||
25. Укажите правильное утверждение относительно сходимости числовых рядов
|
∞ |
3 |
|
∞ |
5 |
|
|
А) ∑ |
и |
В) ∑ |
|
|
|||
4n |
n + 2 |
|
|
||||
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
||
1) |
А – сходится, В – расходится |
2) |
А – расходится, В – сходится |
||||
3) |
А и В расходятся |
|
4) |
А и В сходятся |
|||
26. Если f (x) = 2x3 −1, то коэффициент а4 разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням (x −1) равен…
1) 0,25 2) 2 3) 1 4) 0
27. Дифференциальное уравнение y′− 3x y = x является…
1)линейным неоднородным дифференциальным уравнением
2)уравнением Бернулли
3)однородным дифференциальным уравнением
4)дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
28. |
Дано дифференциальное уравнение y′ = (3k −1)x2 , тогда функция |
||||||
y = |
|
2 |
x |
3 |
является его решением при k равном… |
||
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
1) 0 |
|
|
|
|
2) 1 |
3) 2 |
4) 3 |
99
29. Дано линейное однородное дифференциальное уравнение у′′− 4 у′+3у = 0 , тогда его общее решение имеет вид…
1) |
С е−х +С |
е3х |
2) |
С ех +С |
е−3х |
3) |
С е−х +С |
е−3х 4) |
С ех +С |
е3х |
||||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
30. Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет не более пяти очков, равна…
1) |
1 |
2) |
2 |
3) |
5 |
4) 1 |
|
6 |
|
3 |
|
6 |
|
31. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения ве- |
||||||
роятностей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
–1 |
0 |
3 |
|
|
|
р |
0,1 |
0,3 |
0,6 |
Тогда математическое ожидание случайной величины Y = 3X равно… |
||||||
1) 5,7 |
2) 6 |
|
3) 5,1 |
|
4) 4,7 |
|
32. График функции распределения вероятностей непрерывной случай- |
||||||
ной величины Х имеет вид: |
|
|
|
|||
F(x) |
|
|
|
|
Тогда математическое |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
–1 |
0 |
|
|
|
7 |
ожидание М(Х) равно… |
|
|
|
|
|||
х |
|
|
|
|
|
|
1) 7 |
2) 8 |
|
3) 4 |
|
4) 3 |
|
33. По выборке объема п = 100 построена гистограмма частот: |
||||||
пi |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
Тогда значение а равно… |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
хi |
|
1) 50 |
2) 66 |
|
3) 22 |
|
4) 70 |
|
|
|
|
|
|
100 |
|
34. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 11, 14, 14. Тогда несмещенная оценка дисперсии измерений равна…
1) 13 2) 2 3) 6 4) 3
35. При построении уравнения парной регрессии у =α + βх+ε были получены следующие результаты: rВ = 0,5, σ х = 2,5, σ y =1,2 . Тогда коэффициент регрессии β равен…
1) 0,3 2) 1,2 3) 0,6 4) 0,24
36. Положительный корень |
уравнения x3 +12x2 + 23x −36 = 0 равен… |
||
1) 9 |
2) 1 |
3) 4 |
4) 3 |
37. Действительный корень уравнения 3ex + x −3 = 0 принадлежит интервалу…
|
− |
1 |
; |
1 |
|
1 |
; |
3 |
|
3 |
; |
5 |
|
− |
3 |
;− |
1 |
|
1) |
2 |
|
2) |
2 |
|
3) |
2 |
|
4) |
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
38. Дано дифференциальное уравнение (x −1) y′ = y при y(0) = 0. Тогда
интегральная кривая, которая определяет решение этого уравнения, имеет вид…
у
|
|
|
|
2 |
D |
|
|
|
|
1 |
С |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
х |
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
–1 |
|
1) В |
2) А |
|
3) D |
4) С |
|
101
Ответы к тестовым заданиям для самопроверки
1. 3) |
2. 1) |
3. 2) |
4. 1) |
5. 2) |
6. 1) |
7. 4) |
8. 1) |
9. 2) |
10. 2) |
11. 4) |
12. 3) |
13. 3) |
14. 3) |
15. 2) |
16. 4) |
17. 3) |
18. 2) |
19. 1) |
20. 4) |
21. 1) |
22. 4) |
23. 3) |
24. 2) |
25. 1) |
26. 4) |
27. 1) |
28. 2) |
29. 4) |
30. 3) |
31. 3) |
32. 4) |
33. 2) |
34. 4) |
35. 4) |
36. 2) |
37. 1) |
38. 2) |
|
|
102
ПРИЛОЖЕНИЕ
103