Reshenie tip priemov po matematike_ochnaya
.pdfxt′ = 2t sin t + (t 2 − 2)cost + 2cost − 2t sin t = (t 2 − 2 + 2)cost = t 2 cost,
yt′ = −2t cost + (2 −t 2 )(−sin t) + 2sin t + 2t cost = (−2 +t 2 + 2)sin t = t 2 sin t.
Вычислим длину дуги при 0 ≤t ≤π :
π |
|
|
π |
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l = ∫ t 4 cos2 t +t 4 sin 2 tdt = ∫t 2 cos2 t +sin 2 tdt = ∫t 2dt = t3 |
|
= |
π 3 |
ед. |
|||||
0 |
|
|
0 |
0 |
3 0 |
|
3 |
|
|
Ответ: l = |
π |
3 |
ед. |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) Вычислить площадь |
фигуры, ограниченной |
|
кривыми |
||||||
ρ = 6sinϕ , ρ = 4sinϕ , заданными в полярной системе координат. |
|
Решение. Площадь фигуры, ограниченной одной или двумя кривыми, заданными в полярной системе координат, вычисляется по формулам
S = |
1 |
ϕ2 |
ρ2 |
(ϕ)dϕ или S = |
1 ϕ2 |
(ρ22 |
(ϕ)− ρ12 (ϕ))dϕ . |
||
|
|
|
|
||||||
2 |
ϕ∫ |
2 ϕ∫ |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
Сделаем чертеж искомой площади, учитывая, что ρ ≥ 0 , поэтому sinϕ ≥ 0 , то есть 0 ≤ϕ ≤π .
π/2
6 |
π/3 |
4 |
π/6 |
0 |
ρ |
ρ1 = 4sinϕ , ρ2 = 6sinϕ .
Так как фигура симметрична относительно прямой ϕ = π2 , то
|
|
π |
|
|
π |
|
|
S = 2S = 2 |
1 |
2 |
(ρ2 (ϕ)− ρ2 (ϕ))dϕ = |
2 |
(36sin2 ϕ −16sin2 ϕ)dϕ = |
||
2 |
∫ |
∫ |
|||||
1 |
2 |
1 |
|
||||
|
0 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
64
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
= 20∫sin 2 ϕdϕ =10 |
∫(1−cos 2ϕ)dϕ |
=10 |
∫dϕ − ∫cos 2ϕdϕ |
= |
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
=10 |
ϕ |
2 |
− |
|
sin 2ϕ |
|
|
=10 |
|
−0 |
− |
|
|
(0 |
−0) |
=10 |
|
= 5π. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РАСЧЕТНО–ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №4
12. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающее понижение порядка (х2 +1)у′′ = 2ху′, удовлетво-
′ |
=3. |
ряющее указанным начальным условиям у(0) =1, у (0) |
Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию у. Положим у′ = р, где р – некоторая функ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
ция аргумента х. Если у′ = р, то |
у′′ = dx , и данное уравнение примет |
||||||||||
вид (x2 +1) |
dp |
= 2xp . Мы получили уравнение первого порядка относи- |
|||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||
тельно переменных р и х. Решим это уравнение: |
|||||||||||
|
dp |
= |
2xdx |
; |
|
|
|||||
|
p |
|
|
x2 +1 |
|
||||||
|
∫ |
dp |
= ∫ |
2xdx |
; |
|
|||||
|
p |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
||||
ln p = ln(x2 +1)+ ln C , |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
p = C1(x2 +1), или y′ = C1 (x2 +1).
Определим численное значение С1 при указанных начальных условиях. Имеем 3 = C1 (0 +1) . Следовательно, C1 = 3 . Теперь решаем уравнение
первого порядка y′ = 3(x2 +1): dy = 3(x2 +1)dx;
y = 3∫(x2 +1)dx =x3 +3x +C2 .
Определим численное значение С2 при указанных начальных условиях.
Имеем 1 = 0 + 0 + С2 ; |
С2 =1. |
Таким образом, |
у = x3 +3x +1 есть частное решение, удовлетво- |
ряющее указанным начальным условиям.
65
13. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами у′′+ 4у = 4sin 2x −8cos 2x , удовлетворяющее указанным начальным ус-
ловиям y(0) = 0, y′(0) = 0 .
Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения уодн однородного уравнения и какого-либо частного решения у данного уравнения, то есть
у = уодн + у.
Для нахождения уодн составим характеристическое уравнение k 2 + 4 = 0 , имеющее комплексные корни k1 = 2i, k2 = −2i . В этом случае
общее решение однородного уравнения ищем в виде
уодн = eαx (C1 cos βx +C2 sin βx),
где α ± βi – комплексные корни характеристического уравнения. Подставив α = 0, β = 2 , имеем:
уодн = C1 cos 2x +C2 sin 2x .
Частное решение у неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде y = xeαx (Acos βx + Bsin βx) , так как правая часть неодно-
родного уравнения есть функция f (x) = eαx (a cos βx +bsin βx) |
и числа |
|||||||
α ± βi |
являются |
|
корнями характеристического |
уравнения. При |
||||
α = 0, β = 2 имеем: |
|
|
|
|
|
|||
y = x(Acos 2x + B sin 2x) . |
|
|
||||||
Дважды дифференцируя последнее равенство, находим y′′: |
|
|||||||
y′′ = (4B −4Ax) cos 2x + (−4A −4Bx) sin 2x . |
|
|
||||||
Подставив в данное уравнение y и y′′, получим: |
|
|
||||||
4B cos 2x − 4Asin 2x = 4sin 2x −8cos 2x , |
|
|
||||||
откуда A = −1, B = −2 . Следовательно, y = −x(cos 2x + 2sin 2x) и |
|
|||||||
у = C1 cos 2x +C2 sin 2x − x(cos 2x + 2sin 2x) . |
|
|
||||||
Найдем y′: |
|
|
|
|
|
|
|
|
у′ = −2C1 sin 2x + 2C2 cos 2x −cos 2x − 2sin 2x − x(−2sin 2x + 4cos 2x) . |
||||||||
Используя начальные условия, получим систему |
|
|
||||||
C = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2C2 −1 = 0, |
1 |
|
|
|
||||
откуда |
C = 0, C |
2 |
= |
. |
|
|
||
|
|
|
||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 sin 2x − x(cos 2x + 2sin 2x) есть |
|
|
||
Следовательно, |
|
у = |
|
искомое |
частное |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
решение данного дифференциального уравнения.
66
14. Классическим методом и методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.
х′−3х− 4у = 0,у′− 4х+3у = 0,
х(0) = у(0) =1.
Решение. Решением этой системы является пара функций х(t) , y(t) , удовлетворяющих системе, причем х(0) = у(0) =1.
1) Классический метод решения.
Продифференцируем первое уравнение по переменной t : x′′−3x′− 4 y′ = 0 .
Из первого уравнения определяем |
y = |
x′−3x |
|
, следовательно, из второго |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
уравнения имеем |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
x′−3x |
|
25x 3x′ |
|
||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= 4x |
−3y |
= 4x −3 4 = 4 − 4 . |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||
Подставляем |
y′ |
в уравнение, полученное после дифференцирования, |
||||||||||||
приходим к уравнению |
3x′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
25x |
− |
|
|
|
|
|
|
|||
x′′−3x′− 4 |
4 |
|
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x′′− 25x = 0 – линейное дифференциальное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: k 2 −25 = 0,
k 2 = 25,
k1,2 = ±5 – действительные различные корни.
В этом случае общее решение дифференциального уравнения имеет вид
x(t) = C ek1t |
+C |
2 |
ek2t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x(t) = C e5t |
+C |
2 |
e−5t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
x′−3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ранее определили |
y = |
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4 |
|
e−5t ) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5C e5t −5C |
2 |
e−5t −3(C e5t + C |
2 |
|
С |
е5t − 2C2e |
− |
5t . |
||||||||||
y = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общее решение системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x(t) |
= C e5t + C |
2 |
e−5t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
С1 |
е5t − 2C2e−5t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y(t) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
Находим значения произвольных постоянных, используя начальные условия х(0) = у(0) =1:
1 = |
С |
+ |
С |
|
, |
|
|
|
|
|
С |
= |
6 |
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
||
1 = |
С1 |
|
−2С |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
= − |
5 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Частное решение системы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
6 |
|
5t |
|
|
|
1 |
|
|
−5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x(t) = |
|
|
e |
|
|
|
− |
|
|
e |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
5t |
|
|
|
|
|
|
|
−5t |
|
|
|
|
|
|
|||||
y(t) = |
|
|
е |
|
|
|
+ |
|
|
C2e |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) Метод операционного исчисления. |
||||||||||||||||||||||
Пусть х(t) =•• |
X ( p), |
|
|
y(t) =•• |
Y ( p) . По теореме о дифференцировании |
|||||||||||||||||
оригинала получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
′ |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х (t) =• pX ( p) − x(0) = pX ( p) −1, |
||||||||||||||||||||||
′ |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t) = pY ( p) − y(0) = pY ( p) −1.
•
Следовательно, операторная (изображающая) система имеет вид:
pX ( p) −1−3X ( p) −4Y ( p) = 0,pY ( p) −1− 4X ( p) +3Y ( p) = 0.
Из первого уравнения определяем Y ( p) = |
pX ( p) −3X ( p) −1 |
и подстав- |
||||||||||||||||
|
4 |
|
||||||||||||||||
ляем во второе уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
p(pX ( p) −3X ( p) −1) |
−1− 4X ( p) + 3(pX ( p) −3X ( p) −1)= 0, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
p2 X ( p) −25X ( p) − p −7 = 0, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
X ( p) = |
p + 7 |
, |
X ( p) = |
|
|
p +7 |
|
. |
|
|
||||||
|
|
p2 |
− 25 |
|
( p |
−5)( p + |
5) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Представим дробь в виде суммы простых дробей: |
|
|||||||||||||||||
|
p + 7 |
|
= |
|
A |
|
+ |
B |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p −5)( p +5) |
|
p −5 |
p +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
p + 7 = A( p +5) + B( p −5), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
p =5: 12 =10A, |
|
A = |
6 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1. |
|
|
|
|
|
||
|
p = −5 : 2 = −10B, |
|
B = − |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
68
Следовательно, X ( p) = |
6 |
|
|
|
1 |
|
|
− |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
p −5 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
По таблице изображений находим |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x(t) = |
|
6 |
|
e |
5t |
− |
1 |
|
|
e |
|
−5t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично: |
|
|
|
|
p +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Y ( p) = |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
p |
2 −25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Y ( p) = |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
2 |
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
|
p |
−5 |
5 |
|
|
p +5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y(t) = |
3 |
e |
5t |
+ |
2 |
|
|
e |
−5t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Частное решение системы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
5t |
|
|
1 |
|
|
|
−5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x(t) = |
|
|
|
|
e |
|
|
− |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
5t |
|
|
|
|
|
−5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y(t) |
= |
|
|
|
|
|
e |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Найти изображение F( p) ,
ски.
1
p +5 .
если оригинал f (t) задан графиче-
f(t) |
|
|
|
|
3 |
|
А |
В |
|
|
|
|
D |
|
2 |
|
|
С |
|
|
|
|
||
О |
α |
|
|
|
0 |
|
2 |
4 |
t |
Решение. f (t) = f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) , где |
f1 (t) – уравнение отрезка |
|||
ОА, f2 (t) – отрезка АВ и |
f3 (t) – прямой СD. |
|
Для того, чтобы записать оригинал f1(t) , предварительно найдем уравнение прямой ОА. Так как она проходит через начало координат и
имеет угловой коэффициент k = tgα = 32 , то ее уравнение y = 32 t . Выре-
жем из нее отрезок ОА с помощью единичного прямоугольного импульса (σ(t) −σ(t −2)), где σ(t) – единичная функция Хевисайда, а σ(t − 2) –
69
запаздывающая на две единицы. Тогда оригинал, соответствующий отрезку ОА, запишется в виде
f1(t) = 23 t (σ(t) −σ(t − 2)).
Оригинал, соответствующий отрезку АВ – это прямоугольный импульс высотой 3, то есть
f2 (t) = 3(σ(t −2) −σ(t − 4)).
Прямой CD соответствует запаздывающая на 4 функция Хевисайда высотой 2, то есть
3 f1(t) = 2σ(t − 4) .
Итак:
f (t) = |
3 t (σ(t) −σ(t − 2))+3(σ(t − 2) −σ(t − 4))+ 2σ(t − 4) |
||||||
или |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
f (t) = |
|
t σ(t) + |
− |
|
t +3 σ(t −2) |
−σ(t −4) . |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
Первое и третье слагаемые табличные. Подведем под табличные формулы второе слагаемое.
|
− |
3 |
|
|
|
|
3 |
(t − 2)σ(t − 2) . |
|
2 |
t +3 σ(t − 2) = − |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
3 t σ(t) − |
3 |
|
|
|
f (t) = |
(t − 2)σ(t − 2) −σ(t − 4) . |
|||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
По таблицам находим изображение, учитывая, что второе слагаемое опаздывает на 2 единицы, а третье – на четыре.
F( p) = |
|
3 |
|
1 |
|
− |
3 |
|
1 |
e−2 p − |
1 |
e−4 p |
|||
2 |
p2 |
2 |
p2 |
p |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: |
F( p) = |
3 |
−3e−2 p − 2 pe−4 p |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
2 p2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РАСЧЕТНО–ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №5
16. Найти интервал сходимости степенного ряда
выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
|
Решение. Введем |
новое |
переменное |
t = x −5 и |
||||
∞ |
t |
n |
|
|
1 |
|
|
1 |
∑ |
|
, где an = |
|
и an+1 |
= |
|||
(2n −1)3n |
(2n −1)3n |
|
||||||
n=1 |
|
|
(2(n +1) −1)3n+1 |
Найдем радиус сходимости степенного ряда
∑∞ (x −5)n и
n=1 (2n −1)3n
получим ряд
= +1 n+1 . (2n 1)3
70
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
1 (2n +1) 3n 3 |
|
|
|
2n +1 |
|
|
n 2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
R = lim |
|
= lim |
|
= |
3 lim |
= 3 lim |
|
|
|
n |
= 3 |
1 |
= 3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
|
|
(2n −1) |
3 |
n |
1 |
|
2n −1 |
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||
n→∞ |
|
n+1 |
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, интервал сходимости ряда ∑ |
|
|
(–3; 3), то есть |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
t (−3;3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 (2n −1)3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выясним вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
При t = −3 ряд принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∞ |
|
(−3) |
n |
|
∞ |
(−1) |
n |
3 |
n |
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∑ |
|
|
|
=∑ |
|
|
|
=∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(2n −1)3n |
(2n −1)3n |
2n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n=1 |
|
n=1 |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получили числовой знакочередующийся ряд, применим к нему признак Лейбница:
1) |
lim an |
= lim |
1 |
= |
1 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) |
a > a |
2 |
> a |
3 |
>..., в самом деле, 1 > 1 > 1 > 1 >... |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
7 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Значит, ряд сходится и t = −3 – точка сходимости ряда. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При t = 3 |
получаем ряд ∑ |
|
|
(u) . Сравним его с гармониче- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n=1 2n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ским рядом (v) |
∑ |
|
, который расходится. Применим предельный при- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
знак сравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
un |
= lim |
|
|
|
|
1 n |
|
|
= lim |
n |
|
|
|
= |
1 |
|
≠ 0. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
||||||||||||||||
n→∞ v |
n |
|
|
n→∞ (2n −1) |
|
n→∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 − |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
Значит, оба ряда ведут себя одинаково, то есть ряд (u) ∑ |
|
расхо- |
||
2n −1 |
||||
n=1 |
|
дится и t = 3 – точка расходимости.
∞
Таким образом, область сходимости для ряда ∑
n=1
−3 |
≤ t < 3. |
Перейдем к переменному х: |
|
−3 |
≤ x −5 < 3 или 5 −3 ≤ x < 5 +3; 2 ≤ x < 8 . |
Ответ: Область сходимости x [2;8).
t n
(2n −1)3n
71
17. Разложить заданную функцию f (x) = π4 − 12 х в ряд Фурье по
синусам на отрезке [0;π] и построить результирующую первых двух гармоник полученного ряда.
Решение. Так как по условию ряд должен содержать только синусы кратных углов, то следует продолжить заданную функцию на отрезок [−π;0] нечетным образом, затем продолжить на всю числовую ось с периодом Т = 2l = 2π . Теперь разложим полученную периодическую функцию в ряд Фурье (эта операция разложения называется гармоническим анализом) вида:
a20 + ∑∞ (an cos nx +bn sin nx).
n=1
Так как |
заданная |
функция нечетная, то коэффициенты ряда Фурье |
||||||||||||
a0 = 0, an = 0 , а bn |
вычисляем по формуле |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn = |
|
∫ f (x) sin nxdx |
(n =1,2,...) |
|||||||||||
π |
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и ряд Фурье имеет вид ∑bn sin nx . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
Подставляя заданную функцию, получаем |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
π |
π |
|
1 |
|
|
1 |
π |
(π − 2x)sin nxdx . |
||
b |
= |
|
|
|
|
|
− |
|
x sin nxdx = |
|
|
|||
π |
|
4 |
2 |
2π ∫ |
||||||||||
n |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по частям, полагая u =π − 2x, dv = sin nxdx . Отсюда
du = −2dx, v = ∫sin nxdx = − |
1 cos nx . Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
cos nx |
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
bn = |
|
−(π − 2x) |
|
|
|
|
|
∫cos nxdx |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|||||||||||
|
2π |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
−π cosπn |
|
|
π |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
sin nx |
|
π |
= |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2π |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
π |
(cosπn +1)− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
(sinπn −sin 0) |
= |
|
|
|||||||||||||||
|
2π |
|
|
|
n2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
0, еслип−нечетное, |
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
(cosπn +1)= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2π |
|
, |
|
еслип |
− четное. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, искомое разложение имеет вид
72
π − |
1 |
|
х = b sin x +b |
sin 2x +b |
sin 3x +b |
sin 4x +b sin 5x + |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+b |
|
sin 6x +... = 0 sin x + |
sin 2x +0 sin 3x + |
sin 4x + 0 sin 5x +... |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
π |
|
− 1 х = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x + |
sin 4x +... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
полученном |
|
|
разложении |
возьмем |
первые |
|
две гармоники: |
||||||||||||||||||||||||||||
y = |
1 |
sin 2x , |
y |
2 |
= |
1 |
|
sin 4x ; построим их графики; путем сложения y |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
y2 построим график результирующей |
y* = y1 + y2 и данной функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = |
π − |
1 х на отрезке [0;π]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,78 ≈ π |
|
|
|
|
|
|
у = π − |
1 |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0,5 = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
π |
|
π |
|
|
π |
|
|
π |
3π |
|
|
π |
|
|
|
2π |
|
|
|
3π |
5π |
|
π |
х |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
6 |
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
8 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
–1/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
–0,5 = – |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
–0,78 ≈ – π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
|
|
1 |
sin 2x (– – – – – ) |
y |
|
= |
|
1 |
|
sin 4x ( |
|
|
|
) |
|
y* = |
|
1 |
sin 2x + |
1 |
sin 4x (–×––×––×–) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
18. а) Найти разложение в степенной ряд |
по степеням х решения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциального уравнения |
y |
′′ |
= xy |
′ |
− y + e |
x |
, |
|
|
|
|
′ |
= 0 (запи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y(0) =1, y (0) |
сать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
73