Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный профессионально-педагогический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_6_FNP

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

934.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

8.182

Разложите

функцию

f x, y ey cos x по

f x, y, z 1 y

формуле

Маклорена

до

членов

3-го

порядка включительно.

y3 3x2 y

o r3 ,

ДЗ № 3 Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

8.187

Найдите

экстремумы

функции

двух

zmin 0,3 9

переменных

z x2 xy y2 3x 6y .

8.188

Найдите

экстремумы

функции

двух

переменных

zmax

z xy2 1 x y ,

x 0, y 0 .

8.189

Найдите

экстремумы

функции

двух

zmin

переменных

4y .

z 3x2 x3

3y2

В стационарной точке

экстремума

нет

8.190

Найдите

экстремумы

функции

двух

zmin 5,2 30

переменных

z xy x

y , x 0,

y 0 .

8.191

Найдите

экстремумы

функции

двух

min

1,3 10 18ln3

переменных

z x2 y2 2ln x 18ln y,

0, y 0 .

8.192

Найдите

экстремумы

функции

двух

min

2,1 28 ,

переменных

2, 1

z x3 3xy2 15x 12y .

max

8.193

Найдите

экстремумы

функции

двух

zmin 0,0 0 .

переменных

В стационарных

z 2x3 xy2 5x2 y2 .

точках

1, 4

экстремумов нет.

8.195

Найдите

экстремумы

функции

двух

zmax 0,0 2

переменных

		z 2 3				x2 y2					.
	8.202	Найдите						условные				экстремумы											функции				z				1,1 2
9			1		1																							min
		z x							при x y 2 .
		z x				y			при x y 2 .
	8.203	Найдите						условные				экстремумы											функции											1									1

																											zmin												,
																											zmin												,
				x y				4																										2
		z		x y				4		при x2 y2										1.														2										2
		z								при x2 y2										1.						1 2
10					2																					1 2												2,
10																															1													1
																															1													1
																											zmax
																											zmax										,
																															2															2
																										1 2
																										1 2											2.
	8.211	Найдите						наибольшее значение															функции			а)				zнаиб(1,0) 6 ,
11		z x 2y 5 в областях:																								б)				zнаиб(0,0) 5 .
11		а) x 0 ,					y 0 , x y 1;
		а) x 0 ,					y 0 , x y 1;
		б) x 0 ,					y 0 , y x 1.

	8.212	Найдите							наибольшее									и				наименьшее					zнаиб 3,0
12		значения функции																								zнаиб 0,3 6,
12		z x2			y2 xy x y										в области									x 0 ,			z	наим				1,1 1.
		y 0 ,			x y 3.																							наим
		y 0 ,			x y 3.

	8.213	Найдите							наибольшее									и				наименьшее												1														1						1
																											zнаиб
																																									,											,
																																									,											,
		значения функции																																		2													2					2
13		значения функции																																		2													2					2
13		z xy в области x2										y2 1.																						1												1									1
		z xy в области x2										y2 1.																						1												1									1
																											zнаим
																											zнаим														,											.

																																				2													2						2
																																				2													2						2
	8.229	Найдите уравнения касательной плоскости																								а) x y 2z 1 0,
		и нормали к следующим поверхностям в																												π											π										1
		указанных точках:																									x						y															z 2					;
																											x			4			y								4							z 2
																												1
																				π								1							1														-2

14		а)	z sin xcos y в точке													π			,		,	1	,			б) x ez 2 0,
14		а)	z sin xcos y в точке																,		,	1	,			б) x ez 2 0,
																				4																																1
														4						4		2							x 1π								y													z e .
																													x 1π								y													z e .
		б)	z ex cos y в точке																											1											0											e
		б)	z ex cos y в точке									1,π,1					.													1											0											e
														e
														e
	8.230	Найдите расстояние от начала координат																																								π					a
	8.230	Найдите расстояние от начала координат																																								π					a
		до касательной плоскости к поверхности


15																																									2					6
15							x						πa																												2					6
		z y tg					x						πa
		z y tg							в точке					,a,a .

	8.231				a							4															cosα									1 ,
	8.231	Найдите углы, которые образует нормаль																									cosα									1 ,


																									π													6
		к поверхности z arctg													x					в точке 1,1,					π
16		к поверхности z arctg																		в точке 1,1,					4																1
16														y											4
																											cosβ																			,
																											cosβ																			,
																																									6
		с осями координат.																																							6
		с осями координат.																																						2
																											cosγ													2					.
																																									6
																																									6

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Студент

Группа

Преподаватель

Вариант

Дата

Екатеринбург

2011

Вариант № 1

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= 2 x3 −3 y3 . x2 +5 y2

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

	2.1.			z =	u2	,	где	u = x −2y,	v = x +2y
	2.1.			z =		,	где	u = x −2y,	v = x +2y
					v
	2.2.			z = exy ln(x + y) , где x = 2t2 ,					y =1−2t2
3.	Вычислить приближенно(1.03)3 (0.97)2 , заменяя приращение функции
дифференциалом.										dy
4.	Найти производные от функций, заданных неявно:									dy	для x3 + y3 −3xy = 0 и
∂z	, ∂z для ez									dx
∂z	, ∂z для ez		− xyz = 0 .
∂x	∂y
5.	Найти	∂10u		, если u = exy .
5.	Найти	∂x2∂y8		, если u = exy .
		∂x2∂y8

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = −x2 − xy − y2 + x + y .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x −2y −3 в области 0 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤1,0 ≤ x + y ≤1.

8.Найти условные экстремумы функции z = 1x + 1y при x + y = 2 .

9.Для данной поверхности z =1+ x2 + y2 составить уравнения касательной

плоскости и нормали в точке M(1,1,?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = ex cos y в окрестности точки (0,0).

Вариант № 2

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= xy .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.	z = arctg u ,			где u = x sin y, v = x cos y;
		y	v
2.2.	z =		,	где x = et , y =1−e2t .

		x

3. Вычислить приближенно4.052 +2.932 , заменяя приращение функции дифференциалом.

4. Найти производные от функций, заданных неявно: dydx для

x4 −6x2 y2 +9y4 −5x2 +15y2 −100 = 0: и					∂z	,	∂z	для sin(xy) +cos(xz) + tg(yz) = 0 .
					∂x		∂y
5. Найти	∂3u	и	∂3u	, если u = sin(xy) .
5. Найти	∂x2∂y	и	∂x∂y2	, если u = sin(xy) .
	∂x2∂y		∂x∂y2

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = x3 + y3 −3axy .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 + y2 −12x +16y в области x2 + y2 ≤ 25.

8.Найти условные экстремумы функции z = 1x − 3y при 3x − y = 6 .

9.Для данной поверхности x2 + y2 − z2 = −1 составить уравнения касательной

плоскости и нормали в точке M(2,2,3).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = ex ln(1+ y) в окрестности точки (0,0).

Вариант №3

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z = esin

Найти производные сложных функций по каждой из независимых

переменных.

2.1.

z = u2v −v2u ,

где u = x cos y, v = x sin y;

2.2.

z = arctg

x +1

где

y = e(1+x)2 .

Вычислить приближенно0.971.05 , заменяя приращение функции

дифференциалом.

Найти производные от функций,

заданных неявно:

для

x sin y + y sin x = 0

∂z ,

∂z для

= ln

∂x

∂y

5.Найти ∂x∂48∂uy4 , если u = x4 cos y + y4 sin x .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = e2x (x + y2 +2y) .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = xy в области x2 + y2 ≤1.

8.Найти условные экстремумы функции z = xy2 при x +2y =1.

9.Для данной поверхности z = ln(x2 + y2 ) составить уравнения касательной

плоскости и нормали в точке M(1,0,?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = x y в окрестности точки (1,1).

Вариант №4

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= x2 − y2 .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.

z = u eu / v ,

где u = x2 + y2 ,

v = x y;

2.2.

z = ln sin

где x = 3t2 , y =

t2 +1.

Вычислить приближенно1.0023 2.0032 , заменяя приращение функции

дифференциалом.

Найти производные от функций, заданных неявно:

для

+ey / x − 3

= 0

∂z

, ∂z

для

=1.

∂x

∂y

5.Найти ∂x∂410∂uy6 , если u = sin x cos 2y .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = x2 − xy + y2 .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = xy2 в области x2 + y2 ≤1.

8. Найти условные экстремумы функции z = 25xy2 при x −10y =1.

9. Для данной поверхности z = sin x cos y составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке M( π4 ;π4 ,?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции

z = arctg	x − y	в окрестности точки (0,0).
z = arctg	1+ xy	в окрестности точки (0,0).
	1+ xy
		Вариант №5

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

			z =		5x	.
			z =			.
				x	2 + y2
2.	Найти производные сложных функций по каждой из независимых
переменных.
	2.1.	z = u ln v ,	где u = 2x + y,		v = x − y2 ;
	2.2.	z = uv ,	где u = sin t,v = cost.
3.	Вычислить приближенноsin 29o tg46o , заменяя приращение функции
дифференциалом.

4. Найти производные от функций, заданных неявно: dydx для

x2 sin y + y3 cos x −2x −3y +1 = 0 и	∂z	,	∂z	для	x	= ln	z	.
	∂x		∂y		z
							y

5.Найти ∂∂x10∂yu9 , если u = (x2 + y)10 tgx .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = x2 − xy − y2 .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x −2y +5 в области x ≤ 0, y ≥ 0, y − x ≤1.

8.Найти условные экстремумы функции z = x y при x + y =1.

9.Для данной поверхности z = x y составить уравнения касательной плоскости

и нормали в точке M(1;1;?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = ex+y в окрестности точки (1,−1).

Вариант №6

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= ln(x +x2 + y2 ) .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.

z = ln(u2 +v2 ) ,

где

u = xy, v =

;

2.2.

z = 1 ln u , где

u = tg2t,v = c tg2t.

Вычислить приближенно

1.023 +1.973

, заменяя приращение функции

дифференциалом.

Найти производные от функций,

заданных неявно:

для

=1 и

∂z

∂x

∂z

для z ln(x + z) − xy

= 0 .

∂y

Найти

∂m+nu

, если u = xm yn .

∂xm∂yn

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = x2 −2xy +2y2 +2x .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 + y2 − xy − x − y в области x ≥ 0, y ≥ 0, y + x ≤ 3.

8.Найти условные экстремумы функции z = 4xy при x + y = −1.

9.Для данной поверхности z = arctg xy , составить уравнения касательной

плоскости и нормали в точке M(1;1;?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = e y cos x в окрестности точки (0,0).

Вариант №7

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z = arctg

Найти производные сложных функций по каждой из независимых

переменных.

2.1.

z = u2 ln v ,

где

u = x / y,

v = 3x −2y;

2.2.

z =

x2 − y

где

y = 3x +1.

x2 + y

Вычислить приближенно ln(3

+ 4

−1) , заменяя приращение функции

1.03

0.98

дифференциалом.

заданных неявно: dy для

Найти производные от функций,

x2/3 + y2/3 = a2/3 и

∂z

, ∂z для x + y + z = e−( x+y+z) .

∂x

∂y

Найти ∂4u

∂4u

, если u = x − y + x2 +2xy + y2 + x3 −3x2 y − y3 + x4 −4x2 y2 + y4 .

∂x2∂y2

∂x4

∂x3∂y

Исследовать на максимум и минимум функцию

z = x3 + y3 − x2 −2xy − y2 , x > 0, y > 0 .

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x3 + y3 −3xy в области 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2.

Найти условные экстремумы функции z = 2x +3y при x2 + y2

=1.

Для данной поверхности

=1 составить уравнения касательной

плоскости и нормали в точке M( a

, b

, c

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = xy в окрестности точки (1,1).

Вариант №8

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= ln sin x +ya .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.	z = u / v ,	где u = x2 − y2 ,		v = exy ;
					1				.
2.2.	z = cos(2t +4x2 − y) ,		где	x =		, y =		t
					t
							ln t

3. Вычислить приближенно(1.04)2.02 , заменяя приращение функции дифференциалом.

4. Найти производные от функций, заданных неявно:		dy	для	tg(y) = xy и	∂z	,
∂z		dx			∂x
∂z	для xey + yex + zex = a.
∂y

5.Найти ∂∂x23u∂y , если u = x ln(xy) .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = x3 −2y3 −3x +6y .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = xy − x2 y − xy22 −3 в области 0 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤ 2.

8. Найти условные экстремумы функции z = x − y при x2 + y2 =1.

9. Для данной поверхности x3 + y3 + z3 + xyz −6 = 0 составить уравнения

касательной плоскости и нормали в точке M(1,2,?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z y 1 x в окрестности точки 1,2 .

Вариант №9

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= exy( x2 +y2 ) .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.

z = uv ,

где

u =

, v =

;

1−2xy

2.2.

где

z = arcsin

y =

x2 +1.

Вычислить приближенно arctg

1.02

, заменяя приращение функции

0.95

дифференциалом.

∂z

Найти производные от функций, заданных неявно:

для

xy = arctg

: и

∂x

∂z

для x2 + y3 + z4

= x + z.

∂y

Найти

∂3u

если u = exyz .

∂x∂y∂z

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = x3 −2x2 y2 + y4 , x > 0, y > 0 .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = −8x2 y +3 в области x2 + y2 ≤ 4.

8. Найти условные экстремумы функции z = x +5y при x2 + y2 =1.

9. Для данной поверхности xy2 + z3 =12 составить уравнения касательной

плоскости и нормали в точке M(1,2,?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = ex sin y в окрестности точки (0,0).

Вариант №10

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= x sin(5x − y2 ) .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.

z = cos2 (u / v) ,

где

u =1+ x2 y, v = y − x;

2.2.

z = ex−2 y ,

где

x = sin t, y = t3.

Вычислить приближенно

, заменяя приращение функции

4.052 +3.072

дифференциалом.

Найти производные от функций, заданных неявно:

для arctg(x + y) = x : и

∂z

, ∂z для x2

+ z2 − xz + xy4 −1 = 0.

∂x

∂y

Найти ∂3u

∂3u

, если u = ex2 y .

∂x2∂y

∂x∂y2

∂y3

∂x3

(0,1)

Исследовать на максимум и минимум функцию z = xy +

2(x + y)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 + y2 +12x −16y +2 в области x2 + y2 ≤ 25.

8.Найти условные экстремумы функции z = 2x + y при 4x2 + y2 =1.

9.Для данной поверхности z = sin xy составить уравнения касательной

плоскости и нормали в точке M(1, π,?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = xy в окрестности точки (1,1).

Вариант №11

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= cosyx2 .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Arkhiv_ZIP_-_WinRAR

#
29.05.20151.95 Mб18Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy.pdf
#
29.05.20154.52 Mб26Chast_2_Vekt_i_anal_2010_07_29.pdf
#
29.05.20154.89 Mб19Chast_3__Mat_an_2010_23_09.pdf
#
29.05.20151.09 Mб37Chast_5_DifUr.pdf
#
29.05.2015934.06 Кб26Chast_6_FNP.pdf
#
29.05.2015608.76 Кб16Модуль 2_4 Формулы пр.pdf