Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный профессионально-педагогический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_6_FNP

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

934.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Из первого	уравнения	y = −	λ	,	из второго
x = λ ,			2
x = λ ,
Подставим	х и у	в третье			уравнение:

−λ + 2 − λ =1

	λ				= −			1 x = −											1	, y =				1					существует одна
								2											2					4
	критическая точка																								1	,	1	,−	1
	критическая точка																				P −				2	,	4	,−	2	.
																									2		4		2
	Вычислим производные
		∂2 L			= 0;					∂2 L						= −2;					∂2 L			= 0; ∂ϕ					= −1;		∂ϕ	= 2 .
		∂ x2			= 0;				∂ x∂ y							= −2;					∂ y2			= 0; ∂ϕ					= −1;			= 2 .
		∂ x2							∂ x∂ y												∂ y2						∂ x				∂ y
	Составим определитель
							0			−1							2
							0			−1							2
	∆ = −					−1 0 − 2													= −(4 + 4) = −8 < 0
							2			− 2							0
	в			точке												1		,	1	,−		1			-		максимум. Вычислим
	в			точке							P −					2		,	4	,−		2			-		максимум. Вычислим
																2			4			2
					−		1	,	1				1				.
		zmax			−		2	,	4		=		4				.
							2		4				4
	Найдите наибольшее и наименьшее значения
	функции z = −6xy +10 в области 4x2																														+ 9 y2 ≤1.
	РЕШЕНИЕ
	Область										представляет																						zнаиб		1				,−					1			=
																																			1									1
	внутренние																						и
																																		2			2					3				2
	граничные																		точки																				1							1
																																						2			2
																																						2			2				3		2
										x2						y2																	= zнаиб −										,							=
	эллипса									x2		+				y2			≤1.														=	21
																																		2
									1 4					1 9																				2		1							1
№27									1 4					1 9

	Найдем критические точки внутри области																																zнаим							,									=

																																			2			2				3				2
																																			2			2				3				2
																																									1								1
		∂ z																															= zнаим			−									,−						=
																																	= zнаим			−									,−						=
					= −6y = 0																																		2				2					3		2

				∂ x																													=	19
				∂ x										P1 (0,0) внутри																		области	=	19
				∂ z										P1 (0,0) внутри																		области		2
				∂ z	= −6x = 0
					= −6x = 0
				∂ y
				∂ y
	существует одна критическая точка P1 (0,0).
	Вычислим значение функции z в этой точке:
		z		P = − 6xy +10											P		=10 .
		z		P = − 6xy +10											P		=10 .
			1													1

Наибольшее и наименьшее значения функции могут достигаться либо в критических точках внутри области, либо на ее границе.

Границей области является эллипс 4x2 + 9 y2 =1.

		.
Выразим y через x : y = ±	(1 − 4x2 )
Выразим y через x : y = ±	3
	3

Тогда на границе области функция z представляет собой функцию одной переменной

z = 2x1 − 4x2 +10 .

Исследуем ее на экстремум как функцию одной переменной:

	dz																				8x		2										1 −8x							2
														2									2																	2
						1 −					4x			2															=																		0
															−																													=
	dx	= 2													−							− x			2						2			1 − 4x							2			=
	dx														2 1							− x												1 − 4x
	x = ±					1					y = ±											1			.

				2			2													3			2
				2			2													3			2
	То	есть									на					границе														области											существуют
	следующие												критические																		точки														1					1
																																							P2									,				,
																																							P2									,				,
																																										2					2		3		2
	1					−1																	1							1													1							1
	P3			,									,			P4				−							,					,				P5		−									,−					.

		2 2			3 2																	2 2																			2 2								2 2
		2 2			3 2																	2 2						3 2													2 2								2 2
	Вычисляя значения функции в этих точках,
	получим												z(P2 )= z(P5 )=																19 ,								z(P3 )= z(P4 )=														21 ,
	z(P1 )=10.																												2																						2
	z(P1 )=10.
				1										1																	1						1								21
	zнаиб							,−										= zнаиб											−					,									=			2			;

																															2 2					3 2
		2 2											3 2																		2 2					3 2
					1								1																		1							1									19
	zнаим								,										= zнаим									−					,−											=			2			.

			2 2																											2 2							3 2
			2 2									3 2																		2 2							3 2
	Найдите наибольшее и наименьшее значения
	функции z = xy − x2 y − xy2																											− 3 в области D :
	0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2 .																							2																															1	,	2	=
	0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2 .																																																				zнаиб		3	,	3	=
№28	РЕШЕНИЕ																																																						3		3
	РЕШЕНИЕ																																																				= −	79
	Функция									достигает																своих									наибольшего																	и	= −	79
	Функция									достигает																своих									наибольшего																	и		27
	наименьшего														значений															либо						в				критических													zнаим(1,2) = −5
	точках внутри области, либо на ее границе.
	Найдем критические точки внутри области																																					D .
	Для				этого												воспользуемся																					необходимым

условием экстремума

∂ z

= y − 2xy − y

(0,2)

(1,2)

= 0,

∂ x

∂ z

(1,0)

P (0,0)

= x − x

− xy = 0.

∂ y

Из первого уравнения:

							y = 0,
								y
	y ≠ 0 1− 2x						−	y	= 0 y = 2 − 4x.
	y ≠ 0 1− 2x						−		= 0 y = 2 − 4x.
							2
	Из второго уравнения:
		x = 0,

	x ≠ 0 1− x − y = 0.
	Следовательно, возможны следующие варианты:
	P1 (0,0), P2 (0,2), P3 (1,0), P4										1	,	2
	P1 (0,0), P2 (0,2), P3 (1,0), P4										3	,	3	.
											3		3
	Найдем критические точки на границе области:
	1)	x = 0, 0 ≤ y ≤ 2 , z = −3 во всех точках границы;
	2) x =1, 0 ≤ y ≤ 2						, z = −				y2		− 3, z′y = −y = 0 y = 0
	2) x =1, 0 ≤ y ≤ 2						, z = −						− 3, z′y = −y = 0 y = 0
											2
	P7 (1,0) и, кроме того, граничная точка P8 (1,2) ;
	3)	y = 0, 0 ≤ x ≤1,									z = −3				во всех				точках
	границы.
	4)	y = 2, z = −2x2				− 3, z′x = −4x = 0 x = 0 P11 (0,2) .
	Осталось вычислить
	z(0,0) = −3, z(1,0) = −3, z(0,2) = −3,
			1	,	2		= −		79	.
	z(1,2) = −3, z		3	,	3		= −		27	.
			3		3				27
		Наибольшее						значение								1	,	2	= −	79	,
		Наибольшее						значение							zнаиб	3	,	3	= −	27	,
	наименьшее zнаим(1,2) = −5 .															3		3		27
	наименьшее zнаим(1,2) = −5 .
	Найдите условные экстремумы функции																							1		1		1
	z = −2xy при условии − x + 2 y =1 .																				z		−	1	,	1	=	1
№29	z = −2xy при условии − x + 2 y =1 .																				z		−	2	,	4	=	4
№29	РЕШЕНИЕ																					max		2		4		4
	РЕШЕНИЕ
	Обозначим					ϕ(x, y) = −x + 2y −1.												Составим

функцию Лагранжа L = −2xy + λ (−x + 2 y −1) .

Найдем ее критические точки:

	∂ L	= −2 y − λ = 0,
	∂ L
	∂ x
	∂ x
	∂ L	= −2x + 2λ = 0,
	∂ L
	∂ y
	∂ y
	∂ L	= (− x + 2 y −1)= 0.

	∂λ
	∂λ
Из		первого	уравнения	y = −	λ	,	из второго
x = λ ,					2
x = λ ,
Подставим			х и у	в третье			уравнение:

−λ + 2 − λ =1

λ = −

x = − 1

y = 1

существует

одна

критическая точка

,−

P −

Вычислим производные

∂2L

= 0;

∂2L

= −2;

∂2L

= 0;

∂ϕ

= −1;

∂ϕ

= 2 .

∂x2

∂x∂ y

∂ y2

∂x

∂ y

Составим определитель

−1

∆ = −

−1 0 − 2

= −(4 + 4) = −8 < 0

− 2

в точке

−

,−

- максимум.

Вычислим z −

Для поверхности

+ y2 + z2 =169

составьте

уравнение касательной плоскости и нормали в

точке M (3,4,12) .

3x +4y +12z −169 = 0,

РЕШЕНИЕ

№30

x −3

y −4

z −12

Перепишем

уравнение

поверхности в

виде 3

F(x, y) = x2 + y2 + z2 −169 = 0 .

Тогда уравнение касательной плоскости примет

вид

∂ F

(x − x0 ) + ∂ F

( y − y0 ) +

∂ F

(z − z0 ) = 0

∂ x

∂ y

∂ z

где M (x0 , y0 , z0 ) ,

M (x − x0 ) + 2 y

M ( y − y0 ) + 2z

M (z − z0 ) ,

6(x − 3) +8( y − 4) + 24(z −12) = 0 ,

3x + 4y +12z −169 = 0.

Уравнения нормали имеет вид:

x − x0

y − y0

z − z0

x − 3

y − 4

z −12

∂ F

∂ x

∂ y

∂ z

x − 3

y − 4

z −12

На эллипсоиде x2 +2y2 +4z2 =8 найдите точку,

наиболее удаленную от точки (0, 0, 3).

РЕШЕНИЕ

Расстояние ρ между точками (x, y, z) и (0, 0. 3) определяется формулой ρ = x2 + y2 +(z −3)2 .

Поэтому исходная задача равносильна задаче об условном максимуме функции

u = ρ2 = x2 + y2 +(z −3)2 при условии связи

	x	2 +2y2 +4z2					=8 .		(2,0,−1),
№31	x	2 +2y2 +4z2					=8 .		(−2,0,−1)
	Составим функцию Лагранжа								(−2,0,−1)


	L = x2 + y2 +(z −3)2 + λ(x2 + 2y2 + 4z2 −8) и
	рассмотрим систему уравнений
		∂L		= 2x + 2λx = 0,
		∂x		= 2x + 2λx = 0,
		∂x
		∂L
		∂L		= 2y + 4λy = 0,
		∂y		= 2y + 4λy = 0,
		∂y
		∂L		= 2z −6 +8λz = 0,
		∂z		= 2z −6 +8λz = 0,
		∂z
			2	+ 2y	2	+ 4z	2	= 8.
	x			+ 2y		+ 4z		= 8.
	Так как эллипсоид более всего вытянут вдоль

оси Ox, то абсцисса искомой точки не может

быть равна нулю, т.е. x ≠ 0 . Поэтому из первого уравнения системы следует, что λ = −1. Тогда из второго и третьего уравнений системы имеем y = 0, z = −1. Наконец, из последнего уравнения системы находим x = ±2. Итак, функция u имеет две точки возможного условного максимума M1 (2,0, −1) и M2 (−2,0, −1). Предполагая, что в условие связи подставлено его решение

z = z (x, y) и дифференцируя полученное тождество, находим

x dx +2y dy +4z dz = 0, откуда dz = − 4xz dx − 2yz dy.

Теперь вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа

d 2 L = 2(1+ λ)(dx)2 + 2(1+ 2λ)(dy)2 + 2(1+8λ)(dz)2 ,


и, подставляя λ = −1, координаты точки M1				или
M2	и выражение для dz , получаем в каждом
случае		отрицательно	определенную
квадратичную форму от двух переменных				dx ,
dy :	−2(dx)2 −3,5(dx)2 . Отсюда		следует,	что
функция u		имеет в точках M1 и	M2 условный

максимум. На эллипсоиде имеются две точки M1 (2,0, −1) и M2 (−2,0, −1), наиболее удаленные от

точки (0,0,3).

3. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

ДЗ № 1 Область определения, предел, непрерывность

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

8.4

Найдите область

определения

функции

x2 y2 R2

двух переменных

R2 x2 y2 ,(R const) .

8.14

Найдите область

определения

функции

Два

тупых

двух переменных

вертикальных

угла,

z arccos

образованных

прямыми

y 0 и

x y

y 2x ,

включая

границу

без

общей

вершины 0,0

8.21

Найдите область

определения

функции

x2 y2 z2 1

трех переменных

u ln 1 x2 y2 z2

8.22

Найдите область определения функции n

n -мерный куб

переменных

1 xk 1

k 1, 2, ...,n

1 x12

1 x22

......

1 xn2 .

8.24

Для функции f

x, y

2x 3y

2,1

3x 2y

найдите: f

2,1 ,

1,2

f 3,2

a,a

1,2

4 ,

f a, a .

3,2

0 ,

f a,a 1,

f a, a 1

8.25

2xy

Для функции f x,

f 3, 4 25

f 1,

найдите: f 3,4

f 1,

f x, y

8.31

Даны

функции:

f x, y x2

y2 ,

а) cos2x ,

j x cos x ,

y x sin x .

б) cos x2 y2

Найдите: a) f

x ,y x

; б)

x, y

8.32

Найдите предел lim

-6

xy 00

3 xy

8.33

Найдите предел lim sin xy .

x 0

y 0

8.34

Найдите предел lim sin xy .

x 0

y 0

8.35

Найдите предел lim 1 x2

1/ x2

x 0

y 0

8.36

Найдите предел lim x2

y2 sin

8.44

Найдите

точки

разрыва

функции

двух

переменных z

x 1

y 1

8.49

Найдите

точки

разрыва

функции

двух

Линии разрыва -

переменных z

окружность

x y 1 и

x y 1

гипербола x2 y2 1

8.50

Найдите

точки

разрыва

функции

трех

Поверхности разрыва-

переменных z

координатные

xyz

плоскости

x 0,

y 0, z 0 .

ДЗ № 2

Производные, дифференциалы, формула Тейлора

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

8.59

Найдите частные производные 1-го и 2-го

cos y2

порядков от функции z

cos y2

2ysin y

2 z

2cos y2

2 z

2ysin y2 ,

x y

2 z

2sin y2

4y2 cos y2

8.66

Для функции

'x 3,2 56 ,

f x, y x3 y xy2

2x 3y 1 найдите:

'y 3,2 42,

f 'x 3,2 ,

f 'y 3,2 ,

''xx 3,2 ,

f ''xy 3,2 ,

''xx 3,2 36 ,

f ''yy 3,2 .

''xy 3,2 31,

f ''yy 3,2 6

8.70

Для

функции

f x, y e

x2 y

найдите

'''

xxx

0,1

0 ,

f '''

0,1

f '''

0,1 ,

f '''

0,1

'''

xxy

0,1

xxx

xxy

xyy

'''

xyy

0,1

0 ,

f '''

0,1

yyy

'''

yyy

0,1

8.78

Вычислите

r2 cos

, если

x = r cosθcosϕ,. y = r cosθsin ϕ,

z = r sin θ.

8.87

Найдите

полное

приращение

и z 0.33 ,

dz 0.3.

дифференциал функции

z x2

xy y2 , если x изменяется от 2 до

2.1, а y - от 1 до 1.2.

6	8.96	Вычислите приближенное значение							2.95

			1.02	3	1.97	3 .

7	8.97	Вычислите				приближенное		значение	0.227
7		sin 280 cos610 .
	8.99	Прямоугольный параллелепипед имеет							Уменьшится	на
		измерения: a 2м ,					b 3м ,	c 6м .	1.57см

Найдите приближенно величину

8изменения диагонали параллелепипеда, если a увеличится на 2 cм , b- на 1см , а c уменьшится на 3см .

8.102

Найдите

дифференциалы

1-го

2-го

dz xdy ydx

порядков функции

( x ,

y ,

z -

независимые

переменные).

dxdy

dy2 ).

8.112

Найдите d 6u , если u ln x y z .

5! dx dy dz 6

x y z 6

8.114

Найдите

dz ,

если

z e2x 3 y ,

где

x tgt ,

e2x 3 y

y t

t .

2sec

t 3 2t 1 .

8.116

z arctg

2e2t x y

Найдите

если

где

x2 y2

8.120

x e2t 1,

y e2t 1.

если

z u2 ln v,

где

z 2u ux y ln2 v ,

Найдите

z ,

, v x2 y2 .

ln v

8.121

Найдите

dz ,

если

z u2v v2u ,

где

dz ( 2uv v2 sin y

u xsin y , v y cos x.

2uv

ysin x)dx

2uv

xcos y

(

cos x)dy.

2uv

8.140

2 y

y2e2x xe2 y

Найдите

, если x

0 .

x2e2 y ye2x

8.141

Найдите

, если ysin x cos x y 0.

y cos x sin x y

sin x y sin x

8.181

Функцию

f x, y, z 8

f x, y, z x

2 xy xz yz

8 y 1 4 z 2

разложите по формуле Тейлора в

y 1

окрестности

точки

1, 1, 2

до

членов

z 2

2 x 1 y 1

второго порядка

2 x 1 z 2

2 y 1 z 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Arkhiv_ZIP_-_WinRAR

#
29.05.20151.95 Mб18Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy.pdf
#
29.05.20154.52 Mб26Chast_2_Vekt_i_anal_2010_07_29.pdf
#
29.05.20154.89 Mб19Chast_3__Mat_an_2010_23_09.pdf
#
29.05.20151.09 Mб37Chast_5_DifUr.pdf
#
29.05.2015934.06 Кб26Chast_6_FNP.pdf
#
29.05.2015608.76 Кб16Модуль 2_4 Формулы пр.pdf