
Лекция 9
Характеристики СМО типа (m,n).
Основной
характеристикой СМО типа (m, n) являются
вероятности
того, что в момент времени t СМО находится
в состоянии
.
Для функций
можно построить систему дифференциальных
уравнений, допускающую явное решение.
В основе соответствующих построений
лежат два обстоятельства, на которые
мы укажем, но сами построения оставим
за пределами данного курса лекций.
Первое
обстоятельство. Положим
;
тогда, в соответствии с правилом умножения
матриц и формулой полной вероятности,
окажется выполненным равенство
,
где, как и было ранее, символ P обозначает матрицу переходных вероятностей.
Второе
обстоятельство. Матрицу
можно
подробно описать в процессе, когда
.
Если в этом описании обозначать через
любую бесконечно малую при
,
то вот результат соответствующего
описания:
Если
теперь перейти в этих соотношениях к
пределу при
,
то получатся дифференциальные уравнения
относительно искомых функций
;
вот вид соответствующей системы
уравнений:
(9.1)
где A - матрица из констант.
Сформулируем теперь знаменитую теорему о финальных вероятностях, на которой основаны дальнейшие сведения о СМО типа (m, n):
Все функции
имеют предел при
.
Все производные
при
.
Положим
;
числа
называются финальными или стационарными
вероятностями.
Если
в (9.1) перейти к пределу при
,
то, с учетом теоремы о финальных
вероятностях, получим систему линейных
алгебраических уравнений относительно
финальных вероятностей:
С
учетом всего сказанного выше эту
последнюю алгебраическую систему можно
записать явно и, так же в явном виде, -
решить. Отметим, что при этом решении
надо будет воспользоваться тем, что по
смыслу
.
Приведем лишь результат решения,
обозначив для удобства через
:
Приведем теперь основные характеристики рассматриваемых СМО.
Вероятность
того, что в СМО занято обслуживанием
ровно k устройств равна
,
.
Вероятность
отказа заявке есть число
.
Число занятых устройств в СМО есть, очевидно, величина случайная. Ее математическое ожидание - это среднее число занятых устройств. Оно может быть вычислено и вот результат:
Если
- среднее число простаивающих устройств,
то, очевидно,
Часто
используются коэффициенты простоя
и занятости
(эти формулы и представляют собой
определения):
.
Относительная
пропускная способность СМО - это дробь
,
в числителе которой указывается
количество обслуженных заявок, а в
знаменателе - общее число заявок,
поступавших в СМО. Можно заметить, что
Абсолютная пропускная способность A - это среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени:
Среднее
число заявок, ожидающих в очереди -
величина-
может быть вычислено как соответствующее
математическое ожидание; вот результат:
Среднее число заявок, поступающих в СМО, - это число
Среднее время W ожидания заявки в очереди также представляет собой величину, которую рассчитывают как математическое ожидание. Соответствующий результат оказывается таким:
И, наконец, последняя характеристика: среднее время пребывания заявки в СМО - число V:
Лекция 10
Эрланговские СМО и СМО с неограниченной очередью, их основные характеристики.
СМО без ожидания или эрланговские СМО - это такие СМО, в которых нет места для очереди; если узел обслуживания занят в момент прихода очередной заявки, то заявка теряется. Предполагается, что в эрланговских СМО входной поток заявок обязательно пуассоновский, а время обслуживания - экспоненциальное.
Легко
заметить, что эрланговские СМО - это СМО
типа (m,n) при
.
Поэтому все рассуждения о СМО типа (m,n)
можно адаптировать к этому частному
случаю. В этом числе, формулы Эрланга -
формулы, выражающие вероятности
- можно
получить
из формул для финальных вероятностей
СМО типа (m,n) при
.
Вот результат (по-прежнему
):
В
частности, вероятность отказа равна
,
среднее число занятых устройств равно
,
относительная пропускная способность
,
абсолютная пропускная способность
.
Рассмотрим
второй «крайний» случай СМО типа (m,n),
когда
.
Это означает, что очередь может быть
как угодно большой. Вероятности
имеют здесь смысл при любом целом
неотрицательном k. Выражение для
можно получить предельным переходом
при
из выражения для
в случае (m,n). Если
,
то все требования находятся на
обслуживании, а очередь пуста;
соответствующая вероятность:
при
на обслуживании находятся n заявок и
k-n находятся в очереди; соответствующая
вероятность:
Для
вычисления
воспользуемся тем фактом, что, как и
положено вероятностям полной группы
событий,
.
Отсюда -
;
вероятность
будет отлична от нуля только при одном
условии: геометрическая прогрессия,
стоящая в скобках в последнем соотношении,
сходится. Это возможно только при условии
.
Это
неравенство называется условием
стационарности СМО с ожиданием (не
путать с общим понятием стационарности
СМО!). Если
,
то это означает, что СМО не справляется
с обслуживанием и очередь всё
возрастает.
Если
же условие стационарности
выполнено, то
.
По
смыслу легко заметить, что в рассматриваемых
СМО вероятность отказа равна 0,
относительная пропускная способность
равна 1, абсолютная пропускная способность
равна
.
Среднее число занятых устройств:
Среднее число простаивающих устройств:
.
Параметр
называется уровнем загрузки СМО.
Среднее число требований, ожидающих в очереди в обсуждаемых СМО:
Среднее число заявок, находящихся в СМО:
Среднее время ожидания заявки в очереди:
И, наконец, среднее время пребывания заявки в СМО:
.