Лекция 5

Общее решение задачи Джонсона методом ветвей и границ.

Пусть - множество работ, которые выполняются наm ма-шинах, причем все работы проходят имеющиеся машины в одной и той же последовательности. Требуется найти такой порядок запуска работ на испол-нение, при котором суммарное время простоя всех машин будет минималь-ным.

Очевидно, что имеется всего таких порядков запуска на исполнение, каждый из которых представляет собой перестановкуномеров работ.

Организацию полного перебора вариантов можно, в частности, провести методом ветвей и границ. Перед тем, как описать применение этого метода к поставленной задаче, заметим, что искомая последовательность ра-бот, минимизирующая суммарное время простоя машин, является минимизи-рующей и общее время выполнения всех работ. Ниже мы будем искать эту последовательность работ, как обладающую именно этой последней характе-ристикой: минимальное время выполнения всех работ.

Для большей ясности мы будем далее предполагать, что .

Итак, пусть  - множество всех последовательностей. Пусть- функция, сопоставляющая каждому расписаниювремя завершения всех работ. Требуется найти минимум этой функции.

Согласно методу ветвей и границ, нужно построить оценочную функ-цию на множестве подмножеств множества  и систему разбиений этого множества, приводящую к рекорду.

Построим три вспомогательные функции на множестве  подмножеств множества , которые обозначим, соответственно, . Пусть символобозначает множество всех расписаний, начинающихся с последовательности. Очевидно, символобозначает мно-жество, состоящее из единственного элемента.

Итак, пусть

Таким образом, - время окончания исполнения работынаk-ой машине. Далее определим функции рекуррентно:

,

,

.

Теперь можно построить сразу три оценочных функции для множеств , которые будем обозначать так:₁, ₂ и ₃. Вот их определение (мы будем обозначать для удобства записи черезx и через те работы из множества, которых нет среди работ):

;

;

.

Тот факт, что эти функции - оценочные, можно доказать; аналогично, можно доказать то же самое в отношении функции

;

она - оценочная.

Лекция 6

Системы массового обслуживания (СМО): определение, классификация, построение графа состояний. Введение основных характеристик.

Предположим, что имеется набор последовательно возникающих заявок, выполнение каждой из которых есть некое действие, осуществляемое специальным устройством - узлом обслуживания. Например, узел обслуживания - это железнодорожная касса, в которую в качестве «заявок на обслуживание» заходят пассажиры за билетами.

Схематически эту ситуацию можно изобразить так:

Это - ситуация системы массового обслуживания (СМО).

Особенность обсуждаемой ситуации: заявки приходят на обслуживание хаотично, в случайные моменты времени. И вторая особенность: время, в течение которого заявка находится в СМО (в очереди и в узле обслуживания) - тоже величина случайная. Приняты две классификации СМО - по типу очередиипотипу узла обслуживания.

Будем говорить, что некая СМО находится в состоянии Е_kв момент времениt₀, если в этот момент в ней находится ровноkзаявок. С каждой СМО принято связывать специальный граф -граф состояний, - который строится следующим образом: его множеством вершин является множество всех возможных состоянийЕ_k(k=0,1,2,...), а ребро (E_i, E_j) включается тогда и только тогда, когда СМО в процессе своей работы может перейти из состоянияE_iв состояниеE_jнепосредственно, т.е. минуя все остальные состояния.

Как было сказано выше, важнейшая особенность СМО как объекта изучения состоит в том, что заявки приходят в СМО на обслуживание в случайные моменты времени. Следовательно, переход СМО из одного состояния в другое есть событие случайное. Пусть - вероятность того, что СМО переходит из состоянияE_iв состояниеE_jза период времени, причем здесь и всюду в дальнейшем, если только не будет оговорено иное, предполагается именно такая пара состояний (E_i, E_j), которая составляет ребро в графе состояний. Введенные вероятности называютсяпереходными вероятностямиСМО.

Если все переходные вероятности не зависят от аргумента, т.е. для всех ребер графа состояний=, то СМО называетсястационарной. Всюду в дальнейшем именно такие и только такие СМО будут рассматриваться. Именно для стационарных СМО слова «граф состояний» обозначают не только тот граф состояний, который был введен выше, но еще и совокупность функций; таким образом, граф состояний (стационарной) СМО - это взвешенный граф, в котором роль графа играет прежний граф состояний, а весовой функцией является функция, сопоставляющая каждому ребру функцию.

Функции называютсяфункциями переходных вероятностейили простопереходными вероятностями; бывает удобным в рассмотрениях следующий объект:матрица переходных вероятностей:

.

Заметим, что сумма элементов любого столбца этой матрицы (как и сумма элементов любой строки) равна единице – ведь эти элементы – вероятности событий, составляющих полную группу.

СМО называется системой без последействия, если функциине зависят от того, как именно СМО попала в состояниеE_i. Именно такие СМО рассматриваются в дальнейшем. Таким образом, мы будем обсуждать только стационарные СМО без последействия.