1.Аналитическая геометрия на плоскости: простейшИе

задачи аналитической геометрии на плоскости; прямая

на плоскости; линии второго порядка на плоскости.

1. Даны вершины треугольника А (6,-1), В (3,-3), С (7,0). Составить уравнение его высот.

2. Даны уравнения двух сторон прямоугольника х-2у-7=0, х-2у+8=0 и уравнение одной из его диагоналей7х+у-34=0. Найти координаты точек пересечения диагонали с этими сторонами и уравнения двух других сторон прямоугольника.

3. Написать уравнения сторон квадрата, диагонали которого служат осями координат. Длина сторон квадрата ровна 7.

4. Даны последовательно вершины выпуклого четырехугольника А (2,-6), В (8,2),С(12;-1)и D(3;-13). Определить уравнения его диагоналей и координаты точки пересечения диагоналей.

5. Отрезок, ограниченный точками А (5,-5), В (8,1), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны середины сторон треугольника М₁(6,2), М₂(9,4), М₃(7,-3). Составить уравнения его сторон.

7. Найти расстояние от точки А (-2,4)до прямой, проходящей через точки М₁ (4,1)иМ₂ (8,4).

8. Точка А (7,-3)является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямойх-2у-8=0.Найти площадь квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями ( построить их на чертеже):

5 2), 3)=3, 4)=7, 5), 6).

10. Установить, какая линия определяется уравнением 7х²+16у²-42х+32у-33=0. Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы сутьF₁(-10,-2), F₂(16,-2).

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дольше от точки А (-6,5), чем от оси ординат. Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: а) построить линию по точкам, начиная отдои придаваязначения через промежуток;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия .

2.Определители. Базис в пространстве.

координаты вектора.

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду;

а); б); в);г).

15. Даны векторы: (0,2,-1),=(1,5,0),=(3,-2,1),=(8,-7,1)

16. )в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты векторов в этом базисе.

3.Линейны операции над векторами, проекция вектора

на ось, скалярное, векторное и смешаные произведения

векторов

16.Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором=(2,-2,5).

17. Два вектора =(4,0,-3) и =(-2,1,2)приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови ;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что=2.

18. Найти проекцию вектора =на направление вектора

=.

19. Найти проекцию вектора =на ось, составляющую с координатными осямиОх и Оу углы, а с осьюОz –тупой угол.

20. В равнобедренном треугольнике ОАВ(15) точкаСделит сторонуАВв отношении 1 : 4 (считая от вершиныА). Найти угол между векторамии, если=10.

Указание. Использовать последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координатс началом в точкеОтак, чтобы осьОхбыла направлена по основаниюОВ треугольника;

б) найти в этой системе координаты векторов и

в) подсчитать величину искомого угла по формуле (, где ()₀– орт вектора,=;

21. В прямоугольном треугольнике АВС. Найти.

22. Дано . Найтии.

23. Найти координаты векторного произведения и его длину, если=(2,-3,3),.

24. Даны вершины треугольника А (1;2;-2), В(3;0;-5), С(5;2;4). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершиныВ.

25. Найти координаты вектора перпендикулярного векторами, еслии векторсоставляет с осьюОутупой угол.

26. Вычислить , если,=15.

27.Вычислить смешанное произведение векторов =,=,=

28. В правом базисе заданы векторы: =(-1;-1;6),=(-2;0;2),=(-3;--1;4).Показать, что эти векторы не компланарны, установить ориентацию тройки ,,.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А (2;0;1). В (6;-6;5), С (6;---1;3), Д (5;2;8).

30. Вектор перпендикулярен к векторами; Вычислить, если.=,=3, =2,а тройка векторов- правая.