4.Аналитическая геометрия в прстранстве: плоскость

и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуМ₀ (3,1,-3) параллельную плоскости: 2х-у+5 z-3=0.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(0,-1,2) и прямую:.

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 3х+у+7z-32=0.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀(-3;0;2)перпендикулярно двум плоскостям:х-2z+3=0, х+3у-z+4=0.

35. Найти расстояние dточкиМ₀(2;-1;4) до плоскости4х+7у+4 z+1=0.

36. Найти параметрические уравнения прямой , заданной как линия пересечения двух плоскостей 3х-у-2z+1=0 и х+2у-z+3=0.

37. Даны вершины треугольника А(2;-1;3) В(5;-1;7), С (4;0;5). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершинеА.

38. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀(3;-2;0)параллельной прямой:.

39. Найти координаты точки пересечения прямой : х=t, у=2t+1, z=2t+2и плоскости 2х-3у+z-1=0.

40. Найти проекцию точки Р (3;0;4) на прямую.

41. Найти координаты точки Q, симметричной точкеР(3;-1-2) относительно плоскости:х+2у+2z-6=0.

42. Найти координаты точки Qсимметричной точкеР(2;-4;4) относительно прямой.

43. Вычислить расстояниеd точкиР(-1;0;4)от прямой.

44. Составить канонические уравнения прямой l, которая проходит через точкуМ₀(1;-3;0)и пересекает прямуюl₁:,l₂:используя последовательность действий:

а) найти координаты нормального вектора П₁(П_1х,П_1у,П_1z),к плоскостиП₁проходящей, через точкуМ₀и прямуюl₁, взяв векторное произведение, где(3,-2,-1)

• направляющий вектор прямой l_1. М₁(2,-1,-1)_.

• точка прямой l_1.(см. задачу № 32)

б) найти координаты нормального вектораП₂(П_2х,П_2у,П_2z),к плоскостиП₂проходящей, через точкуМ₀и прямуюl₂, взяв векторное произведение, где(2,3,-5)

• направляющий вектор прямой l₂ М₂(5,1,-2)_.

• точка прямой l_2.(см. задачу № 32)

в) найти координаты направляющего вектора (а_х,а_у,а_z)искомой прямойl, взяв векторное произведение.

г) составить канонические уравнения искомой прямой l, проходящей через точкуМ₀ в направление вектора.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(4;7;6), А₂(3;7;5), А₃(2;5;7), А₄(3;3;10).

Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂иА₁А₄;

2) угол между ребром А₁А₄; и граньюА₁А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄на граньА₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) z=4-у²;z=у²+2; х=-1; х=2; б) z= х²+у²+1. Z=0; х=0;у=0; х=4; у=4.

5.Элименты линейной алгебры: системы линейных

уравнений; матрицы; линейное векторное пространство;

линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

х₁+2х₂+3х₃+х₄=0,

х₁+х₂+2х₃+2х₄=0,

2х₁+2х₂+3х₃+х₄=0,

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу D=3ВА^-1+2СВ^т, где

50. Найти ранги матриц: а) б).

51. Дана система линейных уравнений

х₁+х₂-х₃-=1,

х₁-4х₂+2х₃=-7,

х₁-2х₂+х₃=-4,

Доказать ее совместимость и решить тремя способами:

1) методом Гаусса,

2) средствами метрического исчисления,

3. по формулам Крамера,

52. Является ли вещественными линейными пространствами:

а) множество всех вещественных матриц 2-го порядка вида ,

б) множество всех вещественных матриц 2-го порядка вида ,

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если=(2;1;);=(1;-2;-1); =(2;1;3), =(3;2;5).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из R⁴ линейно зависимой ?

=(1;2;3;0); =(-1;2;2;-2), =(3;-1;0;1),=(4;1;3;1).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R³, матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид: а)б)

56. В пространстве V₃задан оператортак:, где,. Проверить линейность оператораи найти его матрицу в базисе ().

57. В пространстве линейный операторзеркально отражает векторы относительно прямой, а линейный операторортогонально проецирует векторы на плоскость.Найти матрицу операторав базисе ().

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

ОТВЕТЫ:

1. 4х+3у-10=0, х+у+3=0, 3х+2у-13=0.2.(3,-3).(2,4), 2х+у-3=0, 2х+у-8=0. 3.х-у=-3, х-у=3, х+у=-3. 4.х-2у-2=0, 3х-у-6=0, (2,0)5.(4;-7) и (5;-5).6.7х-2у-32=0, 5х+у-35=0, 2х-3у-31=0.7.6. 8.5кв. ед.. 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом4; 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом3) прямая, перпендикулярная к оси, отсекающая на ней, считая от полюса, отрезок а=17; 4) прямая расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии15;5) окружность с центром С(,r=12) и радиусом12; 6) окружность с центром С(,r=15) и радиусом15.10. Эллипс: С(-1;2), а=4, в=,. 11.. 12. Гипербола:.13. в)парабола:.14. а)2; б)-9; в)-50; г)4.15.=(2;1;1).16.17.а)

б)в)(-2,8,14). 18.3. 19. -1. 20.=arccos =61⁰03¹. 21. –56. 22.. 23. (3;2;1);. 24.S=,h=.25. . 26. ±16. 27. 5. 28. левая тройка векторов. 29.V=22 куб.ед. 30. –30. 31. 2х-у+5z+10=0. 32. 2х+4у-7z+18=0. 33. 3х+у+7z-32=0. 34. 6Х-у+3z+12=0. 35.d=2. 36. Х=5t, у=t+1,z=7t-1. 37.. 38.. 39. (-1,-1,0). 40.(4,2,6). 41. (5,3,2). 42. (4,0,0). 43=3. 44.45. 1)arccos =111⁰38¹. 2)arccos. 3)4) -2х+3у+2z-25=0. 5)47. Х=С, где С. 48.,гдеа,а,в.49.,. 50. а)r=2, б) )r=4. 51. х₁₌-1, х₂=1, х₃=-1. 52. а) да, б) нет.53..54. да. 55. а)отражение на плоскость относительно оси Оу, б) поворот трехмерного пространства на угол 30⁰вокруг оси Оz, 56. Операторлинейный;, его матрица в базисе ().57. А=, В=, АВ=. 58. Собственные значения:=1,=3,=-33 Собственные векторы:,, где С, С.

ВАРИАНТ 13