1.Аналитическая геометрия на плоскости: простейшИе

задачи аналитической геометрии на плоскости; прямая

на плоскости; линии второго порядка на плоскости.

1. Даны вершины треугольника А (4,-2), В (1,-4), С (5,-1). Составить уравнение его высот.

2. Даны уравнения двух сторон прямоугольника х-2у-9=0, х-2у+6=0 и уравнение одной из его диагоналей7х+у-18=0. Найти координаты точек пересечения диагонали с этими сторонами и уравнения двух других сторон прямоугольника.

3. Написать уравнения сторон квадрата, диагонали которого служат осями координат. Длина сторон квадрата ровна 3.

4. Даны последовательно вершины выпуклого четырехугольника А (-2,-2), В (4,6),С(8;3)и D(-1;-9). Определить уравнения его диагоналей и координаты точки пересечения диагоналей.

5. Отрезок, ограниченный точками А (3,-9), В (6,-3), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны середины сторон треугольника М₁(4,-2), М₂(7,0), М₃(5,-7). Составить уравнение его сторон.

7. Найти расстояние от точки А (-4,0)до прямой, проходящей через точки М₁ (2,-3)иМ₂ (6,0).

8. Точка А (5,-7)является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямойх-2у-14=0.Найти площадь квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями ( построить их на чертеже):

4 2), 3)=17, 4)=15, 5), 6).

10. Установить, какая линия определяется уравнением 12х²+16у²+24х-64у-116=0. Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее вершинами равно 6 и фокусы сутьF₁(-2,3), F₂(6,3).

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дольше от точки А (3,4), чем от оси ординат. Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: а) построить линию по точкам, начиная отдои придаваязначения через промежуток;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с плюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия .

2.Определители. Базис в пространстве.

координаты вектора.

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду;

а); б); в); г).

15. Даны векторы: (2,1,0),=(-3,0,4),=(1,1,1),=(0,1,3

16. )в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты векторов в этом базисе.

3.Линейны операции над векторами, проекция вектора

на ось, скалярное, векторное и смешаные произведения

векторов

16.Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором=(1,-3,5).

17. Два вектора =(7,-6,6) и =(-6,6,3)приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови ;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что=2.

18. Найти проекцию вектора =на направление вектора

=(4,0,-3).

19. Найти проекцию вектора =на ось, составляющую с координатными осямиОх и Оу углы, а с осьюОу –тупой угол.

20. В равнобедренном треугольнике ОАВ() точкаСделит сторонуАВв отношении 1 : 4 (считая от вершиныА). Найти угол между векторамии, если.

Указание. Использовать последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координатс началом в точкеОтак, чтобы осьОхбыла направлена по основаниюОВ треугольника;

б) найти в этой системе координаты векторов и

в) подсчитать величину искомого угла по формуле (, где ()₀– орт вектора,=;

21. В прямоугольном треугольнике АВС. Найти

22. Дано . Найтии.

23. Найти координаты векторного произведения и его длину, если=(1,-4,5),.

24. Даны вершины треугольника А (3;-2;1), В(5;-4;-2), С(7;-2;7). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершиныВ.

25. Найти координаты вектора перпендикулярного векторами (1,0,-2), еслии векторсоставляет с осьюОутупой угол.

26. Вычислить , если,=12.

27.Вычислить смешанное произведение векторов =,-,=

28. В правом базисе заданы векторы: =,=,=.Показать, что эти векторы не компланарны, установить ориентацию тройки ,,.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А₁ (3;4;3). А₂ (7;-2;7), А₃ (7;3;5), А₄ (6;6;10).

30. Вектор перпендикулярен к векторами; Вычислить, если. =,=3, =5,а тройка векторов,,- правая.