4.Аналитическая геометрия в прстранстве: плоскость

и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуМ₀ (1,2,1) параллельную плоскости:х+2у+2 z+1=0.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(1,2,2) и прямую:.

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 3х+2у+z+1=0.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀(-1;2;2)перпендикулярно двум плоскостям:х+2у+z+2=0, 2х-у-z-1=0.

35. Найти расстояние dточкиМ₀(1;1;1) до плоскости4х+7у+4 z+3=0.

36. Найти параметрические уравнения прямой , заданной как линия пересечения двух плоскостей 4х+у-6z-2=0 и у-3z+2=0.

37. Даны вершины треугольника А(1;2;1) В(4;2;5), С (3;3;3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершинеА.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2;-1;-3)параллельной прямой:.

39. Найти координаты точки пересечения прямой : х=t+2, у=2t+3, z=2t+4и плоскости 2х-3у+z-1=0.

40. Найти проекцию точки Р (2;2;3) на прямую.

41. Найти координаты точки Q, симметричной точкеР(2;1-3) относительно плоскости:х+2у+2z-7=0.

42. Найти координаты точки Qсимметричной точкеР(1;-2;3) относительно прямой.

43. Вычислить расстояниеd точкиР(-2;2;3)от прямой.

44. Составить канонические уравнения прямой l, которая проходит через точкуМ₀(-4;-5;3)и пересекает прямуюl₁:,l₂:используя последовательность действий:

а) найти координаты нормального вектора П₁(П_1х,П_1у,П_1z),к плоскостиП₁проходящей, через точкуМ₀и прямуюl₁, взяв векторное произведение, где(3,-2,-1)

• направляющий вектор прямой l_1. М₁(-1,-3,-2)_.

• точка прямой l_1.(см. задачу № 32)

б) найти координаты нормального вектораП₂(П_2х,П_2у,П_2z),к плоскостиП₂проходящей, через точкуМ₀и прямуюl₂, взяв векторное произведение, где(2,3,-5)

• направляющий вектор прямой l₂ М₂(2,-1,1)_.

• точка прямой l_2.(см. задачу № 32)

в) найти координаты направляющего вектора (а_х,а_у,а_z)искомой прямойl, взяв векторное произведение.

г) составить канонические уравнения искомой прямой l, проходящей через точкуМ₀ в направление вектора.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(3;5;4), А₂(2;5;3), А₃(1;3;5), А₄(2;1;8).

Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂иА₁А₄;

2) угол между ребром А₁А₄; и граньюА₁А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄на граньА₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) z=х²+у²; х=0; у=0; z=0; х+у=1 б) z=0; х²+у²=4. Z=х+у+10.

5.Элименты линейной алгебры: системы линейных

уравнений; матрицы; линейное векторное пространство;

линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

2х₁+х₂-х₃+х₄=0,

2х₁+х₂+х₃+2х₄=0,

3х₁+2х₂+х₃-х₄=0,

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу D=2ВА^-1В^тС, где

50. Найти ранги матриц: а) б).

51. Дана система линейных уравнений

х₁+3х₂+х₃-=14,

4х₁-х₂-9х₃=-9,

3х₁-2х₂-5х₃=-4,

Доказать ее совместимость и решить тремя способами:

1) методом Гаусса,

2) средствами метрического исчисления,

3. по формулам Крамера,

52. Является ли вещественными линейными пространствами:

а) множество всех вещественных матриц 2-го порядка вида ,

б) множество всех вещественных матриц 2-го порядка вида ,

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если=(2;3;4);=(2;1;2); =(1;-1;2), =(2;2;).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из R⁴ линейно зависимой ?

=(1;2;1;0); =(0;1;2;3), =(1;-1;2;2),=(2;1;3;2).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R³, матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид: а)б)

56. В пространстве V₃задан оператортак:, где,.Проверить линейность оператораи найти его матрицу в базисе ().

57. В пространстве Е₃линейный операторзеркально отражает векторы относительно прямой, а линейный операторортогонально проецирует векторы на плоскость.Найти матрицу операторав базисе ().

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

ОТВЕТЫ:

1. 4х+3у-18=0, х+у=0, 3х+2у-18=0. 2. (2,1).(1,8), 2х+у-5=0, 2х+у-10=0. 3. х+у=-2, х-у=2, х-у=-2. 4.х-2у+7=0, 3х-у+1=0, (1,4) 5.(3;-3) и (4;-1). 6.7х-2у-17=0, 5х+у-34=0, 2х-3у-17=0. 7.8.5 кв. ед.. 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 3 ; 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом3) прямая, перпендикулярная к оси, отсекающая на ней, считая от полюса, отрезок=11; 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии 15; 5) окружность с центром С(,r=8) и радиусом 8; 6) окружность с центром С(,r=4) и радиусом 4.10. Эллипс: С(2;-1),,=3,=2,. 11.. 12. Гипербола:.13. в)парабола:. 14. а) 36; б) 5; в) 30; г) -4. 15.=(0;1;3).16.17.а);б)в)(-2,6,-4). 18.6. 19. 2. 20.=arccos =36⁰42¹. 21. –11. 22..23. (-3;12;7);. 24.S=,h=.25. . 26. ±24. 7. 20. 28. левая тройка векторов. 29.V=22 куб.ед. 30. –3. 31. х+2у+2z-7=0. 32. 2х-z=0. 33. 5х-11у+7z+31=0. 34. Х-3у+5z-3=0. 35.d=2. 36. Х=3t+4, у=12t+10,z=4t+4. 37.. 38.. 39. (1,1,2). 40.(3,4,5). 41. (4,5,1). 42. (3,2,-1). 43. D=3. 44.45. 1)arccos =111⁰40¹. 2)arccos. 3)4) -2х+3у+2z-17=0. 5)47. Х=С, где С. 48.,гдеа,в,.49.,. 50. а)r=2, б) )r=3. 51. х₁=5, х₂=2, х₃=3. 52. а) да, б) нет.53..54. да. 55. а)проектирование на плоскость, б) поворот на уголпротив часовой стрелки вокруг оси, проходящей через начало координат и образующей с координатными осями равные острые углы. 56. Операторлинейный;, его матрица в базисе ().57. А=, В=, АВ=. 58. Собственные значения:=1,=-1,=2. Собственные векторы:,,, С,

ВАРИАНТ 12