1.Аналитическая геометрия на плоскости: простейшИе

задачи аналитической геометрии на плоскости; прямая

на плоскости; линии второго порядка на плоскости.

1. Даны вершины треугольника А (3,2), В (0,0), С (4,3). Составить уравнение его высот.

2. Даны уравнения двух сторон прямоугольника х-2у=0, х-2у+15=0 и уравнение одной из его диагоналей7х+у-15=0. Найти координаты точек пересечения диагонали с этими сторонами и уравнения двух других сторон прямоугольника.

3. Написать уравнения сторон квадрата, диагонали которого служат осями координат. Длина стороны квадрата равна 2.

4. Даны последовательно вершины выпуклого четырехугольника А (-3,2), В (3,10),С(7;7)и D(-2;-5). Определить уравнения его диагоналей и координаты точки пересечения диагоналей.

5. Отрезок, ограниченный точками А (2,-5), В (5,1), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны середины сторон треугольника М₁(3,2), М₂(6,4), М₃(4,-3). Составить уравнения его сторон.

7. Найти расстояние от точки А (2,-1)до прямой, проходящей через точки М₁ (1,1)иМ₂ (3,4).

8. Точка А (4,-3)является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямойх-2у-5=0.Найти площадь квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями ( построить их на чертеже):

3, 2), 3)=11, 4)=15, 5), 6).

10. Установить, какая линия определяется уравнением 4х²+9у²-16х+18у-11=0. Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее вершинами равно 24и фокусы сутьF₁(-10,-2), F₂(16,-2).

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дольше от точки А (3,8), чем от оси ординат. Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: а) построить линию по точкам, начиная отдои придаваязначения через промежуток;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия .

2.Определители. Базис в пространстве.

координаты вектора.

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду;

а); б); в);г).

15. Даны векторы: (2,1,0),=(-3,0,4),=(1,1,1),=(6,-3,1)в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты векторав этом базисе.

3.ЛинейныЕ операции над векторами, проекция вектора

на ось, скалярное, векторное и смешаные произведения

векторов

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором=(2,-3,4).

17. Два вектора =(3,0,-4) и =(-2,1,2) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что=2.

18. Найти проекцию вектора =на направление вектора

=(6,-3,2).

19. Найти проекцию вектора =на ось, составляющую с координатными осямиОх и Оу углы, а с осьюОу –тупой угол.

20. В равнобедренном треугольнике ОАВ() точкаСделит сторонуАВв отношении 1 : 4 (считая от вершиныА). Найти угол между векторамии, если.

Указание. Использовать последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координатс началом в точкеОтак, чтобы осьОхбыла направлена по основаниюОВ треугольника;

б) найти в этой системе координаты векторов и

в) подсчитать величину искомого угла по формуле (, где () – орт вектора,=;

21. В прямоугольном треугольнике АВС. Найти.

22. Дано . Найтии.

23. Найти координаты векторного произведения и его длину, если=(2,-3,6),.

24. Даны вершины треугольника А (2;2;0), В(4;0;-3), С(6;2;6). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершиныВ.

25. Найти координаты вектора перпендикулярного векторами, еслии векторсоставляет с осьюОутупой угол.

26 Вычислить , если,=18.

27.Вычислить смешанное произведение векторов =,=,=

28. В правом базисе заданы векторы: =,=,=.Показать, что эти векторы не компланарны, установить ориентацию тройки ,,.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А₁ (2;8;2). А₂ (6;2;6), А₃ (6;7;4), А₄ (5;10;9).

30. Вектор перпендикулярен к векторами; Вычислить, если. =,=1, =2,а тройка векторов,,- правая.