4.Аналитическая геометрия в прстранстве: плоскость

и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуМ (2,-1,-1) параллельную плоскости:3х+у- z+2=0.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые: .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскостих+у-2z+3=0.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку А(2;-3;1)перпендикулярно двум плоскостям:х-у+2=0, 3х+2у+-z+5=0.

35. Найти расстояние dточкиМ(-1;5;7) до плоскости2х-у+2 z-1=0.

36. На оси Охнайти координаты точек, отстоящих от плоскости4х-7у+4z+2=0 на расстоянииd=2.

37. Даны вершины треугольника А(1;2;3) В(-1;3;1), С (-7;6;-1). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершинеВ.

38. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

М(-1;3;-2)параллельной прямой:х=5t-2, у=2 t+4, z= t-3.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскостих-3у+2z+1=0.

40. Найти проекцию точки М (-1;-3;0) на прямуюх=t, у=-2t+5, z=5t-3.

41. Найти координаты точки М₁, симметричной точкеМ₂(-1;5;2) относительно плоскости:2х-у+2z+12=0.

42. Найти координаты точки М₁, симметричной точкеМ₂(0;4;3) относительно прямой:.

43. Вычислить расстояниеd точкиМ(3;-1;3)от прямой.

44. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку М₀(8;3;1)параллельно плоскости П:3х-2у-3z+3=0и пересекает прямуюl:, используя последовательность действий:

а) найти уравнение плоскости П₁,проходящей через точкуМ₀параллельно плоскостиП(см. задачу 31);

б) найти координаты точки М₁пересечения прямойlи плоскостиП₁(см. задачу 39);

в) найти канонические уравнения искомой прямой, как прямой, проходящей через точки М₀ и М₁.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(5;2;-1), А₂(4;1;-1), А₃(1;-2;-2), А₄(2;2;6).

Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂иА₁А₄;

2) угол между ребром А₁А₄; и граньюА₁А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄на граньА₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) z=0; z=х²; 2х-у=0; х+у=9;

б) z²=4-у; х²+у²=4у.

5.Элементы линейной алгебры: системы линейных

уравнений; матрицы; линейное векторное пространство;

линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

х₁+х₂-2х₃-х₄=0,

х₁+2х₂+х₃-2х₄=0,

2х₁+3х₂+3х₃-3х₄=0,

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу D=3А^-1С-ВС^т, где

,

50. Найти ранги матриц: а) б).

51. Дана система линейных уравнений

х₁+9х₂-4х₃=5,

2х₁-8х₂+5х₃=-3,

4х₁-3х₂+2х₃=8,

Доказать ее совместимость и решить тремя способами:

1) методом Гаусса,

2) средствами матричного исчисления,

3. по формулам Крамера,

52. Являются ли вещественными линейными пространствами:

а) все векторы (х;у;z)арифметического пространстваR₃,координаты которых удовлетворяют уравнениюх-3у+5z=0,

б) все векторы (х;у;z)изR³,, координаты которых удовлетворяют уравнению

х-3у+5z=2.

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если =(1;2;);=(1;2;3); =(2;-1;1), =(-1;1;0).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из R ⁴ линейно зависимой ?

=(2;1;0;1); =(1;2;1;-1), =(1;0;0;-2),=(3;1;0;-1).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R³, матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид: а)б)

56. Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени ≤4 от одного неизвестного с вещественными коэффициентами и найти матрицу этого преобразования в базисе:f₁(х)=1, f₂(х)=х, f₃(х)=х², f₄(х)=х³, f₅(х)=х⁴.

57. Линейный оператор - оператор зеркального отражения векторов плоскости относительно прямойу=-3х, а оператор- оператор поворота плоскости вокруг начала координат на угол. Найти матрицы операторов;;в базисе(.

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

ОТВЕТЫ:

2. 4х+у+10=0. 3.(-7;0). 4.(2;-2) и (-2,-4). 5.(-2;-5) и (-3;-4).6.2х-5у+4=0, 2х-5у-25=0, 7х-3у-15=0.7.х+2у+5=0, х-1=0, х-4у+11=0. 8.d=.9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 1; 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом; 3) прямая, перпендикулярная к оси, отсекающая на ней, считая от полюса, отрезока=3; 4) прямая расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии 5; 5) окружность с центромС(,r=2) и радиусом 2; 6) окружность с центром С(,r=1) и радиусом 1. 10. Гипербола: , С(1;-2),полуосиа=,=,.11. . 12. Парабола:(у+1)²=8(х-5).13. в) левая ветвь гиперболы: . 14. а) -7; б) –12; в) 6; г) 2. 15.=(2;-1;-3).16.17.а)б)

в)(10,2,-20). 18. .19.–3. 20. arccos =100⁰. 21. ±(6;4;0).22. .23. (-1;5;2);. 24.S=,h=.25. ±1.26. =(-6;6;0).27.-11.28. Компланарны. 29.V=8 куб.ед. 30.–18. 31.3х+у-z-6=0.32.2х+5у+4z+19=0.

33. 9х-7у+z-28=0.34.х+у+5z-4=0. 35.d=2.36.(4;0;0) и (-5;0;0). 37.. 38.. 39.(11,6,3). 40.(1,3,2).41.(-5,7,-2).42.(-6,10,-3).43. d=3. 44.45. 1)arccos.2)arccos-. 3) 4)х-у+1=0.5) 47.Х=, гдеС₁,С₂.48., гдеа,в.49.,,,. 50.а) r=2, б) ) r=3. 51.х₁=3, х₂=-2, х₃=-5. 52. а) да, б) нет. 53. .54. да. 55. а) проектирование на плоскостьб) проектирование на плоскостьс последующим относительно начала координат. 56.. 57. А=, В=, АВ=. 58. Собственные значения:=0,=6,=3. Собственные векторы:,,С,.

ВАРИАНТ 11