1.Аналитическая геометрия на плоскости: простейшее

задачи аналитической геометрии на плоскости; прямая

на плоскости; линии второго порядка на плоскости.

1. Доказать, что точки А (-1,1), В (-4,5), С (-8,2) и D (-5,-2)являются вершинами квадрата.

2. Даны вершины треугольника А (-2,-2), В (-5,0), С (0,4). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершиныАна медиану, проведенную из вершиныВ.

3. Найти координаты точки М, симметричной точкеМ₂ (3,2)относительно прямой , проходящей через точкиА (-2,1), В (-1,-4).

4. Даны две смежные вершины параллелограмма А (-6,2), В (-2,4)и точка пересечения его диагоналейМ (-2,0).Определить координаты двух других вершин.

5. Отрезок, ограниченный точками А (-1,-6), В (-4,-3), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5х+2у+10=0, 5х+2у-19=0и уравнение его диагонали3х+7у+6=0.Составить уравнение остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

7. Даны две вершины А (-7,1) и В (1,-3) и точкаД (0,1) пересечения высот треугольника. Составить уравнение его сторон.

8. Найти расстояние от точки М (-7,1)до прямой, проходящей через точки

А (-4,1)иВ (-2,5).

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями ( построить их на чертеже):

2), 3), 4), 5), 6).

10. Установить, какая линия определяется уравнением 3х²-7у²-6х-28у-46=0. Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Точка М₁(4,-2) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямойу+4=0. Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет ε=.

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А (7,-1)и от прямойх-3=0.Определить какая это линия, сделать чертеж.

13. Линия задана уравнениемв полярной системе координат. Требуется: а) построить линию по точкам, начиная отдопридаваязначения через промежуток;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия .

2.Определители. Базис в пространстве.

координаты вектора.

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а); б); в);г).

15. Даны векторы: (1,2,-1),=(0,-3,1),=(2,1,0),=(-4,4,-3)в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты векторов в этом базисе.

3.Линейны операции над векторами, проекция вектора

на ось, скалярное, векторное и смешаные произведения

векторов

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором= (1,1,-3).

17. Два вектора =(6,-3,2) и =(-7,4,-4) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что=6.

18. Найти проекцию вектора =(3,2,5)на направление вектора=2i-2j+3k.

19. Найти проекцию вектора =(3;-1;-4)на ось, составляющую с координатными осямиОх и Оу углы, а с осьюОу –острый угол.

20. В четырехугольнике ОАВСугол при вершинеОимеет величину 60⁰, а диагональОВявляется биссектрисой этого угла. Известно, чтоНайти величину угла между векторамии, используя последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точкеОтак, чтобы осьОхбыла направлена по сторонеОСчетырехугольника (в связи с этим сторонуОСжелательно расположить на рисунке горизонтально);

б) найти в этой системе координаты точек А,В,С;

в) найти координаты векторов и;

г) найти по формуле

д) подсчитать искомый угол по формуле

21. В плоскости ХОУ найти вектор, перпендикулярный векторуи имеющий одинаковую с ним длину.

22. На векторах ипостроен треугольник. Найти длину медианы, проведенной из вершины А, если

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину, если =(2;0;1),=.

24. Даны вершины треугольника АВС:А(7;5;3), В(9;6;2), С(3;8;-1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершиныА.

25. Вычислить , если =1,=2,=.

26. Найти вектор , ортогональный векторам=;=, если2 гдес=(1;2;-2).

27. Вычислить смешанное произведение векторов =(2;-1;-1),=(1;0;3), =(2;1;2).

28. Установить, компланарны ли векторы =,=,=.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А (2;4;4), В (10;8;5), С (4;2;5), D (6;4;7).

30. Вектор перпендикулярен к векторами;. Зная, что =2,=3, =3, найти, если тройка векторов,,- правая.