2.Определители. Базис в пространстве.

координаты вектора.

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложениям по элементам первой строки;

в) разложениям по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду;

а); б); в);г).

15. Даны векторы: (1,-1,-2),=(4,3,6),=(3,1,2),=(0,-3 ,-6)в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты векторов в этом базисе.

3. линейны операции над векторами, проекция вектора

на ось, скалярное, векторное и смешаные произведения

векторов

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором= (1,2,-3).

17. Два вектора =(6,2,-3) и =(-7,-4,4)приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамии при условии, что=6.

18. Найти проекцию вектора =(-1,3,4)на направление вектора=i+2j+4k.

19. Найти проекцию вектора =(1,3,)на ось, составляющую с координатными осямиОх и Оу углы, а с осьюОу –острый угол.

20. В четырехугольнике ОАВСугол при вершинеОимеет величину 60⁰, а диагональОВявляется биссектрисой этого угла. Известно, чтоНайти величину угла между векторамии, используя последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координатс началом в точкеОтак, чтобы осьОхбыла направлена по сторонеОСчетырехугольника (в связи с этим сторонуОСжелательно расположить на рисунке горизонтально);

б) найти в этой системе координаты точек А,В,С;

в) найти координаты векторов и;

г) найти по формуле

д) подсчитать искомый угол по формуле

21. В плоскости ХОZ найти вектор, перпендикулярный векторуи имеющий одинаковую с ним длину.

22. На векторах ипостроен треугольник. Найти длину медианы, проведенной из вершины А, если

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину, если=(1;1;-1),=2.

24. Даны вершины треугольника АВС: А(6;0;3), В(8;1;2), С(2;3;-1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершиныА.

25. Вычислить, если =1,=2,=.

26. Найти вектор , ортогональный векторам=-; =, еслигдес=(1;0;3).

27. Вычислить смешанное произведение векторов =(2;1;2),=(1;1;2),=(2;1;-1).

28. Установить, компланарны ли векторы =, =,=.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А (1;3;4). В (9;7;5), С (3;1;5), D (5;3;7).

30. Вектор перпендикулярен к векторами;. Зная, что =1, =, =4, найти, если тройка векторов,,- правая.

4.Аналитическая геометрия в прстранстве: плоскость

и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуМ (0,-1,2) параллельную плоскости:2х-у- z-1=0.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые: .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскостих-у+2z-1=0.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку А(1;2;-2)перпендикулярно двум плоскостям:2х+2у+3z-1=0, х+2у- z+5=0.

35. Найти расстояние dточкиМ(0;4;1) до плоскости2х-у+2 z+8=0.

36. На оси Охнайти координаты точек, отстоящих от плоскости2х-у-2 z-3=0 на расстоянииd=3.

37. Даны вершины треугольника А(0;-1;2) В(-1;-3;0), С (-7;-6;-2). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершинеВ.

38. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

М(2;-3;1)параллельной прямой:х=t-2, у=5 t+3, z=2 t+5.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскостих-2у+3z-5=0.

40. Найти проекцию точки М (3;-2;5) на прямуюх=t+4, У=-2t+6, z=5t+2.

41. Найти координаты точки А, симметричной точкеВ(-1;0;1) относительно плоскости:2х-у+2z+9=0.

42. Найти координаты точки М₁, симметричной точкеМ₂(0;-1;2) относительно прямой:.

43. Вычислить расстояниеd точкиМ(2;1;2)от прямой.

44. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку М₀(7;2;0)параллельно плоскости П:3х-2у-3z+1=0и пересекает прямуюl:, используя последовательность действий:

а) найти уравнение плоскости П₁,проходящей через точкуМ₀параллельно плоскостиП(см. задачу 31);

б) найти координаты точки М₁пересечения прямойlи плоскостиП₁(см. задачу 39);

в) найти канонические уравнения искомой прямой, как прямой, проходящей через точки М₀ и М₁.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(3;4;-1), А₂(2;3;-1), А₃(-1;0;-2), А₄(0;4;6).

Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂иА₁А₄;

2) угол между ребром А₁А₄; и граньюА₁А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄на граньА₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) х²+z²=4; х²+z²=2у; у=0;

б) , х²+у²=9.

5.ЭЛЕменты линейной алгебры: системы линейных

уравнений; матрицы; линейное векторное пространство;

линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

х₁+х₂-2х₃-3х₄=0,

х₁+2х₂+х₃+х₄=0,

2х₁+3х₂-х₃-2х₄=0,

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу D=ВА^-1+3СВ^Т, где

50. Найти ранги матриц: а) б).

51. Дана система линейных уравнений

х₁-х₂+х₃-=-2,

3х₁+2х₂-4х₃=3,

-2х₁+х₂-х₃=-1,

Доказать ее совместимость и решить тремя способами:

1) методом Гаусса,

2) средствами матричного исчисления,

3. по формулам Крамера,

52. Является ли вещественными линейными пространствами:

а) все векторы (х;у;z)арифметического пространстваR³,координаты которых удовлетворяют уравнению2х+3у-4z=0,

б) все векторы (х;у;z)изR³,координаты которых удовлетворяют уравнению

2х+3у-4z=2.

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если=(3;2;);=(1;-3;-2); =(2;1;3), =(1;1;2).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из R⁴ линейно зависимой ?

=(2;1;1;-2); =(1;0;0;2), =(1;2;-3;4),=(3;3;-2;2).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R⁴, матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид: а)б)

56. Показать, что дифференцированние является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени ≤5 от одного неизвестного с вещественными коэффициентами и найти матрицу этого преобразования в базисе:f₁(х)=1, f₂(х)=х, f₃(х)=х², f₄(х)=х³, f₅(х)=х⁴, , f₆(х)=х₅.

57. Линейный оператор - оператор зеркального отражения векторов плоскости относительно прямойу=3х, а оператор- оператор поворота плоскости вокруг начала координат на угол. Найти матрицы операторов;;в базисе(.

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

ОТВЕТЫ:

2. 4х+у+3=0. 3.(-5;-1). 4.(4;-3) и (0,-5). 5.(0;-6) и (-1;-5).6.2х-5у-5=0, 2х-5у-34=0, 7х-3у-32=0.7.х+2у+5=0, х-3=0, х-4у+5=0. 8.d=.9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 3; 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом; 3) прямая, перпендикулярная к оси, отсекающая на ней, считая от полюса, отрезока=5; 4) прямая расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 7; 5) окружность с центромС(,r=7) и радиусом7; 6) окружность с центромС(,r=3) и радиусом3.10. Гипербола: ,С(2,1), полуосиа=2,b=,.11. . 12. Парабола:(у-4)²=8х.13. в) Правая ветвь гиперболы: . 14. а)15;б)2;в)36;г)-2.15.=(1;-1;1).16.17.а)б)

в)(10,-20,2). 18. .19.3. 20. Arccos( )=105⁰30¹. 21. ±(2;0;4).22. .23. (1;-4;-3);. 24.S=,h=.25. ±26.(30;-20;30).27.-3.28. Компланарны. 29.V=8 куб.ед.30.–4. 31.2х-у-z+1=0.32.х-у-z-2=0. 33.х-у-z+4=0.34.8х-5у-2z-2=0. 35.d=2.36.(6;0;0) и (-3;0;0). 37.. 38.. 39.(5,-3,-2). 40.(5,4,7).41.(-5,2,-3).42.(-6,5,-4).43. d=3. 44.45. 1)arccos .2)-arccos. 3) 4)х-у+1=0.5) 47.Х=, гдеС₁,С₂.48., гдеа,b.49.,,,. 50.а) r=2, б) r=3. 51.х₁=3, х₂=13, х₃=8. 52.а) да, б) нет. 53. .54.да. 55. а) растяжение в 2 раза вдоль осиОу,б) отражение относительно осиОу. 56.. 57. А=, В=, АВ=, 58. Собственные значения:=0,=6,=3. Собственные векторы:,,С;.

ВАРИАНТ 10