4.Аналитическая геометрия в прстранстве: плоскость

и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуМ₀ (0,-2,7) параллельную плоскости:5х+2у-z-3=0.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(3,5,-3) и прямую:.

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости2х-у+5z-4=0.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀(-2;3;-1)перпендикулярно двум плоскостям:у+2z-3=0, 3х-у+3z-1=0.

35. Найти расстояние dточкиМ₀(5;3;2) до плоскости4х+7у+4 z-31=0.

36. Найти параметрические уравнения прямой , заданной как линия пересечения двух плоскостей 2х-3у+z+5=0 и 3х+2у-5z+1=0.

37. Даны вершины треугольника А(3;1;6) В(6;1;10), С (5;2;8). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершинеА.

38. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀(3;4;-5)параллельной прямой:.

39. Найти координаты точки пересечения прямой : х=t+2, у=2t+3, z=2t+4и плоскости 2х-3у+z-1=0.

40. Найти проекцию точки Р (5;2;6) на прямую.

41. Найти координаты точки Q, симметричной точкеР(5;1;0) относительно плоскости:х+2у+2z-16=0.

42. Найти координаты точки Qсимметричной точкеР(5;-1;7) относительно прямой.

43. Вычислить расстояниеd точкиР(2;3;7)от прямой.

44. Составить канонические уравнения прямой l, которая проходит через точкуМ₀(4;0;3)и пересекает прямуеl₁:,l₂:используя последовательность действий:

а) найти координаты нормального вектора П₁(П_1х,П_1у,П_1z),к плоскостиП₁проходящей, через точкуМ₀и прямуюl₁, взяв векторное произведение, где(3,-2,-1)

• направляющий вектор прямой l_1. М₁(5,2,2)_.

• точка прямой l_1.(см. задачу № 32)

б) найти координаты нормального вектораП₂(П_2х,П_2у,П_2z),к плоскостиП₂проходящей, через точкуМ₀и прямуюl₂, взяв векторное произведение, где(2,3,-5)

• направляющий вектор прямой l₂ М₂(8,4,1)_.

• Точка прямой l_2.(см. задачу № 32)

в) найти координаты направляющего вектора (а_х,а_у,а_z)искомой прямойl, взяв векторное произведение.

г) составить канонические уравнения искомой прямой l, проходящей через точкуМ₀ в направление вектора.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(2;7;5), А₂(1;7;4), А₃(0;5;6), А₄(1;3;9).

Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂иА₁А₄;

2) угол между ребром А₁А₄; и граньюА₁А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄на граньА₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) z=у²-х²;z=0; у=4; у=0; б) z²= у+1; х=-5; у=0; z+х=1.

5.ЭлЕменты линейной алгебры: системы линейных

уравнений; матрицы; линейное векторное пространство;

линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

х₁-х₂+х₃-х₄=0,

2х₁-х₂-х₃+2х₄=0,

3х₁-2х₂+х₃+х₄=0,

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу D=А^-1В+2СВ^Т, где

50. Найти ранги матриц: а) б).

51. Дана система линейных уравнений

х₁-2х₂+3х₃=2,

2х₁+3х₂-4х₃=1,

3х₁-2х₂-5х₃=-4,

Доказать ее совместимость и решить тремя способами:

1) методом Гаусса,

2) средствами матричного исчисления,

3. по формулам Крамера,

52. Является ли вещественными линейными пространствами:

а) множество всех вещественных матриц 2-го порядка вида ,

б) множество всех вещественных матриц 2-го порядка вида ,

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если=(2;2;);=(2;3;1); =(1;2;1), =(1;1;1).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из R⁴ линейно зависимой ?

=(1;2;1;2); =(1;2;2;1), =(1;4;0;3),=(2;6;1;5).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве Охуz, матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид: а)б)

56. В пространстве задан оператор так:, где,.Проверить линейность оператораи найти его матрицу в базисе ().

57. В пространстве Охуz линейный операторзеркально отражает векторы относительно прямой, а линейный операторортогонально проецирует векторы на плоскостьOXY.Найти матрицу операторав базисе ().

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

ОТВЕТЫ:

1. 4х+3у-23=0, х+у-1=0, 3х+2у-22=0.2.(5,-5).(4,2), 2х+у-5=0, 2х+у-10=0. 3.х+у=5, х-у=5, х+у=-5;х-у=-5.4.х-2у-7=0, 3х+у-6=0, (5,-1)5.(7;-4) и (8;-2).6.7х-2у-3=0, 5х+у-24=0, 2х-3у-13=0.7.d=6. 8.5кв. ед.. 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом9; 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом3) прямая, перпендикулярная к оси, отсекающая на ней, считая от полюса, отрезок а=19; 4) прямая расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии14;5) окружность с центром С(,r=10) и радиусом10; 6) окружность с центром С(,r=15) и радиусом15. 10. Эллипс: С(1;-3),, а=4, в=,. 11.. 12. Гипербола:.13. в)Эллипс14. а)30; б)100; в)6;г)1. 15.=(3;2;-1).16.17.а)

б)в)(-6,3,-3).18.1. 19.–7.20.=41⁰38¹. 21.-45. 22.79⁰06¹.23.(0;-2;-4); .24.S=,h=. 25. (8;-10;14). 26.±18. 27.-2. 28. левая тройка. 29.V=22 куб.ед. 30.–18.31.5х+2у-z+11=0. 32.х-у-z-1=0. 33.x+7у+z-1=0.34.5x+6у-3z-11=0.35.d=2. 36.Х=t, у=t+2, z=t+1. 37.. 38.. 39.(1,1,2).40.(6,4,8).41.(7,5,4).42.(7,3,3).43.d=3.44.45. 1)arccos =111⁰38¹.2)arccos. 3)4) -2х+3у+2z-27=0. 5)47. Х=С, где С. 48,гдеа,а,в.49.,. 50. а)r=3, б) )r=3.51. х₁₌1, х₂=1, х₃=1. 52. а)да, б)нет.53.любое число из R. 54.да. 55. )проектирование трехмерного пространства на ось Оz, с последующим отражением относительно начала координат б) поворот трехмерного пространства на угол 45⁰вокруг осиОу, 56. Операторлинейный;, его матрица в базисе ().57. А=, В=, АВ=. 58. Собственные значения:=1,=-1,=2. Собственные векторы: для, ,где С, C.