1.Аналитическая геометрия на плоскости: простейшИе

задачи аналитической геометрии на плоскости; прямая

на плоскости; линии второго порядка на плоскости.

1. Даны вершины треугольника А (5,1), В (2,-1), С (6,2). Составить уравнение его высот.

2. Даны уравнения двух сторон прямоугольника х-2у-15=0, х-2у=0 и уравнение одной из его диагоналей7х+у-30=0. Найти координаты точек пересечения диагонали с этими сторонами и уравнения двух других сторон прямоугольника.

3. Написать уравнения сторон квадрата, диагонали которого служат осями координат. Длина сторон квадрата ровна 5.

4. Даны последовательно вершины выпуклого четырехугольника А (1,-3), В (7,5),С(11;2)и D(2;8). Определить уравнения его диагоналей и координаты точки пересечения диагоналей.

5. Отрезок, ограниченный точками А (6,-6), В (9,0), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны середины сторон треугольника М₁(1,2), М₂(4,4), М₃(2,-3). Составить уравнение его сторон.

7. Найти расстояние от точки А (-2,3)до прямой, проходящей через точки М₁ (4,0)иМ₂ (8,3).

8. Точка А (3,-4)является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямойх-2у-6=0.Найти площадь квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями ( построить их на чертеже):

9 2), 3)=19, 4)=14, 5), 6).

10. Установить, какая линия определяется уравнением 7х²+16у²-14х+96у+39=0. Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы сутьF₁(-11,3), F₂(15,3).

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дольше от точки А (-3,3), чем от оси ординат. Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: а) построить линию по точкам, начиная отдои придаваязначения через промежуток;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия .

2.Определители. Базис в пространстве.

координаты вектора.

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду;

а); б); в);г).

15. Даны векторы: (1,2,0),=(-3,1,1),=(0,5,-1),=(-3,3,3)

16. )в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты векторов в этом базисе.

3.Линейны операции над векторами, проекция вектора

на ось, скалярное, векторное и смешаные произведения

векторов

16.Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором=(3,2,-1).

17. Два вектора =(4,-4,7) и =(-2,1,-2)приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что=3.

18. Найти проекцию вектора =на направление вектора

=(-7,6,6).

19. Найти проекцию вектора =на ось, составляющую с координатными осямиОх и Оу углы, а с осьюОz –тупой угол.

20. В равнобедренном треугольнике ОАВ(25) точкаСделит сторонуАВв отношении 1 : 4 (считая от вершиныА). Найти угол между векторамии, если=30.

Указание. Использовать последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точкеОтак, чтобы осьОхбыла направлена по основаниюОВ треугольника;

б) найти в этой системе координаты векторов и

в) подсчитать величину искомого угла по формуле (, где ()₀– орт вектора ,

21. В прямоугольном треугольнике АВС. Найти

22. Дано . Найтии.

23. Найти координаты векторного произведения и его длину, если=(3,-2,1),.

24. Даны вершины треугольника А (6;0;0), В(8;-2;-3), С(10;0;6). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершиныВ.

25. Найти координаты вектора перпендикулярного векторами=, еслии векторсоставляет с осьюОутупой угол.

26. Вычислить , если,=24.

27.Вычислить смешанное произведение векторов =,=,=

28. В правом базисе заданы векторы: =,=,.Показать, что эти векторы не компланарны, установить ориентацию тройки ,,.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А₁ (4;2;-1). А₂ (8;-4;3), А₃ (8;1;1), А₄ (7;4;6).

30. Вектор перпендикулярен к векторами; Вычислить, если. =,=2, =3,а тройка векторов- правая.