2014_bogdanov_fisika

Физика : учебное пособие [для технических направлений бакалавриата заочной формы обучения] / сост.: В. И. Богданов, С. К. Корнейчук, О. Ю. Штрекерт

Модуль ускорения: a = ax2 + a2y + az2 .

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной an и тангенциальной aτ , составляющих:

a = an + aτ .

где R— радиус кривизны в данной точке траектории.

• Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х:

x = x0 +υx × t ,

где x0 — начальная координата; t — время. При равномерном движении

υ = const и a = 0 .

• Кинематическое уравнение равнопеременного движения ( a = const ) вдоль оси x:

где υ0-начальная скорость; t-время.

Скорость точки при равнопеременном движении:

υ= υ 0 + a ×t .

•Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) ϕ .

Кинематическое уравнение вращательного движения:

ϕ = f (t ) .

• Средняя угловая скорость:

где ϕ — изменение угла поворота за интервал времени t . Мгновенная угловая скорость:

ω = dϕ . dt

• Угловое ускорение:

ε = dω . dt

•Кинематическое уравнение равномерного вращения:

ϕ= ϕ0 + ω × t ,

10

Вологодский государственный университет. Научная библиотека

Физика : учебное пособие [для технических направлений бакалавриата заочной формы обучения] / сост.: В. И. Богданов, С. К. Корнейчук, О. Ю. Штрекерт

где N — число оборотов, совершаемых телом за время t; Т — период вращения (время одного полного оборота).

• Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (ε = const )

ϕ = ϕ0 + ω0 × t + ε × t2 ,

2

где ω0 - начальная угловая скорость; t – время.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении

ω= ω0 + ε × t .

•Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:

путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R,

S = ϕ × R (ϕ - угол поворота тела); скорость точки линейная

υ= ω × R ; υ = ω ´ R ;

ускорение точки: тангенциальное

Динамика материальной точки и тела, движущихся поступательно

• Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона): в векторной форме:

действующих на точку; в координатной форме (скалярной):

m× ax = ∑Fxi , m× ay = ∑Fyi , m × az = ∑ Fzi

11

Вологодский государственный университет. Научная библиотека

Физика : учебное пособие [для технических направлений бакалавриата заочной формы обучения] / сост.: В. И. Богданов, С. К. Корнейчук, О. Ю. Штрекерт

где под знаком суммы стоят проекции силFi на соответствующие оси координат.

∙ Сила гравитационного взаимодействия:

F = G × m1 × m2 , r2

где G — гравитационная постоянная; m1 и m2 — массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r — расстояние между ними.

∙ Сила трения скольжения:

A = ∫ F (r) cosα × dr ,

L

где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L.

• Средняя мощность за интервал времени Dt :

N = A .

Dt

• Мгновенная мощность:

N = δ A или N = F ×υ × cosα , dt

где δ A — работа, совершаемая за промежуток времени dt.

12

Вологодский государственный университет. Научная библиотека

Физика : учебное пособие [для технических направлений бакалавриата заочной формы обучения] / сост.: В. И. Богданов, С. К. Корнейчук, О. Ю. Штрекерт

• Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно:

обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),

Fr = − dWp . dr

• Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

Wp = k × Dl 2 .

2

• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m1, и т2, находящихся на расстоянии r друг от друга:

Wp = −G m1 × m2 . r

• Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

Wp = m × g × h ,

где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии h R , где R — радиус Земли.

• Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде:

WK +Wp = const .

Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

• Момент силыF , действующей на тело, относительно оси вращения:

M = F ×l ,

где F — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения;

l — плечо силыF (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

13

Вологодский государственный университет. Научная библиотека

Физика : учебное пособие [для технических направлений бакалавриата заочной формы обучения] / сост.: В. И. Богданов, С. К. Корнейчук, О. Ю. Штрекерт

• Момент инерции относительно оси вращения: а) материальной точки

J = m × r2 ,

где т — масса точки; r— расстояние ее от оси вращения;

б) дискретного твердого тела

N

J= ∑Dmi × ri2 ,

i=1

где mi — масса i-го элемента тела; ri— расстояние этого элемента от оси

вращения; N — число элементов тела; в) сплошного твердого тела

J = ∫ r 2 × dm .

m

Если тело однородно, т. е. его плотность ρ одинакова по всему объему,

то

dm = ρ × dV и J = ρ ∫ r 2 × dV ,

где V — объем тела.

• Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Вологодский государственный университет. Научная библиотека

Физика : учебное пособие [для технических направлений бакалавриата заочной формы обучения] / сост.: В. И. Богданов, С. К. Корнейчук, О. Ю. Штрекерт

• Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси:

J = J0 + m × a2 ,

где J0 — момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а — расстояние между осями; m — масса тела.

• Момент импульса вращающегося тела относительно оси:

L = J ×ω .

• Закон сохранения момента импульса:

N

∑ Li = const ,

i=1

где Li — момент импульса i-го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел:

15

Вологодский государственный университет. Научная библиотека

Физика : учебное пособие [для технических направлений бакалавриата заочной формы обучения] / сост.: В. И. Богданов, С. К. Корнейчук, О. Ю. Штрекерт

• Кинетическая энергия вращающегося тела

WK = J ×ω 2 .

2

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и z, z' сонаправлены, а относительная скорость v0 системы координат К' относительно системы К направлена вдоль общей оси хх'.

• Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня:

где l0 — длина стержня в системе координат К', относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси х'; l— длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он движется со скоростью υ ; с — скорость распространения электромагнитного излучения.

• Релятивистское замедление хода часов:

где ∆t0 — интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы K′ , измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); ∆t — интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.

16

Вологодский государственный университет. Научная библиотека

Физика : учебное пособие [для технических направлений бакалавриата заочной формы обучения] / сост.: В. И. Богданов, С. К. Корнейчук, О. Ю. Штрекерт

• Релятивистское сложение скоростей

где υ / — относительная скорость (скорость тела относительно системы K'); υ0 — переносная скорость (скорость системы K' относительно К), υ — аб-

солютная скорость (скорость тела относительно системы К).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за неподвижную.

• Релятивистский импульс:

тица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если υ c .

• Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы:

E2 - p2 × c2 = m2 × c4 .

• Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

p2 × c2 = T (T + 2m × c2 ) .

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

•Уравнение гармонических колебаний:

x= Acos(ω ×t + ϕ) ,

начальная фаза колебаний; (ω ×t + ϕ ) — фаза колебаний в момент t.

17

Вологодский государственный университет. Научная библиотека

Физика : учебное пособие [для технических направлений бакалавриата заочной формы обучения] / сост.: В. И. Богданов, С. К. Корнейчук, О. Ю. Штрекерт

•Угловая частота колебаний:

ω= 2π ×ν , или ω = 2π ,

T

где ν и Т — частота и период колебаний.

• Скорость точки, совершающей гармонические колебания:

υ= dx = -A ×ω ×sin(ω ×t + ϕ) . dt

•Ускорение при гармоническом колебании:

a = d 2 x = -A ×ω2 × cos(ω ×t + ϕ) . dt2

• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле:

• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν1 и ν2,

ν= ν1 − ν 2 .

•Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A1 и A2 и начальными фазами φ1 и φ2:

• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материаль-

где m — масса точки; k — коэффициент квазиупругой силы ( k = m ×ω 2 ).

18

Вологодский государственный университет. Научная библиотека

Физика : учебное пособие [для технических направлений бакалавриата заочной формы обучения] / сост.: В. И. Богданов, С. К. Корнейчук, О. Ю. Штрекерт

• Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

E = m × A2 ×ω 2 = k × A2 .

2 2

• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник):

где m — масса тела; k — жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

денная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ≈ 3° ошибка в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити:

где J — момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; K — жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

• Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

19

Вологодский государственный университет. Научная библиотека