IX X ) 2

1

1

_S ⁱ

n

(2.8)

Характер кривых, описываемых (2.5), показан на рисунке 2.1а для трѐх значений . Функция (2.5) графически изображается колоколообразной кри- вой, симметричной относительно ординат, асимптотически приближающейся к оси абсцисс. Максимум этой кривой получается в точке =0, а величина

1

)

_{этого максимума W (}

_{2 . Как видно из рисунка 2.1, чем меньше , тем}

уже кривая и, следовательно, реже встречаются большие отклонения, т.е. тем точнее выполняются измерения.

Вероятность появления погрешности в пределах между ₁ и ₂ опреде- ляется площадью заштрихованного участка на рис. 4.1 б, т.е. определѐнным

Рисунок 2.1

_{интегралом от функции W( ):}

_{p( 1}

^x2 ₁

_{2 )}

₁ 2

_e ² _{d ( )}

_(2.9)

₂

x

1

Значения интеграла вычислены для различных пределов и сведены в таблицы. Интеграл, вычисленный для пределов 1=– и 2=+ , равен еди- нице, т. е. вероятность появления случайной погрешности в интервале от – до + равна единице.

Из таблиц, приведенных в математических справочниках, следует что:

0

)

P( ,683;

0

)

3

3

_{P( ,9973}

(2.10)

Таким образом, с вероятностью 0,683 случайные погрешности измере- ния не выходят за пределы ± . С вероятностью 0,997 случайная погрешность

находится в пределах ±3 , т.е. только 3 измерения из 1000 могут дать по- грешность, превышающую ±3 . Это соотношение называется законом трѐх

_сигм.

Так как на практике число измерений не превышает нескольких десят- ков, то появление погрешности равной ±3 , маловероятно. Поэтому по- грешность ±3 считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности более ±3 считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются.

В теории случайных погрешностей вводится также понятие о среднем

х

квадратическом отклонении среднего арифметического (средняя квадра-

_{тическая погрешность результата измерений)}

N

2

_{xi x}

1

x

_S ^{S i}

х

_(2.11)

1

^x _n ^{n n}

^{где S} _x

- оценка средней квадратической погрешности ряда из n

измерений.

^{Рассмотренные оценки результатов измерений} Х ^{, , выражаемые од-} ним числом, называют точечными оценками случайной погрешности. Поскольку подобную оценку обычно принимают за действительное значе- ние измеряемой величины, то возникает вопрос о точности и надежности полученной оценки. Судят об этом по вероятности того, что результат измерений (действительное значение) отличается от истинного не более чем на .

_{Это можно записать в виде}

P X A X

_(2.12)

Вероятность называется доверительной вероятностью или ко- ^{эффициентом надежности, а интервал значений от} Х ^{– до} Х ^{+ —} доверительным интервалом. Обычно его выражают в долях средней квадратической погрешности

x

^t _a

(n)

_(2.13)

где t_α(n) - табулированный коэффициент распределения Стъюдента, ко- торый зависит от доверительной вероятности и числа измерений n, значения которого можно найти в математиче- ских справочниках.

Доверительную вероятность и доверительный интервал называют

интервальными оценками случайной погрешности.