1.Постановка задачи

0 U₀(x) x

H

y q₁(x)

Рис. 15.

Рассмотрим стационарную задачу теплопроводности для бесконечной полосы – пластины с теплоотдачей (рис.15) уравнения теплопроводности имеет вид

. (1)

Здесь , где - температура окружающей среды;

- температура точек пластины;

- коэффициент теплопроводности;

- удельная теплоемкость;

- коэффициент теплоотдачи.

Для стационарного режима . Тогда получим

, (2)

где .

Граничные условия на кромках пластины

(3)

, (4)

когда задана температура и

(5)

, (6)

когда задана проекция теплового потока на внешнюю нормаль. Возможно сочетание этих граничных условий на разных кромках пластины.

При

2.Переход в пространство изображений

Применим к УЧП (2) и граничным условиям (3)-(6) комплексное преобразования Фурье по координате x. Получим обыкновенное дифференциальное уравнение

, (7)

где . (8)

Граничные условия задаются по одному на каждой границе y=0 и y=H.

(9)

(10)

(11)

(12)

Решаем уравнение (7), составляя характеристическое уравнение

(13)

Тогда решение дифференциального уравнения (7) имеет вид

(14)

Постоянные интегрирования и находим из граничных условий.

Возможны следующие их сочетания.

2.1 Для граничных условий (9) и (10) получим

тогда

(15)

2.2 Для граничных условий (11) и (12) возьмем производную

,

тогда

Решение (14) имеет вид

(16)

3. Для граничных условий (10) и (11) получим

. (17)

3. Для граничных условий (9), (12) имеем

(18)

3.Возвращаемся в пространство оригиналов

Решение исходной задачи находим возвращаясь в пространство оригиналов по формуле

(19)

Так как в реальных задачах функция U(x,y) должна ,быть действительной, то в выражении (19) нужно выделить действительную и мнимую части и показать, что мнимая часть равна нулю. При этом учитываем , что интеграл в выражении (19) от нечётной функции равен нулю, а интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу в пределах [0,).

4.Доказательство сходимости несобственного интеграла

Так как интеграл в (19) - несобственный интеграл, как минимум, первого рода, то для его сходимости достаточно показать, чтопри ||.

Если функция имеет бесконечные разрывы в конечном множестве точек, то необходимо доказать устранимость этих особых точек для всей подынтегральной функции.

5.Вычисление интегралов и построение графиков

Для интегрирования обычно применяются численные методы так как интеграл в (19), как правило, не берется в замкнутом виде. Поскольку подынтегральная функция сильно осциллирующая, то стандартные методы численного интегрирования часто дают большую погрешность. В связи с этим, наряду с обычными используется специальный численный метод интегрирования – метод Файлона, основанный на выделении из подынтегральной функции неосциллирующей части f(). Формулы этого метода имеют вид

(20)

(21)

(22)

Для всех остаточных членов рядов (20)-(22) справедлива оценка

, где 0<<1.

В большинстве случаев оценку второй производной функции f() сделать невозможно, поэтому шаг интегрирования h подбираем численным экспериментом.

При этом, остаточные члены отбрасываем, а число членов в рядах ограничиваем фиксированным значением М. Значение М и h выбираем из условия |f(Mh)|<, где - точность. Тестовыми есть заданные значения функции U(x,y) и производной U_y(x,y) на границах y=0,H. Если функция f() имеет неограниченную вторую производную на промежутке интегрирования, то нужно применять стандартны методы интегрирования – трапеций, Симпсона и т. д.

Пример выполнения расчетно-графического задания №2