П.16. Линейное программирование.

16.1. Виды злп.

Линейное программирование– раздел математического программирования, при-меняемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программ-мирования. Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

Особенностью ЗЛП является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений.

Задача о наилучшем использовании ресурсов.

Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, объединение и т.д.), исходя из конъюнктуры рынка, технических или технологических возможностей и имеющихся ресурсов, может выпускать nразличных видов продукции (товаров), известных под номерами, обозначенными индексом, где каждыйj-ый вид продукции обозна-чимП_j. Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющимися видами ресурсов, технологий, других производственных факторов (сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т.д.). Все эти виды ограничивающих факторов называютингредиентами R_i. Пусть их число равноm; припишем им индекс. Они ограничены, и их количества равны соответственноусловных единиц. Таким образом,– вектор ресурсов. Известна экономическая выгода (мера полезности) производства продукции каждого вида, исчисляемая, скажем, по отпускной цене товара, его прибыльности, издержкам производства и т.д. Примем в качестве такой меры, например, цену реализации, т.е.– вектор цен. Известны также технологические коэффициенты, которые указывают, сколько единицi-го ресурса требуется для производства единицы продукцииj-го вида. Матрицу коэффициентовназываюттехнологическойи обозначают буквойA, т.е..

Обозначим через план выпуска продукции видаП₁,П₂, …,П_j, …,П_n, которые обеспечивают предприятию максимум объема реализации при имеющихся ресурсах.

Получаем следующую математическую модель: найти план выпускапродукции видовП₁,П₂, …,П_j, …,П_n,, обеспечивающий максимум объема реализации в стоимостном выражении

(16.1.1.)

при ограничениях на лимитируемые ресурсы

(16.1.2.)

и условии неотрицательности

(16.1.3.)

где – вектор цен, т.е. цена реализации единицы каждого вида продукции;

число, указывающее, сколько единицi-го ресурса требуется для производства единицы продукцииj-го вида;

– вектор ресурсов, т.е. количество каждого вида ресурса.

Аналогичная математическая модель составляется для задачи о выборе оптимальных технологий.

Задача о раскрое материалов.

Суть задачи об оптимальном раскрое состоит в разработке таких технологически допустимых планов раскроя, при которых получается необходимый комплект заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводится к минимуму. Рассмотрим простейшую модель раскроя по одному измерению. Более сложные постановки ведут к задачам целочисленного программирования.

Модель задачи раскроя по одному измерению длинномерных материалов (прутков, труб, профильного проката и др.) может быть сформулирована так. Пусть имеется Nштук исходного материала, длина каждой штуки равнаL. Нужны заготовкиmвидов, длины которых равны. Известна потребность в заготовках каждого вида, она равна. Изучение вопроса раскроя (построение технологической карты раскроя) показывает, что можно выделитьnприемлемых вариантов раскроя исходного материала длинойLна заготовки длиной. Обозначим черезколичество заготовокi-го вида, получаемое при раскрое единицы исходного материала поj-муварианту,- отходы при раскрое единицы исходного материала поj-му варианту.

План задачи , где– количество единиц исходного материала, планируемое к раскрою поj-му варианту.

Функция цели – минимум отходов, получаемых при раскрое:

(16.1.4.)

при ограничениях на число единиц исходного материала

(16.1.5)

на удовлетворение ассортиментного спроса потребителей

(16.1.6.)

и условии неотрицательности

(16.1.7.)

где - отходы при раскрое единицы исходного материала поj-му варианту;

 количество заготовокi-го вида, получаемое при раскрое единицы исходного материала поj-муварианту;

N– количество исходного материала, длина каждой из которых равнаL;

- потребность в заготовках каждого вида.

Похожие математические модели строятся для задачи о смесях, задачи о диете.

К задачам линейного программирования относится транспортная задача. Формулировку и математическую модель этой задачи мы рассмотрим отдельно несколько позже.

Рассмотрим пример задачи линейного программирования.

Пример 6..При изготовлении изделийИ₁иИ₂используются токарные и фрезерные станки, а также сталь и цветные металлы. По технологическим нормам на производство единицы изделияИ₁требуется 300 и 200 единиц соответственно токарного и фрезерного оборудования (в станко-часах) и 10 и 20 единиц стали и цветных металлов (в килограммах). Для производства единицы изделияИ₂требуется 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц тех же ресурсов. Цех располагает 12400 и 6800 станко-часов оборудования, 640 и 840 кг материалов. Прибыль от реализации единицы изделияИ₁– 6 тыс. ден. ед.,И₂– 16 тыс. ден. ед. Требуется:

1) свести исходные данные в таблицу, удобную для построения модели;

2) составить математическую модель задачи (показатель эффективности – прибыль).

Решение.1) Обозначим черезx₁число изделийИ₁, черезx₂– изделийИ₂, черезZ– суммарную прибыль от реализации производственных изделий, тогда исходные данные удобно представить в виде таблицы.

Ресурсы	Затраты на единицу изделия		Объем ресурса	Вид ограничений
	И1	И2
Станки, станко-ч токарные фрезерные Сталь, кг Цветные маталлы, кг	300 200 10 20	400 100 70 50	12400 6800 640 840
Прибыль, тыс. ден. ед.	6	16
План выпуска, шт.	x1	x2

2) Так как каждое изделие И₁дает прибыль 6 тыс. ден. ед., а таких изделий изготовляетсяx₁ед., то все изделияИ₁дадут прибыль 6x₁; аналогично изделияИ₂обеспечат прибыль 16x₂. Суммарную прибыль можно записать в виде целевой функции, которая максимизирует прибыль

.

Токарного оборудования на изделие И₁требуется 300 станко-часов, на изделиеИ₂– 400 станко-ч. Тогда для изготовленияx₁изделийИ₁иx₂изделийИ₂потребуется токарного оборудования(станко-ч). Так как общий фонд рабочего времени токарных станков не может превышать 12400 станко-ч, должно выполняться неравенство. Аналогично можно записать условия, налагаемые на фонд рабочего времени фрезерных станков:, и лимитирующие материалы: по стали, по цветным металлам.

Итак, искомый план задачи . Целевая функция

.

Система ограничений

Переменные x₁иx₂не могут быть выражены отрицательными числами, поэтому

