6.3. Переключательные схемы.

В современных компьютерных технологиях булева алгебра является математической моделью цифровых логических схем. В алгебре логике рассматриваю коммутационные и переключательные схемы. Мы остановимся на переключательных схемах.

Определение 6.3. Переключательная схема– это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подается и с которых принимается электрический сигнал.

На рисунках показаны переключательные схемы последовательного и параллельного соединения переключателейии проводов, соединяющих полюсаи.

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Будем считать, что два переключателя исвязаны таким образом, что когдазамкнут, торазомкнут и наоборот.

Сопоставим переключателю переменную, которая принимает значение 1 в случае, когда переключательзамкнут, и значение 0 в случае, когда переключательразомкнут. Переключателюсоответствует переменная, которая принимает значение 1 в случае, когда переключательзамкнут, и значение 0 в обратном случае. Тогда сеть на рис. 1 пропускает ток, еслии , то есть, если функция. Сеть на рис. 2 пропускает ток, еслиили , то есть, если функция.

Всей переключательной схеме можно поставить в соответствие некоторую функцию, принимающую значение 1, если устройство проводит ток, и – значение 0, если не проводит. Эта функция зависит от переменных, соответствующих всем переключателям и называется функцией проводимости. Функцию проводимости записывают в виде формулы с использованием булевых переменных, логических операций и скобок левой и правой.

Рассмотрим одну из задач прикладного характера, которую можно решить средствами булевой алгебры.

Пример 6.5. По данной функции проводимости

построить переключательную схему с помощью трёх переключателей ,,. Определить, при каких положениях переключателей ток в сети отсутствует.

Решение. Формулесоответствует переключательная схема вида:

Формуле соответствует переключательная схема:

Из рисунков следует, что данной функции соответствует схема

Определим, при каких положениях переключателей ток в сети на последнем рисунке отсутствует. В таблицу запишем все возможные наборы значений переменных ,и, и найдем для них соответствующие значения функции проводимости.

1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1	1	0	0	0	1
1	0	1	0	0	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1
0	0	1	1	0	0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	0	1	0	1	0	1
0	0	0	1	0	1	1	1	1	1	1

Вывод. Из последнего столбца таблицы следует, что ток в сети отсутствует в трех случаях:

1. все переключатели замкнуты;

2. переключатели изамкнуты, а переключательразомкнут;

3. переключатель замкнут, а переключателииразомкнуты.