6.2. Эквивалентность формул.

Поскольку функция рассматривается с точностью до фиктивных переменных, мы считаем, что формула Aреализует и любую функцию, равнуюf. Если функция, реализуемая формулой, имеет несущественную переменнуюx_i, то приn>1 переменнуюx_iможно удалить, заменив функциюfравной ей функцией, а формулуA– формулой, получающейся изAв результате отождествления переменнойx_iс любой из оставшихся переменных. Очевидно, чтоявляется формулой нади реализует функцию.

Определение 6.2.ФормулыG₁иG₂надназываютсяэквивалентными, если они реализуют равные булевы функциии.

При оперировании с формулами, которые реализуют булевы функции, бывают полезны приведенные ниже эквивалентности (тождества). Дополнительно введем символ , который обозначает любую из связок алгебры логики.

1.- коммутативность связки, где- общее обозначение для связок,,,,,.

2.- ассоциативность связки, где- общее обозначение для связок,,,.

3.а)- дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

б) - дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции;

в) - дистрибутивность конъюнкции относительно сложения поmod2.

4.правила де Моргана:

а) ; б).

5.правила поглощения:

а) ; б).

6.а);

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

7.а);

б) ;

в) .

8.а); б).

Тождества легко могут быть проверены путем сопоставления функций, соответствующих правой и левой частям тождеств. (Убедиться в этом самостоятельно).

Очевидно, что если A – подформула формулы A и если заменить любое из ее вхождений на эквивалентную формулу B, то формула A перейдет в формулу B, которая будет эквивалентная A.

Этот принцип вместе с тождествами для элементарных функций, к которым присоединяются все тождества, получаемые подстановкой вместо переменных любых формул, позволяет осуществлять эквивалентные преобразования и, тем самым, получить новые тождества.

Пример 6.3.Используя основные тождества, установить эквивалентность формул

и

.

Решение.=(Раскрытие стрелки Пирса, импликации, штриха Шеффера)=

==

=(использование двойного отрицания, законы де Моргана, раскрытие эквиваленции и убираем лишние скобки)=

==

==

==

=(используем правила поглощения)=

==(используем правила поглощения)=

=.

Преобразуем формулу B, используя соответствующие эквивалентности:

=

=( раскрытие стрелки Пирса, импликации)=

==

=(законы де Моргана, раскрытие стрелки Пирса, двойное отрицание)=

==

=(используем правила поглощения)=

=.

Тем самым доказываем эквивалентность формул AиB.



Булевы функции можно использовать для решения некоторого класса логических задач.

Пример 6.4.Некий любитель приключений отправился в кругосветное путешествие на яхте, оснащенной бортовым компьютером. Его предупредили, что чаще всего выходят из строя три узла компьютера –a,b,c, и дали необходимые детали для замены. Выяснить, какой именно узел надо заменить, он может по сигнальным лампочкам на контрольной панели. Лампочек тоже ровно три:x,yиz.

Инструкция по выявлению неисправных узлов такова:

1. если неисправен хотя бы один из узлов компьютера, то горит, по крайней мере, одна из лампочек x,y,z;

2. если неисправен узел a, но исправен узелс, то загорится лампочкаy;

3. если неисправен узел с, но исправен узелb, загорается лампочкаy, но не загорается лампочкаx;

4. если неисправен узел b, но исправен узелс, то загораются лампочкиxиy, или не загорается лампочкаx;

5. если горит лампочка xи при этом неисправен узела, либо все три узлаa,b,cисправны, то горит и лампочкаy.

В пути компьютер сломался. На контрольной панели загорелась лампочка x. Тщательно изучив инструкцию, путешественник починил компьютер. Какие узлы заменил путешественник?

Решение.Введем логические переменные, которые будут определять простые высказывания:

a– узелaисправный;– узелaне исправный;

b– узелbисправный; ;– узелbне исправный;

c– узелcисправный. ;– узелcне исправный.

x– загорелась лампочкаx;– не загорелась лампочкаx;

y– загорелась лампочкаy;– не загорелась лампочкаy;

z– загорелась лампочкаz;– не загорелась лампочкаz;

Используя условие задачи, составляем формулу, которая реализует следующую функцию:

.

По условию задачи на контрольной панели загорелась лампочка x. Значит, можно ввести следующие булевы значения переменных:. Тогда наша функция упрощается до трех переменных, которую можно преобразовать, использовав соответствующие эквивалентности и раскрывая импликацию.

==

==(правила поглощения)=

=.

Из последнего равенства можно сделать вывод: узел aисправный,b– нет иc– нет.

