Практикум по электричеству и электротехнике / LAB14
.pdf
Б.Н. Сипливый, В.К. Михайлов,
В.В. Подгорный, П.И. Поленичкин.
Практикум по электричеству
Лабораторная работа №14
Определение параметров конденсаторов и катушек с помощью вольтметра пе-
ременного тока
Целью работы является изучение методики определения параметров конденсаторов (емкости и сопротивления потерь) и катушек (индуктивности, активного сопротивления, взаимной индуктивности) на переменном синусоидальном токе с помощью вольтметра переменного тока и измерение с помощью данной методики указанных параметров.
7.2.1. Теоретические сведения
Комплексное сопротивление (импеданс) любого двухполюсного элемента цепи переменного тока (двухполюсника) можно представить в виде (см. прил.2):
Z=r+jx,
где r=Re[Z] — активное сопротивление, а x=Im[Z] — реактивное сопротивление элемента цепи переменного тока. Величина
Z |
|
r2 x2 |
называется полным сопротивлением элемента цепи.
Для участка сопротивлением Z цепи переменного синусоидального тока справедлив закон Ома в комплексной форме (см. прил.2):
U=Z I, (1)
где U — комплексная амплитуда напряжения на участке цепи с импедансом Z, а I — комплексная амплитуда тока, протекающего через Z.
Пусть цепь переменного тока, которая состоит из последовательно включенных резистора известного сопротивления R (которое в рабочем диапазоне не зависит от частоты протекающего тока) и элемента с неизвестным импедансом Z, подключена к генератору синусоидального напряжения U0 известной частоты , как показано на рис.7.2.1. По закону Ома (1) определим напряжение U0, а также напряжения UR и U на элементах R и Z. Получим:
UR=R I; U=Z I;U0=(R+Z) I.
Вычисляя модули для напряжений, получим амплитудные соотношения последовательной цепи переменного тока:
URm=R Im; |
U |
|
Z |
|
I |
|
|
r2 x2 I |
|
; |
Um |
|
R Z |
|
I |
|
|
|
I |
, |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
(R r)2 x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
0 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где URm, Um, U0m — амплитуды напряжений, а Im — амплитуда тока цепи. Выразим из первого уравнения (2) амплитуду тока и после подстановки в оставшиеся уравнения (2) получим систему для определения величин r и x:
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UR |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r2 x2 , |
|
|
|
||||||
Um |
|
|
|
(3) |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
UR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||
U |
0 |
|
R |
(R r) |
|
x |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В силу того, что вольтметр измеряет не амплитудное, а действующее (эффективное) значение напряжения синусоидального тока:
Uэф Um / |
2 |
, |
(4) |
в уравнениях (3) перейдем к действующим значениям. Решая систему относительно r и x, получим:
r R |
(U0эф)2 Uэф2 (URэф)2 |
, |
(5) |
|||||||
|
2(URэф)2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
эф |
|
2 |
r2 . |
(6) |
|||
|
x |
|
|
R |
||||||
|
|
эф |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
UR |
|
|
|
|
|
|||
Сначала определяется активное сопротивление r двухполюсника подстановкой измеренных напряжений в (5). Номинал резистора R считается известным. После определения r вычисляется из (6) реактивное сопротивление x. Отметим, что знак величины x определяется характером исследуемого двухполюсника Z. Если это конденсатор, то величина x — отрицательна. Для индуктивности же, напротив, величина x — положительна.
7.2.1.1. Определение параметров катушек и конденсаторов
Эквивалентная схема катушки индуктивности L с активным сопротивлением обмотки r показана на рис.7.2.2. Импеданс катушки индуктивности:
ZL=r+j L. (7)
Таким образом, выражение (5) определяет активное сопротивление катушки r( ), где =2 f, а f — частота генератора.
Замечание. Казалось бы, проще всего измерить сопротивление обмотки катушки, подключив цепь, показанную на рис.7.2.1, к источнику постоянного тока или установив на генераторе очень низкую частоту. В случае очень низкой частоты x=0 и для величины r имеем:
r0 R Um .
URm
Однако измеренное в этом случае сопротивление, которое называют омическим или сопротивлением постоянному току, вовсе не равно сопротивлению обмотки катушки на произвольной частоте (его называют активным сопротивлением). Причина этого заключается в так называемом поверхностном или “скин" - эффекте. Известно, что на высокой частоте ток распределен по сечению проводника неравномерно. Плотность тока максимальна на поверхности проводника и экспоненциально убывает вглубь проводника. В результате уменьшается площадь эффективного сечения проводника, по которому протекает ток и как результат — возрастает активное сопротивление. Причем, чем выше частота тока, тем большим оказывается активное сопротивление обмотки катушки.
Величину индуктивности L обмотки найдем из выражения (6), в котором следует выбрать знак “+”. В силу того, что x= L, для искомой индуктивности имеем:
x( ) . (8)
Вообще говоря, из-за “скин”-эффекта индуктивность катушки с ростом частоты убывает. Так как ток высокой частоты в основном протекает по поверхности проводника, то магнитное поле внутри проводника с увеличением частоты вытесняется к поверхности проводника. Как результат — уменьшается энергия магнитного поля внутри проводника и вследствие этого — индуктивность катушки. Зависимость индуктивности от частоты в катушках разной формы проявляется по-разному. Наиболее существенно уменьшение индуктивности у многослойных катушек и в наименьшей степени это проявляется в однослойных обмотках из тонкого провода, так как энергия магнитного поля таких катушек в основном сосредоточена в воздушном пространстве внутри обмотки.
Для катушек, намотанных на ферромагнитный сердечник, как активное сопротивление, так и индуктивность зависят от частоты еще более сложным образом из-за возбуждения вихревых токов в сердечнике катушки (которые вызывают дополнительные потери на переменном токе) и из-за сложной зависимости магнитных свойств сердечника от частоты.
Пусть теперь неизвестным элементом Z служит конденсатор с потерями, эквивалентная схема которого показана на рис.7.2.3. Вычислим эквивалентное сопротивление конденсатора с потерями (см. прил.2):
1 |
|
1 |
|
1 |
, |
(9) |
|
1/(j C) |
|
||||
Z |
|
rC |
|
|||
где rC — эквивалентное сопротивление тепловых потерь конденсатора. Как правило, на низкой частоте rC 0, а с ростом частоты из-за потерь переполяризации в диэлектрике конденсатора величина rC растет. Из выражения (9) находим эквивалентные активное r и реактивное x сопротивления конденсатора:
Рис.7.2.3. Эк-
вивалентная схема конденсатора
|
r |
|
|
Cr2 |
|
|
r |
C |
, |
x |
C |
. |
(10) |
|
1 ( Cr )2 |
|
|
1 ( Cr )2 |
|
|
|
C |
|
|
C |
|
|
Значения r и x определяются экспериментально из выражений (5) и (6). Выразим из (10) искомые величины rC и C:
|
|
|
x |
2 |
, |
(11) |
|||
r |
( ) r 1 |
|
|
|
|
||||
|
|||||||||
C |
|
|
r |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
C |
( ) |
|
x |
|
|
|
. |
|
(12) |
(r2 x2) |
|
|
|
||||||
Выражения (11) и (12) и определяют искомые параметры конденсатора с потерями. Замечание. Вообще говоря, параметры C и rc конденсатора зависят от частоты. Это
обусловлено частотной зависимостью параметров ( и tg ) диэлектрика конденсатора (см. п.8.3.). Однако эта зависимость для большинства конденсаторов (за исключением электролитических) начинает проявляться лишь на достаточно высоких частотах (f>1 Мгц).
7.2.2. Лабораторная установка
Установка по измерению параметров катушек и конденсаторов состоит из стенда, на котором находится набор резисторов известного номинала, а также конденсаторов и катушек индуктивности с неизвестными параметрами. В состав установки входят также генератор синусоидального напряжения перестраиваемой амплитуды и частоты и вольтметр переменного тока, в качестве которого может использоваться, например, комбинированный цифровой прибор. Электрическая схема установки показана на рис.7.2.4 и соответствует упрощенной рабочей схеме, показанной на рис.7.2.1. Ввиду того, что в работе измеряются параметры элементов (катушек и конденсаторов) на разных час-
тотах и при разных номиналах L и C исследуемых элементов, для обеспечения точности измерений величина сопротивления R (см. рис.7.2.1) подбирается при каждом измерении таким образом, чтобы падение напряжения на R было примерно равно падению напряжения на исследуемом элементе. Для этого левые клеммы набора резисторов электрически соединены между собой (см. рис.7.2.4), а свободные концы выведены к гнездам, которые коммутируются перемычкой или ключом на правую клемму набора резисторов. Номинал каждого из резисторов указан на стенде.
7.2.3.Программа работы и обработка результатов
7.2.3.1.Измерение параметров неизвестного импеданса
1.Собрать электрическую схему, показанную на рис.7.2.4, выбрав резистор R среднего номинала, а в качестве элемента Z подключить один из конденсаторов неизвестной емкости. Подключить к схеме генератор, выставить на нем частоту 100 Гц.
2.Включить генератор и выставить его напряжение на уровне U0 1 В. Включить вольтметр, перевести его в режим измерения переменного напряжения и установить предел шкалы 1 В.
3.Подключить вольтметр к элементу Z и измерить напряжение U на нем. Подбором величины сопротивления R добиться того, чтобы измеряемое напряжение было близко и немного больше величины U0/2. Измерить вольтметром напряжения на резисторе R, элементе Z и на выходе генератора. Результаты измерения напряжений и значение R занести в табл.7.1.
4.Выставить на генераторе частоту 1 кГц и провести измерения п.3 на этой частоте. Занести результат в табл.7.1. Провести аналогичные измерения на частоте 10 кГц и занести результат в табл.7.1. Отключить генератор.
5.Провести измерения п.1-4 для всех остальных конденсаторов. Результат измерений занести в табл.7.1.
6.Провести измерения п.1-4 для двух катушек индуктивности (L1, L2) и занести результат в табл.7.1.
Табл. 7.1 |
|
R, Ом |
UR, B |
U, B |
U0, B |
Элемент |
частота, |
||||
|
кГц |
|
|
|
|
конд. С1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
конд. С2 |
10 |
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
.......................... |
.................... ........... ........... ........... ........... |
||||
..... |
... |
... |
... |
... |
|
катушка L1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
.......................... |
.................... ........... ........... ........... ........... |
||||
..... |
... |
... |
... |
... |
|
7.2.3.2.Обработка результатов
1.По результатам измерений (табл.7.1) и по формулам (5), (6) рассчитать для каждого значения частоты активное и реактивное сопротивление конденсатора (реактивное сопротивление конденсатора отрицательно). По формулам (11) и (12) определить эквивалентные параметры конденсатора. Расчет проводится для каждого значения частоты, а результаты заносятся в табл.7.2.
2.По результатам измерений (табл.7.1) и по формулам (5), (6) рассчитать для каждого значения частоты активное и реактивное сопротивление катушки (реактивное сопротивление катушки положительно). По формуле (8) определить индуктивность L катушки и занести результаты в табл.7.2.
В табл.7.2. указать единицы измерения рассчитанных величин, например: емкость — “мкФ”, индуктивность — “мГн”, сопротивление — “Ом”.
Табл. 7.2
частота, |
С1 rc1 С2 rc2 ... L1 r1 L2 r2 |
кГц |
|
|
|
0,1 |
... |
1 |
... |
10 |
... |
7.2.4.Контрольные вопросы и задания
1.Что называют импедансом, активным, реактивным и полным сопротивлением двухполюсника?
2.Записать выражения для импеданса катушки индуктивности и конденсатора с потерями.
3.При какой частоте синусоидального тока активное сопротивление катушки индуктивности (и конденсатора с потерями) равно модулю реактивного сопротивления?
4.Изобразить векторную диаграмму катушки индуктивности для случая, изложенного в вопросе 3.
5.Изобразить векторную диаграмму конденсатора с потерями для случая, изложенного в вопросе 3.
6.Что называют активным и омическим сопротивлением катушки индуктивности?
7.Емкость измерительного кабеля вольтметра вместе с емкостью входа составляет величину около 150 пФ. Какую минимальную емкость можно измерить достаточно точно данным вольтметром, если не принимать в расчет емкость прибора?
8.Показать, что на достаточно высоких частотах импеданс конденсатора с потерями и катушки индуктивности имеет в основном реактивный характер.
7.2.6.Литература
1.С.Г. Калашников. Электричество. М.: “Наука”, 1985. §§ 217-220, 227, 228.
2.Д.В. Сивухин. Общий курс физики, т. 3: “Электричество”. М.: “Наука”, 1977. §§ 126, 129, 130.