8. Поле одиночного вихря, первое критическое поле сверхпроводника II рода. Сверхпроводимость второго рода

Теория Гинзбурга – Ландау была развита в 1957 г. А.А. Абрикосовым, который дал последовательное феноменологическое описание сверхпроводников второго рода и объяснил такие их свойства, как сложное поведение в магнитном поле, огромные критические поля сверхпроводящих сплавов. Как отмечалось в п. 1.2 в сверхпроводники второго рода внешнее магнитное поле Н₀ не проникает вплоть до первого критического поля Н_С1 (рис.5.1). При поле Н_С1 < Н₀ < Н_С2 внутри сверх­проводника появляется магнитное поле в виде квантовых вихревых нитей. Каждая такая нить, или вихрь, имеет нормальную сердцевину радиусом порядка , параметр порядка  в которой равен нулю. Вокруг этой сердцевины течет незатухающий сверхпроводящий ток, ориентированный так, чтобы создаваемое им магнитное поле было направлено вдоль нормальной сердцевины и совпадало по направлению с внешним магнитным полем.

Сверхпроводящий вихревой ток охватывает область радиусом порядка  >> . Один такой вихрь несет магнитный поток, равный одному кванту потока Ф₀, проникшие в сверхпроводник вихри образуют в поперечном сечении правильную треугольную решетку, то есть возникает смешанное состояние. Возникнув в магнитном поле Н_С1, вихревая решетка существует и в более сильных внешних полях, при этом с ростом внешнего поля плотность вихрей увеличивается. Наконец, в поле Н_С2 расстояние между центрами ближайших вихрей становится меньше 2, то есть нормальные сердцевины сливаются, и параметр порядка становится равным нулю во всем объеме сверхпроводника – происходит фазовый переход второго рода в нормальное состояние.

Рассмотрим одиночный вихрь, помещённый в безграничный сверх­проводник, представляющий собой нормальную сердцевину радиуса , окруженную областью вихревых то­ков, простирающуюся на расстояние  (рис. 5.2). Пусть  >> . На расстоянии r >>  от центра вихря можно положить ||² = 1 – полная сверхпроводимость. В этой области второе уравнение Гинзбурга – Ландау (4.13) можно записать в виде:

.

Рис. 5.1. Кривая намагничивания Рис. 5.2. Абрикосовский вихрь

Взяв операцию rot от обеих частей, получим:

.

Заметим, что ротор градиента равен нулю всюду кроме центра вихря, где ||   (особая точка). Возьмём интеграл от rot() по поверхности круга малого радиуса с центром в центре вихря. По теореме Стокса:

.

Здесь мы учли, что вихрь несёт один квант потока Ф₀ (см. 2.12). Поскольку rot() равен нулю всюду вне центра вихря, а в центре он бесконечен, но интеграл от него по любой поверхности, охватывающей центр, равен 2, он ведёт себя по­добно дельта-функции: rot() = 2(r)e_v, где e_v – единичный вектор, направленный вдоль оси вихря, можно переписать уравнение в виде:

. (5.1)

Решение уравнения (5.1) с граничным условием Н() = 0 имеет вид:

, (5.2)

где К₀ – функция Макдональда, или функция Ганкеля мнимого аргумента. Ее асимптотика имеет вид:

В центре вихря магнитное поле Н(0) не обращается в бесконечность, как это следует из формулы (5.2), так как наш расчет применим только для случая r >> . Точное значение дает численное интегрирование уравнений Гинзбурга – Ландау:

(5.3)

так как мы рассматривали случай  =  >> 1.