Уравнения Гинзбурга – Ландау

Если в системе фиксированы температура, давление и внешнее маг­­нитное поле Н₀ (как это и имеет место в нашем случае), то равновесному состоянию отвечает минимальное значение потенциа­ла Гиббса G, плотность которого связана с плотностью свободной энергии F соотношением G = F – HH₀/(4). Учитывая, что Н = rotA, и уравнение (4.5), найдем функции (r) и А(r), минимизирующие функционал

где интегрирование ведется по всему объему сверхпроводника.

Для решения этой вариационной задачи будем сначала считать функции (r) и А(r) неизменными, а функцию ^*(r) будем варьировать, приравняв нулю вариацию функционала:

.

Обозначим и, учитывая, что(f^*) = f^*+^*f, получим:

последний интеграл берется по поверхности S, стягивающей объем V. Око­нчательно получаем:

.

Это выражение может быть равно нулю при произвольной вариации ^* только в том случае, если равны нулю выражения в квадратных скобках. Таким образом, получаем первое уравнение Гинзбурга – Ландау:

, (4.6)

и граничное условие к нему:

где n – единичный вектор, нормальный к поверхности S сверхпроводника.

Минимизация энергии Гиббса по  даст уравнение, комплексно со­пряжен­ное к (4.7). Минимизируем теперь энергии Гиббса по вектор-по­­тен­циалу А, приравняв нулю соответствующую вариацию функционала:

Воспользуемся тождеством arotb = brota – div[ab] и проинтегрируем пос­­леднее слагаемое c учетом теоремы Гаусса:

Поскольку через сверхпроводник не протекают токи, создающие внешнее магнитное поле Н₀, то внутри сверхпроводника rot H₀ = 0, кроме того, так как магнит­ное поле на поверхности S сверхпроводника задано, то и вариация на этой поверхности равна нулю. С учетом этого вариация энергии Гиббса по А принимает вид

.

Этот интеграл может быть равен нулю при произвольной вариации вектор-по­тен­циала А только в том случае, если выражение в квадратных скобках равно нулю. Учитывая, что j_S = (c/4)rot rot A, получим второе

урав­нение Гинзбурга – Ландау:

. (4.7)

Перейдем к безразмерной волновой функции (r) = (r)/₀, где |₀|² = –/ = n_S/2 (см. формулу 4.2) и введем обозначения:

, (4.8)

. (4.9)

Тогда первое уравнение Гинзбурга – Ландау (4.6) со своим граничным условием и вто­рое уравнение (4.7) могут быть переписаны в виде:

, (4.10)

, (4.11)

, (4.12)

где Ф₀ = hc/(2e) – квант магнитного потока (в системе СГС).

Представив безразмерную волновую функцию  в виде ||exp(i), перепишем второе уравнение Гинзбурга – Ландау (4.12) в виде

. (4.13)

Это уравнение по форме совпадает с уравнением (2.11), если учесть, что в системе СИ j_S = rot rot A. Граничное условие (4.11) первого уравнения Гин­збурга – Ландау (4.10) обеспечивает естественное требование равенства нулю сверхтока через границу свер­х­проводника, что соответствует границе с диэлектриком. При контакте сверхпро­вод­ника с нормальным ме­таллом справедлива более общая форма граничного условия:

, (4.14)

где а – произвольное действительное число. Однако, обоснование соотно­ше­ния (4.14) требует привлечения микроскопической теории.

Поскольку вектор-потенциал А определяется неоднозначно с точ­ностью до градиента произвольной функции (r), то для того, чтобы замена переменных

А(r) = А^'(r) + (r) (4.15)

не нарушала уравнений Гинзбурга – Ландау (4.10) – (4.12), то есть, чтобы они были градиентно инвариантны, необходимо, чтобы волновая функция при этом преобразовывалась по правилу:

. (4.16)

Из свойств градиентной инвариантности (4.15) и (4.16) следу­ет, что для односвязанного сверхпроводника всегда можно выбрать такую калибровку вектор-потен­циала А, чтобы функция  была вещественной. Требование односвязанности существенно, так как в многосвязанном свер­хпроводнике фаза  параметра поряд­ка не является однозначной функцией, а может меняться на величи­ну кратную 2 при обходе отверстия.