Комплексная проводимость сверхпроводника

Рассмотрим комплексную проводимость сверхпроводника, на плос­кую поверхность которого падает электромагнитная волна. Будем предполагать, что длина свободного пробега электронов l существенно меньше глубины проникновения электромагнитного поля. При этом частота соударений электронов ^–1 много больше частоты электромагнитной волны . Воспользуемся двухжидкостной моделью, полагая n = n_N + n_S. Для нормальных электронов можно записать второй закон Ньютона в виде:

где  = l/v_F ­– частота соударений электронов, v_F – их фермиевская скорость. Тогда:

. (3.15)

Полагая j_S(t) = j_Sexp(it), перепишем первое уравнение Лондонов (2.1) в виде:

. (3.16)

Аналогично, положив j_N(t) = j_Nexp(it), перепишем соотношение (3.15) в виде:

. (3.17)

Соответственно для полной плотности тока выполняется закон Ома:

, (3.18)

где

, (3.19)

. (3.20)

Сравнение формул (3.10) и (3.17) позволяет оценить частоту _кр, при которой сверхпроводник начинает вести себя как нормальный ме­талл, то есть |j_S| ~ |j_N|. Если положить, что n_S << n_N, то есть T_C – T << T_C, то

_кр ~ ^–1n_S/n_N ~ e²n_S_N/m = _N/², где _N = (e²n_N/m)^–1 – нормальная проводимость металла. Для свинца получаем _кр ~ 410¹¹ с^–1.

4. Скин-эффект и поверхностный импеданс в сверхпроводниках.

Рассмотрим полубесконечный сверхпроводник, на поверхность

x = 0 ко­торого падает электромагнитная волна. Запишем уравнения Максвелла:

.

Взяв еще раз ротор и учтя, что rot rot H = grad divH – H, а divH = 0, получим:

Полагая поле в сверхпроводнике H(x, t) = Hexp(–i(kx – t)), найдем связь волнового числа с частотой волны (закон дисперсии для сверхпроводника) , или:

, (3.21)

–(3.22)

глубина проникновения.

Будем полагать, что температура не слишком близка к Т_C, так что выполняется неравенство (n_N/n_S)()² << 1 и, кроме того,  << 1 (нормальный скин-эффект). Тогда из уравнений (3.19) и (3.20) следует в первом порядке малости

. (3.23)

Подставляя это выражение в соотношение (3.22), получим:

(3.24)

Для малых частот при (n_N/n_S)() << 1, получаем, что   (1 + i), и k = –i/, H(x) = H exp(–x/), то есть низкочастотное поле проникает в сверхпроводник, как и постоянное, на глубину проникновения . С ростом частоты глубина проникновения уменьшается, как следует из формулы (3.22).

Поверхностный импеданс по определению равен:

. (3.25)

Из уравнения Максвелла rotH = (4/c)E для плоской гармонической вол­ны H(x, t) = Hexp(–i(kx – t)) следует, что ikH = (4/c)E. Подставляя это выражение в уравнение (3.25) и учитывая соотношение (3.21), получим:

. (3.26)

Подставляя сюда выражения (3.22) и (3.23), получим для составляющих поверхностного импеданса на квадрат:

. (3.27)

Вещественная часть импеданса R_ характеризует потери энергии в тепло, а мнимая X_ является индуктивным сопротив­лением.

5. Уравнения Гинзбурга-Ландау Свободная энергия сверхпроводника

Рассмотрим сначала самый простой случай – однородный сверхпроводник без внешнего магнитного поля и тока, тогда параметр порядка  не должен зависеть от координат, и разложение свободной энергии по степеням ||² дает:

, (4.1)

где F_S0 – плотность свободной энергии сверхпроводника без магнитного поля, F_n – плотность свободной энергии в нормальном состоянии при ||² = 0. Минимальное значение F_S0 достигается при

||² = –/, (4.2)

откуда с учетом соотношения (1.4) получаем:

. (4.3)

Поскольку параметр порядка  = 0 при Т = Т_С и отличен от 0 при Т < Т_С, то  = 0 при Т = Т_С и  < 0 при Т < Т_С, то есть

 ~ Т – Т_С. (4.4)

Из соотношения (4.3) видно, что при Т < Т_С  > 0, с другой стороны, если считать, что и при Т > Т_С остается  > 0, то так как при этом из соотношения (4.4) следует, что и  > 0, то F_S0 достигает минимума при ||² = 0, как и должно быть. Поэтому в первом приближении можно считать, что  = const.

При наличии в сверхпроводнике магнитного поля и сверхпроводящего тока к свободной энергии добавятся дополнительно:

– энергия магнитного поля Н²/(8),

– кинетическая энергия сверхпроводящих электронов |p_S|²/(2m).

Из квантовой механики известно, что импульс частицы с зарядом е, движущейся в магнитном поле с вектор-потенциалом А, равен:

.

Поэтому плотность свободной энергии сверхпроводника можно запи­сать в виде:

(4.5)