Квантование магнитного потока

Рассматривая квантовое обобщение уравнения Лондонов (2.4), учтём, что все сверхпроводящие электроны объединены в куперовские пары, находящиеся в одном квантовом состоянии с волновой функцией

.

Из квантовой механики известно, что оператор импульса частицы с массой 2m и зарядом 2е, движущейся в магнитном поле с вектор-по­тен­ци­а­лом А, имеет вид:

.

Тогда

(2.11)

где Ф₀ = hc/(2e) = 2,0710^–15 Вб – квант магнитного потока. Соотношение (2.11) является квантовым обобщением второго уравнения Лондонов (2.4).

Рассмотрим полость в двухсвязанном сверхпроводнике, в который "вморожено" некоторое магнитное поле В. Выберем контур ин­тег­ри­ро­ва­ния С на расстоянии много больше  от полости, тогда на этом контуре j_S = 0 и интегрирование вдоль кон­тура уравнения (2.11) даёт:

где Ф – поток, охваченный контуром. Но поскольку волновая функция (r) должна быть однозначна, изменение фазы (r) при обходе вокруг отверстия должно быть кратно 2, тогда

Ф = nФ₀, (2.12)

где n – целое число.

Явление квантования магнитного потока, описываемое соотно­ше­ни­ем (2.12), было открыто в 1961 г. Б. Дивером и В. Фербенком. От­метим, что величина 2е, входящая в квант магнитного потока, подтверждает утверждение, что ток в сверхпроводниках переносится куперовскими парами. Заметим также, что "толстые" стенки полости в сверхпроводнике – существенное условие для квантования магнитного потока в ней. Рассмотрим диэлектрическую нить радиуса R, на которую нанесена тонкая сверхпроводящая пленка толщины d << . В этом случае ток и магнитное поле в пленке распределены почти равномерно. Интегрируя соотношение (2.11) по контуру радиусом (R + d), получим:

Но поле Н внутри цилиндра и охваченный им поток Ф связаны с плотностью тока j_S на его поверхности простым соотношением:

.

Отсюда:

Если Rd >> 2², то квантование потока в нити с пленкой такое же, как и в массивном сверхпроводнике, в противном случае наблюдаемый "квант потока" окажется меньше Ф₀.

3. Комплексная проводимость, кинетическая индуктивность сверхпроводника.

Геометрическую (магнитную) индуктивность L_M участка цепи можно определить по величине энергии магнитного поля F_M при протекании заданного тока I по этому участку

, (3.7)

где интеграл берется по всему пространству. Учтем еще кинетическую энергию носителей тока (электронов), с которой можно связать кинетическую индуктивность L_K участка це­пи:

, (3.8)

где n_S – концентрация носителей, m – их масса, v_s – скорость, интеграл берется по объему проводника.

В нормальных металлах вклад от кинетической индуктивности L_K обычно пренебрежимо мал в сравне­нии с активным сопротивлением, его учитывают лишь при частотах больше 10¹³ Гц. В сверхпроводнике же, подставляя в соотношение (3.8) плотность сверхтока j_s = n_Sev_S, получим:

, (3.9)

где I – полный ток, величина  определена соотношением (2.2).

Найдем кинетическую индуктивность круглого провода длины l и радиуса R, R, l >> . Ток I течет по поверхности проводника, плотность тока j_S на расстоянии r от центра равна j_S(r) = j_S(R)exp((r – R)/), полный ток, со­от­ветственно, составляет I = 2Rj_S(R). Подставляя эти величины в со­от­ношение (3.9), получим L_K = l/R.

Если рассмотреть плоский проводник, то его индуктивность (так же как и сопротивление) пропорциональна длине и обратно пропор­циональна ширине, то есть индуктивность квадрата всегда одна и та же для данного проводника. Если "развернуть" поверхность нашего провода и взять l = 2R, то индуктивность "на квадрат" равна:

L_К = 2. (3.10)

Если по формуле (3.7) рассчитать внутреннюю геометрическую индуктивность отрезка провода радиусом R и длиной l, то тоже получится:

L_M = 2. (3.11)

Соответственно, полная внутренняя индуктивность на квадрат массивного сверхпроводника

L_ = 4. (СГС), L_ = ₀ (СИ). (3.12)

Рассмотрим кинетическую индуктивность тонкой (d << ) пленки, ток в которой однородно распределен по толщине. Выделим по ширине пленки малый участок ww и получим для кинетичес­кой энергии сверхпроводящих электронов на этом участке:

отсюда для тонкой пленки получаем с учетом соотношения (2.2):

L_K = 4²/d. (3.13)

Таким образом, при  << d кинетическая энергия может стать зна­чи­тельной. Нап­ример, при d = 10^–6 см и  = 310^–5 см имеем L_K = 10^–11 Гн.

Если рассмотреть толстую пленку на расстоянии а от массив­ного сверхпроводящего экрана, то геометрическая индуктивность зазора между пленкой и экраном составит L_ = 4а. Но по­ле будет проникать на глубину ₁ в пленку и на глубину ₂ в экран. Это проникновение дает дополнительную внутреннюю индук­тивность. Согласно формуле (3.12) получаем суммарную индуктив­ность системы L_K = 4(а + ₁ + ₂).