2. Уравнение Лондонов.

Будем рассматривать сверхпроводник в рамках двухжидкостной мо­дели, то есть положим n = n_S + n_N = const, причем n_S(0) = n, n_S(T_c) = 0, n_S не зависит от электрического поля Е, магнитного поля Н и координат r. Второй закон Ньютона для сверхпроводящих электронов массой m единичного объема сверхпроводника в электрическом поле Е имеет вид:

.

Учитывая, что j_S = n_Sev_S, и обозначая  = m/(n_Se²), получим первое уравнение Лондонов:

(2.1)

Пусть F_S0 – свободная энергия сверхпроводника без токов и магнитных полей. Плотность кинетической энергии сверхтока j_S с учетом уравнения Максвелла можно записать:

где обозначено

. (2.2)

Тогда полная свободная энергия сверхпроводника объемом V с учётом кинети­ческой энергии сверхтоков и потенциальной энергии магнитного поля в сверхпроводнике имеет вид:

(2.3)

Найдем распределение магнитного поля H(r) внутри сверхпроводника, минимизируя функционал F_S вида (2.3), приравняв нулю его вариацию:

Обозначая a = rot H, b = H и воспользовавшись теоремой Гаусса и тождеством a rot b = b rot a – div [a  b], получим:

Но на поверхности S сверхпроводника магнитное поле Н фиксировано, значит, H_S = 0, следовательно, в силу произвольности вариа­ции H

(2.4)

– второе уравнение Лондонов.

Используя понятие вектор-потенциала H = rot A, второе уравнение Лондонов (2.4) с учетом уравнения Максвелла можно пе­реписать в виде:

. (2.5)

Для этого следует выбрать лондоновскую калибровку вектор-по­тен­ци­ала:

, (2.6)

где n – вектор внешней нормали к поверхности сверхпроводника.

Рассмотрим сверхпроводящее полупространство. Пусть в направле­нии оси z наложено внешнее поле Н₀. Учитывая, что rot rot H = –H, мож­но переписать уравнение (2.4) для одномерного случая в виде:

. (2.7)

Граничное условие для уравнения (2.7) следует из непрерывности тангенциальных компонент вектора Н: Н(0) = Н₀. Второе граничное условие вытекает из эффекта Мейсснера – Оксенфельда: Н() = 0. Тогда решение уравнения (2.7) имеет вид затухающей экспоненты:

, (2.8)

то есть   10^–7 м, определенная формулой (2.2), имеет смысл глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник. Эта величина называется лондоновской глубиной проникновения, она зависит от температуры из-за температурной зависимости плотности сверхпроводящих электронов n_S(T), хорошее приближение этой зависимости – эмпирическая формула

(2.9)

Нелокальная электродинамика сверхпроводников

Уравнение Лондонов (2.4) связывает плотность сверхтока j_S, то есть скорость движения v_S сверхпроводящих электронов в точке с координатами r с векторным потенциалом А в той же точке. Поэтому оно, строго говоря, применимо, если характерный размер носителей тока в сверхпроводнике (куперовских пар с длиной когерентности ₀) много меньше характерной длины , на которой происходит изменение вектор-потенциала. Для чистых металлов (сверхпроводников первого рода)

₀  10^–4 см >>   10^–6 см.

Лондоновская электродинамика к таким сверхпроводникам неприменима, локальное урав­нение (2.4) следует заменить на нелокальное, устанавливающее связь между скоростью частицы и магнитным полем, сильно меняю­щимся на размере частицы ₀, в виде:

,

где – некоторый оператор, воздействующий на вектор-потенциалA(r), причем отлично от 0 только при |r|  ₀, а при ₀  0  (r)/(c), чтобы получить локальное уравнение (2.4).

В 1953 г. А.Б. Пиппард предложил выбрать оператор в виде, удовлетворяющем этим ус­ловиям:

В нелокальном случае закон проникновения магнитного поля в сверхпроводник отличен от экспоненциального (2.8), но определить глубину проникновения магнитного поля в сверхпроводник из можно соотношения:

Не решая в явном виде нелокальную задачу, оценим по порядку величины новую пиппардовскую глубину проникновения _Р, позволяющую аппроксимировать зависимость H(x) экспоненциальной функцией вида (2.8): Н(х) = Н₀exp(–x/_Р). На частицу размером ₀ >>  магнитное поле действует только на рас­стоянии _Р << ₀; поэтому уравнение (2.4) следует пе­­реписать в виде:

откуда:

(2.10)

при этом по-прежнему величина _Р определяется соотношением (2.8).

Из уравнения (2.10) видно, что при  << ₀ получается _Р >> , то есть нелокальная электродинамика предсказывает более глубокое проникновение магнитного поля в сверхпроводник. Типичный нелокальный (пиппардовский) сверхпроводник – алюминий. А вот свинец, даже очень чистый, – локальный лондоновский сверхпроводник. Вблизи критической температуры все сверхпроводники становятся лондоновскими, так как глу­бина проникновения (Т) растет при Т  Т_С, а вот длина когерентности ₀ от температуры почти не зависит.

Если в сплавах и "грязных" металлах длина свободного пробега электронов l существенно меньше ₀, то роль размера носителя заряда при этом играет именно величина l, и глубина проникновения имеет вид: . Такие сплавы хорошо описываются лондоновскими соотношениями (2.4).